Consideraci n de modos superiores en el c lculo de p rdida de transmisi n en c maras de expansi n

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Escuela de Ingeniería Acústica
Profesor Patrocinante
Dr. José Luis Barros Rojas
Instituto de Acústica
Universidad Austral de Chile
Profesor Informante
AlfioYori
Instituto de Acústica
Universidad Austral de Chile
Profesor Informante
Jorge Cárdenas Mancilla
Instituto de Acústica
Universidad Austral de Chile
Consideración de modos superiores en
el cálculo de pérdida de transmisión
en cámaras de expansión
Tesis Presentada como parte de los requisitos para
Optar al grado de LICENCIADO EN ACÚSTICA
Y al título profesional de INGENIERO ACÚSTICO
Mario Alberto Mora Olmedo
Valdivia Chile 2002
1
Agradecimientos
Quisiera agradecer a mucha gente que me ha ayudado en el desarrollo de esta tesis,
en la cual me han prestado ayuda incondicional sin mayor interés que el solo hecho de
ayudar.
Agradezco al Instituto de Acústica y a sus profesores por permitir terminar una
parte de mi vida la cual se encontraba incompleta.
Muchas gracias Victor Cumián por tus clases de carpintería y tu paciencia para
ayudar a construir las cámaras de expansión, tu soporte técnico me fue de mucha ayuda,
aprendí a cortar con tu sierra eléctrica y ha realizar hoyos para los resonadores, tu ingenio
es increíble.
Agradezco al Doctor
José Luis Barros por su paciencia y dedicación en el
desarrollo del tema de mi tesis, la cual no podría llevar a cabo sin su basta experiencia en el
tema, quién además me dedico mucho de su tiempo más allá de su deber, también quiero
agradecer que ha sido un buen amigo durante tantos años.
Agradezco también esos pequeños impulsos del Doctor Jorge Sommerhoff, en los
momentos que necesite de su ayuda y experiencia en los resonadores, como también de su
compañía en el instituto cuando se necesita ver alguien que trabaja duro.
Agradezco también la ayuda prestada a los profesores y amigos, Jorge Cárdenas y
Alfio Yori, por su ayuda incondicional de gran valor con la corrección de esta tesis.
Doy gracias a dios de tener una señora tan comprensiva, quien me apoyo moral y
espiritualmente para lograr esta tesis.
2
INDICE
I
RESUMEN .............................................................................................................................................. 4
I.1
II
SUMMARY ......................................................................................................................................... 5
OBJETIVOS............................................................................................................................................ 6
II.1
II.2
OBJETIVOS GENERALES ........................................................................................................... 6
OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................................... 6
III
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 7
IV
MARCO TEÓRICO ............................................................................................................................... 8
IV.1
PROPAGACION DEL SONIDO EN DUCTOS............................................................................. 8
IV.1.1
Primera Condición de Borde ............................................................................................... 11
IV.1.2
Segunda Condición de Borde............................................................................................... 12
IV.1.3
Impedancia Infinita (Caso I)................................................................................................ 14
IV.1.4
Impedancia cero (Caso II) ................................................................................................... 15
IV.1.5
Distribución de presión ....................................................................................................... 17
IV.2
CAMARAS DE EXPASIÓN ........................................................................................................ 20
IV.2.1
Aproximaciones de Baja Frecuencia ................................................................................... 20
IV.2.2
Consideración de modos superiores (N modos) .................................................................. 26
V
MONTAJE EXPERIMENTAL ........................................................................................................... 35
VI
MEDICIONES ...................................................................................................................................... 40
VI.1
VI.2
VI.3
CÁMARAS DE EXPANSIÓN ..................................................................................................... 41
RESONADOR DE HELMHOLTS ............................................................................................... 46
CÁMARA DE EXPANSIÓN CON RESONADOR ACOPLADO .............................................. 51
VII
CONCLUSIONES............................................................................................................................ 54
VIII
BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................. 55
3
I.
RESUMEN
Este trabajo tiene por objetivo, estudiar y comprender la influencia de los modos
superiores en el comportamiento acústico de una cámara de expansión , para esto se realiza
un análisis en dos dimensiones del comportamiento de un tubo simple estableciendo la
existencia de los modos normales, con especial atención en los modos de orden superior.
Luego se analiza la aproximación de baja frecuencia para la cámara de expansión
simple, en la cual se considera sólo el modo fundamental para el cálculo de perdida de
transmisión.
Finalmente se plantea un método matemático que permita considerar el efecto de
los modos de orden superior y estimar la pérdida de transmisión de una cámara de
expansión en frecuencias superiores a la frecuencia de corte mas baja.
Para poner a prueba el modelo planteado se realiza un montaje experimental con un
tubo de medición de absorción. Mediante la medición del coeficiente de reflexión de
distintos modelos de cámaras de expansión se calcula la correspondiente pérdida de
transmisión. Los resultados experimentales son comparados con los obtenidos con el
modelo teórico para establecer la validez de éste modelo.
4
I.1 SUMMARY
The goal of this investigation was to study and understand the influence of higher
modes on the acoustic behavior of an expansion chamber. This was accomplished by
conducting a two-dimensional analysis of a simple tube’s behavior in order to establish the
existence of normal modes.
In addition, this investigation examined a low frequency approximation for the
simple expansion chamber. These analyses only included the fundamental mode for the
estimation of transmission loss.
Finally, a mathematical method that allows for the
estimation of the effects of higher order modes and the loss of transmission of an expansion
chamber at higher frequencies than the lowest cut frequency was proposed.
In order to test the proposed model an experiment using a measurement absorption
tube was conducted. The loss of transmission was calculated by measuring the reflection
coefficients of different models of expansion chambers. Both experimental and theoretical
results were compared in order to establish the validity of the theoretical model.
5
II. OBJETIVOS
II.1 OBJETIVOS GENERALES
Estudiar la propagación del sonido en conductos y cámaras de expansión considerando
modos superiores.
II.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
•
Presentar el fundamento teórico necesario para analizar la propagación del sonido en
conductos.
•
Realizar predicciones del comportamiento de algunos sistemas resonantes.
•
Establecer un montaje de pruebas y realizar mediciones en modelos previamente
analizados.
•
Confrontar los resultados de mediciones con los resultados teóricos.
6
III. INTRODUCCIÓN
Existe mucha literatura sobre silenciadores, en casi todos los libros sobre acústica o
control de ruido se puede encontrar un capítulo sobre el tema (Beranek [1], BIES [2], Cremer
[3],
Heckl
[4]).
En general se consideran aproximaciones para baja frecuencia, bajo
condición de onda plana, es decir que no se propagan los modos superiores.
Algunos autores han considerado los modos superiores en el caso de silenciadores
reactivos con cambios bruscos de sección transversal (Eriksson
Ochmann
[8]).
[5],
Miles
[6],
Munjal
[7],
En el cálculo de atenuación sonora en conductos o tubos de sección
transversal constante revestidos internamente se acostumbra aplicar el Principio del modo
menos amortiguado presentado en los trabajos de Morse
[9],
Cremer
[3],.
Es decir el
decaimiento del nivel a lo largo del tubo está determinado por el modo menos amortiguado
y un silenciador de longitud finita L puede ser considerado como una sección con longitud
L de un tubo de longitud infinita. Para el cálculo del modo menos amortiguado (y el
correspondiente amortiguamiento) se han usado principalmente métodos gráficos o
fórmulas aproximadas. Con el avance de la tecnología es posible hoy en día obtener los
modos de un conducto recubierto interiormente, y por ende la correspondiente atenuación,
mediante técnicas numéricas, de esta manera se puede predecir el comportamiento acústico
de un conducto con determinadas características interiores.
7
IV. MARCO TEÓRICO Equation Chapter 4.1 Section 1.1
IV.1 PROPAGACION DEL SONIDO EN DUCTOS
El fundamento teórico necesario para realizar el presente trabajo se refiere
principalmente a la descripción matemática de la propagación de ondas en el interior de un
tubo [9][10][11] [12] [13].
La ecuación general de onda es:
∇ 2 ⋅ p ( x, y , z , t ) =
1 ∂2 p
c 2 ∂t 2
( x, y , z , t )
(1.1)
La cual se puede escribir explícitamente como:
∂2 p
∂x 2
+
∂2 p
∂y 2
+
∂2 p
∂z 2
=
1 ∂2 p
c 2 ∂t 2
(1.2)
Se considerará, a modo de simplificación, el problema de un conducto en dos
dimensiones. La figura
N° 1
contiene una representación del conducto con altura h y de
longitud infinita.
Figura N° 1
8
Para el caso bidimensional se tiene la siguiente ecuación [12]:
∂2 p ∂2 p 1 ∂2 p
+
=
∂x 2 ∂y 2 c 2 ∂t 2
(1.3)
Suponemos una solución de la forma
p( x, y, t ) = ψ ( x, y ) ⋅ e j⋅ω ⋅t
(1.4)
Derivando esta expresión dos veces con respecto a cada variable y reemplazando en la
ecuación bidimensional general se obtiene:
∂2 p
∂2 p
1
jωt
(
,
)
+
( x, y )e jωt = - ω 2 2 ψ ( x, y )e jωt
x
y
e
2
2
∂x
∂y
c
(1.5)
Simplificando esta ecuación nos queda como resultado la Ecuación de Helmholts:
∂2 p
∂2 p
ω2
(
x
,
y
)
+
(
x
,
y
)
+
ψ ( x, y ) = 0
∂x 2
∂y 2
c2
(1.6)
La cual puede ser resuelta por el método de variables separables, si se asume una solución
de la forma
ψ ( x, y ) = X ⋅ Y
(1.7)
donde X e Y son funciones dependientes solo de x e y respectivamente. Al derivar dos
veces se obtiene:
∂ψ
∂ψ
∂ 2ψ
∂ 2ψ
( x, y ) =
Y ⇒ 2 ( x, y ) =
Y
∂x
∂X
∂x
∂X 2
∂ψ
∂ψ
∂ 2ψ
∂ 2ψ
⇒ 2 ( x, y ) = X
( x, y ) = X
∂y
∂Y
∂x
∂Y 2
Al reemplazar en la ecuación (1.6) y dividir por XY , con XY ≠ 0 :
9
(1.8)
∂ 2ψ ∂ 2ψ
2
∂X 2 + ∂Y 2 + ω = 0
X
Y
c2
∂ 2ψ ∂ 2ψ
∂X 2 + ∂Y 2 = κ 2
X
Y
(1.9)
(1.10)
donde k es la constante de propagación angular.
κ 2 = ω 2 / c2
(1.11)
κ 2 = κ x2 + κ y2 .
(1.12)
Aplicando separación de variables se obtiene:
∂ 2ψ
∂X 2 = −κ 2
x
X
∂ 2ψ
∂Y 2 = −κ 2
y
Y
∧
(1.13)
Considerando que:
∂ 2ψ
+ κ x2 X = 0
2
∂X
∧
∂ 2ψ
+ κ y2Y = 0
2
∂Y
(1.14)
λ y2 = ±κ y2
(1.15)
los valores propios serán:
λx2 = ±κ x2
∧
y las soluciones linealmente independientes serán de la forma:
X = Ae jκ x x + Be − jκ x x
Y = Ce
jκ y y
+ De
− jκ y y
La solución general la definimos en (1.4), por lo cual reemplazando se obtiene:
10
(1.16)
p( x, y ) = ( Ae jκ x x + Be− jκ x x )(Ce
jκ y y
+ De
− jκ y y
)e jωt
(1.17)
IV.1.1 Primera Condición de Borde
Como la superficie inferior del tubo es rígida (impedancia infinita), debe cumplirse
que la componente de velocidad normal en y = 0 sea igual acero, esto es:
vy =
j  ∂p 
=0
ωρ  ∂y  y =0
(1.18)
Considerando la ecuación (1.17), y derivando se obtiene:
 ∂p 
jκ y
− jκ y
v y =   =  Ae jκ x x − Be− jκ x x   jκ y Ce y − jκ y De y  e jωt
 ∂y 
(1.19)
 ∂p 
v y =   =  jκ y Ce0 − jκ y De0  Xe jωt = 0
 ∂y  y =0
(1.20)
jκ y [C − D ] Xe jωt = 0
(1.21)
C−D =0⇒C = D
(1.22)
Utilizando las siguientes ecuaciones de transformación:
e jα = cos α + jsenα
e − jα = cos α − jsenα
(1.23)
Se obtiene para la función de presión.
p( x, y ) = C ( Ae jκ x x + Be − jκ x x ) cos(κ y y ) + jsen(κ y y ) + cos(κ y y ) − jsen(κ y y )  e jωt (1.24)
11
p ( x, y ) = C  2 cos(κ y y )  ( Ae jκ x x + Be − jκ x x )e jωt
(1.25)
IV.1.2 Segunda Condición de Borde
De la segunda condición de borde indicamos que la impedancia en la parte
superior del tubo a la altura de y = h es z
z y=h =
p y ( x, y )
v y ( x, y )
(1.26)
Derivando la ecuación (1.25) con respecto a “ y ” y reemplazando en (1.26) tenemos
2C cos(κ y y )( Ae jκ x x + Be − jκ x x )e jωt
p ( x, y )
z=
=
j
jκ x x
j  ∂p 
+ Be− jκ x x )e jωt )
  ωρ (−2Cκ y sen(κ y y ))(( Ae
ωρ  ∂y 
(1.27)
Simplificando y multiplicando por (-j)
 jωρ  cos(κ y y )  jωρ 
=
z=
cot(κ y y )
 κ  sen(κ y )  κ 
y
y
y




(1.28)
Evaluando en y = h y haciendo con un poco de álgebra tendremos:
 jωρ 
z=
cot(κ y h)
 κ 
y


Escribiendo nuevamente la ecuación
12
(1.29)
jωρ
κy
cot(κ y h) = z ⋅
h
h
(1.30)
jωρ h cot(κ y h) = (hκ y ) z
(1.31)
jωρ h
= (hκ y ) tan(hκ y )
z
(1.32)
Realizando el cambio de variables:
w = κyh
β=
ωρ
z
h
(1.33)
(1.34)
y reemplazando (1.33) y (1.34) en (1.32)
jωρ
= ( w) tan( w)
z
h
(1.35)
se obtiene:
w tan( w) = j β
A continuación se analizarán dos casos extremos, tubo perfectamente
rígido ( z = ∞) y tubo con impedancia cero ( z = 0) .
13
(1.36)
IV.1.3 Impedancia Infinita (Caso I)
En este caso, en un tubo perfectamente rígido, el valor para la variable β se hace
cero y se obtiene fácilmente las soluciones para κ y .
β=
ωρ
z
h
=0
(1.37)
β = 0 ⇒ w tan( w) = 0
(1.38)
w = 0 ∨ tan( w) = 0
(1.39)
w = arctan(0)
(1.40)
w = nπ
(1.41)
κ y h = nπ
(1.42)
κy =
nπ
,n∈ℜ
h
(1.43)
pero de la expresión (1.12)
κ 0 = 2 κ x2 + κ y2
(1.44)
Despejando κ x tendremos lo siguiente:
κ x = 2 κ 02 − κ y2
14
(1.45)
Esta última expresión indica que κ x puede ser real o imaginario, κ x real implica que
el modo se propaga sin atenuación, y κ x imaginario implica que existe un decaimiento
exponencial en dirección “ x ” de forma exponencial
e
−ℑm{κ x } x
, los modos se atenúan, es
decir, representan lo que se conoce como una componente de campo cercano. Un modo se
propagará si
f ≥
κ0 ≥
nπ
, n = 1, 2,3 , de manera análoga para frecuencias tales que
h
nc
, n = 1, 2,3 , para cada modo existe una frecuencia de corte bajo la cual, el nivel de
2h
presión sonora decae exponencialmente, y sobre esta frecuencia el modo se propaga sin
atenuación.
IV.1.4 Impedancia cero (Caso II)
Si la impedancia es cero en el tubo se tiene ( z = 0) :
β=
ωρ
z
h
→ ∞,
(1.46)
por lo cual:
w tan( w) = ∞ ∨ tan w = ∞
(1.47)
w = arctan(∞)
(1.48)
(2n + 1)π
, n = 1, 2,3
2
(1.49)
w=
Recordando la sustitución (1.11), esto nos queda:
κy =
(2n + 1)π
, n = 1, 2,3
2h
Por lo tanto la expresión bajo la raíz queda de la siguiente forma:
15
(1.50)
2
 (2n + 1)π 
κx = κ + 
 , n = 1, 2,3
2h 

2
0
(1.51)
Al igual que en el caso I, κ x puede ser real imaginario y por lo tanto existe modos
que se propagan y modos que decaen exponencialmente sin implicar una propagación de
energía acústica (campos cercanos). En este caso un modo se propagará si:
 ( 2n + 1) π 
κ ≥

h


2
0
2
(1.52)
De manera análoga para frecuencias tales que:
f ≥
( 2n + 1)
2h
c
(1.53)
Una diferencia importante respecto al caso I es que en el tubo rígido el primer
modo (con n = 0 ) corresponde a la onda plana y siempre se propaga, en el caso de
impedancia cero en cambio, el primer modo no corresponde a la onda plana y en baja
frecuencia κ 0 puede tomar un valor tan bajo que no exista ningún modo que se propague,
lo cual implicaría desde el punto de vista teórico ideal cero transmisión de energía acústica.
Las frecuencias a partir de las cuales un modo comienza a ser capaz de propagarse se
denominan frecuencias de corte modal.
16
IV.1.5 Distribución de presión
Consideremos el problema de un tubo (en dos dimensiones) con l = 0.5 metros y
h = 0.1 metros.
Para los modos con n = 1,2,3,4, las frecuencias de corte serán 1700, 3400, 5100 y
6800 Hertz respectivamente, para visualizar gráficamente el decaimiento exponencial de
los modos se muestran a continuación la distribución espacial de presión correspondiente a
los modos en frecuencias inferiores e iguales a la correspondiente frecuencia de corte.
En
el caso de n=1 se tiene solo un mínimo de presión en la mitad del tubo y esta distribución
de presión comienza a desaparecer al moverse a lo largo del tubo cuando se está bajo la
frecuencia de corte. Las siguientes figuras muestran claramente el comportamiento para
distintos modos.
Modo n=1 frecuencia 1000 hertz
Modo n=1 frecuencia 1650 hertz
Modo n=1 frecuencia 1699 hertz
17
Modo n=1 frecuencia 1700 hertz , frecuencia de corte.
Para el modo n =2 y frecuencia de corte en 3400 hertz, tendremos las siguientes
figuras modales (2 mínimos):
Modo n= 2 frecuencia 3100 hertz
Modo n= 2 frecuencia 3399 hertz
Modo n= 2 frecuencia 4800 hertz, frecuencia de corte.
18
Para el modo n = 3 y frecuencia de corte 5100 Hz se ve lo siguiente( 3 mínimos):
Modo n= 3 frecuencia 5099 hertz
Modo n= 3 frecuencia 5100 hertz
Modo n = 4 frecuencia de corte 6800 hertz (4 mínimos).
Modo n= 4 frecuencia 6699 hertz
Modo n= 4 frecuencia 6790 hertz
19
Modo n= 4 frecuencia 6800 hertz, frecuencia de corte
IV.2 CAMARAS DE EXPASIÓN Equation Chapter 2.1 Section 2.1
IV.2.1 Aproximaciones de Baja Frecuencia
A continuación se describe el tratamiento típico de una cámara asumiendo que
solo se propagan ondas planas en su interior, es decir, una aproximación de baja frecuencia
[14] [15] [16].
Figura N° 2
Considerando la cámara de expansión representada en la figura N° 2 se puede
aplicar las siguientes condiciones de borde.
20
IV.2.1.1
Presiones en la zona I-II-III
p1 ( x) = A1e − jκ x + B1e jκ x
(2.1)
p2 ( x) = A2e − jκ x + B2e jκ x
(2.2)
p3 ( x) = A3e − jκ ( x −l )
(2.3)
Se supone continuidad de presión y velocidad de volumen en x = 0 y x = l .
en x = 0 se obtiene
A1 + B1 = A2 + B2
(2.4)
S1 ( A1 − B1 ) = S 2 ( A2 − B2 )
(2.5)
A2e − jκ l + B2e jκ l = A3
(2.6)
S 2 ( A2e − jκ l + B2e jκ l ) = S3 A3
(2.7)
en x = l se obtiene
si m =
S2
y S1 = S3 , se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
S1
A1 + B1 = A2 + B2
(2.8)
A1 − B1 = m( A2 − B2 )
(2.9)
A2 e− jκ l + B1e jκ l = A3
(2.10)
m( A2e − jκ l + B2 e jκ l ) = A3
(2.11)
Es necesario determinar el coeficiente
A3
, para esto dividimos por A1 ≠ 0 , en las
A1
ecuaciones (2.8) y (2.9), con lo que se obtiene dos ecuaciones que sumadas resulta la
ecuación (2.13):
1+
B1 A2 B2
=
+
A1 A1 A1
B
A
B
1− 1 = m 2 − m 2
A1
A1
A1
21
(2.12)
A2
B
(1 + m) + 2 (1 − m) = 2
A1
A1
(2.13)
Dividiendo las siguientes dos ecuaciones (2.10) y (2.11) por A1 se tiene:
A2 − jκ l B2 jκ l A3
e + e =
A1
A1
A1
A
A
B
m( 2 e − jκ l − 2 e jκ l ) = 3
A1
A1
A1
Despejando
(2.14)
B2
de (2.13) y reemplazando en (2.14) se obtiene:
A1
A
A2 − jκ l (1 + m) jκ l
2
e )+
e jκ l = 3
(e −
A1
A1
(1 − m)
(1 − m)
(2.15)
A2
(1 + m) jκ l
2m jκ l A3
me ) +
e =
(me − jκ l −
A1
A1
(1 − m)
(1 − m)
(2.16)
Incorporando las variables auxiliares(2.17)-(2.18) reemplazamos en (2.15)-(2.16):
ϕ = e − jκ l −
(1 + m) jκ l
e
(1 − m)
(2.17)
(1 + m) jκ l
e
(1 − m)
(2.18)
A
A2
2ε
e jκ l = 3 ε
ϕε +
(1 − m)
A1
A1
(2.19)
A2
2ϕ m jκ l A3
e = ϕ
ϕε −
(1 − m)
A1
A1
(2.20)
ε = me − jκ l + m
se obtiene:
Restando estas dos últimas ecuaciones se puede escribir:
A
2
e jκ l (ε + ϕ m) = 3 (ε − ϕ )
A1
(1 − m)
(2.21)
A3
2
(ε + ϕ m)
e jκ l
=
A1 (1 − m)
(ε − ϕ )
(2.22)
22
A3
2
=
e jκ l
A1 (1 − m)
(1 + m) jκ l
(1 + m) jκ l
e + me − jκ l − m
e )
(1 − m)
(1 − m)
(1 + m) jκ l
(1 + m) jκ l
+m
e − e − jκ l + m
e )
(1 − m)
(1 − m)
(me − jκ l + m
(me
− jκ l
A3
4m
=
2 jκ l
A1 (1 + m) e − (1 − m) 2 e − jκ l
(2.23)
(2.24)
El coeficiente de transmisión de energía estará dado por:
A 
τ = 3
 A1 
2
(2.25)
2
 A3 
16m 2
τ =  =
 A1 
(1 + m) 2 e jκ l − (1 − m) 2 e jκ l
2
(2.26)
2
 A3 
16m 2
τ =  =
cos(κ l ) ⋅ (1 + m) 2 − (1 − m) 2  + jsen(κ l )  (1 + m) 2 + (1 − m) 2 
 A1 
(2.27)
2
 A3 
16m 2
=
 
16m 2 cos 2 (κ l ) + 4 sen 2 (κ l ) + 8m 2 sen 2 (κ l ) + 4m 2 sen 2 (κ l )
 A1 
 1
 1

τ = 1 + sen 2 (κ l )  2 + m 2 − 2  
m

 4
23
(2.28)
−1
(2.29)
El coeficiente de reflexión es:
B
r= 1 =−
A1
1
1
j (m − ) sen(κ l )
2
m
1
1
cos(κ l ) + j (m + )
2
m
(2.30)
La perdida de transmisión es:
1
TL = 10 ⋅ log(
)
1− r2
1
 1

TL = 10 ⋅ log 1 + (m − ) 2 sen 2 (κ l ) 
m
 4

Figura N° 3
24
(2.31)
dB
(2.32)
La figura N° 3 muestra como ejemplo el resultado para la perdida de transmisión
de una cámara de expansión simple, con la relación de superficies dada por m =
S2
; m =2,
S1
4, 8.
La frecuencia de corte para este tipo de filtros (cámaras de Expansión) se
encuentra dada por [14][15].
c
Frecuencia de Corte de la Camara
2⋅d
c: 340 m /seg
d: Diametro de la Camara
f =
(2.33)
Donde c es la velocidad del sonido y d es el diámetro de la cámara de expansión.
La gran relevancia de este tipo de filtros es que la pérdida de transmisión sonora se
incrementa con el aumento de la relación de m, lo cual es positivo en bajas frecuencias,
pero ocasiona que debemos crecer en magnitudes de espacio y volúmenes prohibitivos a
veces de construir en forma práctica.
El otro inconveniente se relaciona con la metodología
matemática, cuando la
longitud de onda incidente es de proporciones de media o una longitud de onda en la
cavidad, en ese caso, ya no se comporta como una onda plana, por lo cual en las frecuencias
cercanas a la frecuencia de corte, la ecuación (2.33) no es del todo correcto, puesto que no
expresa la influencia de los modos de orden superior, en las cercanías de la frecuencia de
corte. Esta imprecisión nos lleva a pensar que no es la mejor forma de calcular y estimar
este tipo de filtros, ya que los resultados no son tan precisos como se quisiera con esta
metodología, por no considerar las atenuaciones producidas por los modos de orden
superior que disminuyen el TL en las cercanías de la frecuencia de corte[15].
Sin embargo existen nuevas formulaciones matemáticas y físicas a este problema,
los cuales han sido investigados por diferentes autores [13][25] [28].
25
IV.2.2 Consideración de modos superiores (N modos)
Figura N° 4
Considerando la cámara representada en la figura
N° 4
se pueden escribir las
siguientes ecuaciones para la presión en cada una de las zonas [31][32] [39] [47][48] [49]:
N −1
{
( y) { A e
( y){ A e
p1 = ∑ φn(1) ( y ) An(1) e
n=0
N −1
p2 = ∑ φn(2)
n=0
N −1
p3 = ∑ φn(3)
n =0
− jκ (1) xn x
+ Bn(1) e
( 2)
(2) − jκ xn x
n
jk x(1) x
+ Bn(2) e
(3)
(3) − jκ xn ( x − l )
n
n
}
jk x( 2 ) x
n
+ Bn(3) e
}
jk x(3) ( x − l )
n
(2.34)
}
donde la distribución transversal (en dirección y ) de presión está dada por:
φn(i ) = cos(k y(i ) y )
n
La componente en dirección y del número de onda es
26
(2.35)
k y(in) =
n ⋅π
hi
(2.36)
y en dirección x
k x(ni ) = ko 2 + (k y(in) ) 2
{ }
con ℑm k x(ni ) ≤ 0
(2.37)
p ( x, y ) = p1 , p2 , p3
(2.38)
Para las velocidades se tiene
vx =
j ∂p
ω ⋅ ρ ∂x
con
Lo cual implica para las zonas I-II y III las siguientes expresiones:
{
k
A e
( y)
k {
k
A e
( y)
k {
(1)
kx
1 N −1 (1)
vx1 =
φn ( y ) n
∑
k0
ρ ⋅ c n=0
vx2 =
1 N −1 (2)
∑φ
ρ ⋅ c n=0 n
1 N −1 (3)
vx3 =
∑φ
ρ ⋅ c n=0 n
An(1) e
(2)
xn
− jk x(1) x
n
− Bn(1) e
( 2)
(2) − jk xn x
n
jk x(1) x
n
− Bn(2) e
}
n
0
(3)
xn
(3)
(3) − jk xn x
n
− Bn(3) e
}
}
jk x( 2 ) x
jk x(3) x
n
0
(2.39)
Si se les aplica las condiciones de contorno en x = 0
p1 (0, y ) = p2 (0, y ) para
0 ≤ y ≤ h1
vx (0, y ) para 0 ≤ y ≤ h1 


vx2 (0, y ) =  p2 (0, y )

para h1 ≤ y ≤ h2 
− Z


1
27
(2.40)
(2.41)
se obtiene
N −1
φ { Aµ
∑
µ
=0
(1)
n
(1)
N −1
+ Bµ(1) } = ∑ φm(2) ( y ) { Am(2) + Bm(2) }
(2.42)
m=0
multiplicando ambos lados por
φn(1) ( y )
(2.43)
y luego aplicando el operador lineal
h
1 1
....dy
h1 ∫0
(2.44)
se tiene
N −1
h
h
N −1
1 1 (1)
1 1 (2)
(1)
(1)
(1)
φ
y
φ
y
dy
A
+
B
=
φm ( y )φn(1) ( y )dy { Am2 + Bm2 }
(
)
(
)
{
}
∑
∑
n
µ
µ
µ
∫
∫
n = 0 h1 0
µ = 0 h1 0
(2.45)
Como los modos φn ( y ) son ortogonales se cumple la condición de ortogonalidad
h
∫ φ ( y)φ
n
m
( y) = 0 .
(2.46)
o
entonces al lado izquierdo de la ecuación sobrevive sólo el término con µ = n se obtiene:
N −1
An(1) + Bn(1) = ∑ Gnm { Am(2) + Bm(2) }
(2.47)
m =0
donde
h
Gnm
1 1 1
= (1) ∫ φn(1) ( y )φm(2) ( y )dy
N n h1 0
28
(2.48)
h
N
(1)
n
1 1
= ∫ φn(1) ( y )φm(1) ( y )dy
h1 0
(2.49)
aplicando (2.41) se obtiene
N −1
φµ
∑
µ
(2)
=0
( y)
κ x(2)
µ
κ0
{A
(2)
µ
+ Bµ(2) } =
 N −1 (1)

κ x(1)m (1)
Am − Bm(1) } ⇔ 0 ≤ y ≤ h1
 ∑ φm ( y )

{
κ0
m=0

=

(2)
N −1
κ xm
 −ρ ⋅ c

(2)
(2)
(2)
 z ∑ φm ( y ) κ { Am − Bm } ⇔ hi ≤ y ≤ h2 
0
 1 m=0

(2.50)
h
1 2
multiplicando por φ ( y ) e integrando por el operador
....dy se obtiene:
h2 ∫0
(2)
n
N −1 κ (1)
κ x(2) (2)
ρ ⋅ c N −1
(2)
(2)
(2)
{ An − Bn } + z ∑ Enm { Am − Bm } = ∑ κx H nm { Am(1) − Bm(1) }
κ0
m=0
1 m=0
0
n
m
(2.51)
con
h
H nm
1 1 1
= (2) ∫ φm(1)φn(2) dy
N n h2 0
h
y Enm
1 1 2 (2) (2)
= (2)
φn φn dy
N n h2 h∫1
(2.52)
Se aplican condiciones de contorno en x = l :
p2 (l , y ) = p3 (l , y ) ⇔ 0 ≤ y ≤ h3
(2.53)
v y3 (l , y ) ⇔ 0 ≤ y ≤ h3 


v y2 (l , y ) =  p2 (l , y )

⇔ h3 ≤ y ≤ h2 
 z
2


(2.54)
de (2.53) se tiene
29
N −1
φµ
∑
µ
(2)
=0
{
( y ) Aµ(2) e
− jk x( 2 ) l
u
+ Bµ(2) e
jk x( 2 ) l
u
} = ∑φ
N −1
m=0
(3)
m
( y ) { Am(3) + Bm(3) }
(2.55)
De manera análoga a la realizada con la primera condición de contorno x = 0 se
h
1 2
multiplica por φ ( y ) y se aplica el operador
......dy , para obtener:
h2 ∫0
(2)
n
An(2) e
− jk x( 2) l
n
+ Bn(2) e
N −1
'
= ∑ Gnm
{ Am(3) + Bm(3) }
jk x( 2) l
n
(2.56)
m =0
con
h
'
Gnm
=
1 1 2 (2) 3
φn φm dy
N n(2) h2 ∫0
(2.57)
de (2.54) se obtiene
N −1
∑ φµ ( y )
(2)
µ =0
k x(2)
µ
k0
{
Aµ(2) e
− jk x( 2 ) l
µ
− Bµ(2) e
jk x( 2 ) l
µ
}=
 N −1 (3)

k x(3)
m
Am(3) − Bm(3) } ⇔ 0 ≤ y ≤ h3
 ∑ φm ( y )

{
k0
m=0

=

N −1
 ρ ⋅ c φ (3) ( y ) A(3) e − jk x(3)m l − B (3) e jk x(m3)l ⇔ h ≤ y ≤ h 
m
m
m
3
2
 z m∑
 2 =0

{
(2.58)
}
h
multiplicando por φ
k x(2)
n
k0
(2)
n
{A
1 2
.....dy se obtiene:
e integrando por
h2 ∫0
( 2)
(2) − jk xn l
n
e
jk x( 2 ) l
n
} − ρz⋅ c ∑ E { A
N −1
2
N −1
k x(3)
m
m =0
k0
'
= ∑ H nm
− Bn(2) e
{A
(3)
m
m=0
− Bm(3) }
30
'
nm
( 3)
(3) − jk xm l
m
e
+ Bm(3) e
jk x( 3) l
m
}=
(2.59)
con
h
'
Enm
=
1 1 2 (2)
φn ( y )φm(3) ( y )dy
N n(2) h2 h∫3
(2.60)
h
H
'
nm
1 1 3 (2)
= (2)
φn ( y )φm(3) ( y )dy
∫
N n h2 0
(2.61)
Hasta el momento se tiene las siguientes cuatro ecuaciones:
N −1
An(1) + Bn(1) = ∑ Gnm { Am(2) + Bm(2) }
(2.62)
m =0
k x(2)
n
k0
{ An(2) + Bn(2) } +
{
k x(2)
n
k0
{
N −1
An(2) e
= ∑H
m =0
'
nm
An(2) e
− jk x( 2 ) l
n
k x(3)
m
k0
ρ ⋅ c N −1
z1
− jk x( 2 ) l
n
m=0
+ Bn(2) e
− Bn(2) e
{A
(3)
m
N −1
k x(1)m
m=0
k0
∑ Enm { Am(2) + Bm(2) } = ∑ H nm
jk x( 2 ) l
n
−B
(3)
m
}
−
jk x( 2 ) l
n
}
(1)
m
− Bm(1) }
(2.63)
N −1
'
= ∑ Gnm
{ Am(3) + Bm(3) }
(2.64)
m=0
ρ ⋅ c N −1
z2
{A
∑E
m=0
'
nm
{A
( 3)
(2) − jk xn l
m
e
+ Bm(2) e
jk x( 3) l
n
}=
(2.65)
}
Por ahora se conoce An(1) la cual es la amplitud incidente, Bn(3) se supone cero
puesto que no hay reflexiones al final del ducto, entonces se tienen las ecuaciones
siguientes:
N −1
Bn(1) − ∑ Gnm { Am(2) + Bm(2) } = An(1)
m=0
31
(2.66)
N −1
∑ Bm(1)
k x(1)m
k0
m =0
N −1
=∑
k
(1)
xm
m =0
k0
{A
e
(1)
H nm
+
k0
{
( 2)
(2) − jk xn l
n
A e
k0
{ An(2) − Bn(2) } +
ρ ⋅ c N −1
z1
∑ E {A
m=0
nm
(2)
m
+ Bm(2) }
(2.67)
(1) (1)
H nm
Am
( 2)
(2) − jk xn l
n
k x(2)
n
k x(2)
n
+ Bn(2) e
−B e
(2)
n
jk x( 2 ) l
n
N −1
'
nm
m =0
jk x( 2 ) l
n
}− ∑G
}
−
ρ ⋅ c N −1 
z2
{A
(3)
m
∑  E
m=0

'
nm
+ Bm(3) } = 0
+
 3
'
H nm
Am = 0

k0

k x(3)
m
(2.68)
(2.69)
Planteando estas ecuaciones en forma matricial nos queda, de la siguiente forma:
M ⋅ X =V
32
(2.70)
donde
 B0(1) 
 (1) 
 B1 
 B (1) 
 2 
M

 1 
 BN −1 
 A(2) 
 0 
 A1(2) 
 (2) 
 A2 


M

 AN(2)−1 
X =  (2) 
 B0 
 (2) 
 B1 
 B (2) 
 2 
M

 (2) 
 BN −1 
 A(3) 
 0 
 A1(3) 
 (3) 
 A1 
M



(3)
 AN −1 
 A0(1)

(1)
 N −1 k xm
∑ k
 m=0 0
0

0
 A(1)
 1 (1)
 N −1 k xm
∑
 m = 0 k0
0

0
 A(1)
 2
 N −1 k x(1)
∑ n
 m = 0 k0
; V = 0 0

0

M
M

M
M

M
 A(1)
 N −1
 N −1 k x(1)
∑ n
 m = 0 k0
0

0





33



(1) (1)
H 0 m Am








(1)
H1(1)

m Am







H 2(1)m Am(1) 















H ((1)N −1) m Am(1) 









(2.71)
M nm
1

 M
0

 .


 M

 .


=  .
 .

  .




 .
 .

  .



K 0

O M
L 0 
K
(1)
κ xm
κ0
(1)
H nm
L
. .

0 .
. .
. .

0 .
. .
.
. K


 M −Gnm M 
. L

.


.
. K


 M −Gnm M 
. L

.


.  .
.
K

  κ (1 )
ρ
c

xm
M  M
δ nm +
Enm M 

κo
z1

.  .
.
L

 − jκ x( 2 )l

o
K
0
e



M
O
M


(
2
)

− jκ x
l
 0
N −1 
L
e


 κ ( 2 ) − jκ ( 2 )l
 − x0 e xo
 κ0

M



0


K
.

(2)
κ xm
ρc

 M − κ δ nm + z Enm
1
o

.
L

 + jκ x( 2 )l

o
0
K
e



M
O
M


(
2
)

+ jκ x
l
 0
N −1 
e
L


 . K .


M 0 M
 . L .


.

M 

.
 . K .


M 0 M 
 . L .


.
K
.


'
 M −G nm M 
 .
.
L

  κ ( 2 ) + jκ ( 2 )l

  − x0 e xo

K
0
  κ0

(3)

  ρ c ' − jκ xm
κ(3)
l
M
O
M
Enm e
− xm
O
M

  −
z1
κo
κ x( 2 ) + jκ ( 2 ) l  
κ x( 2 ) − jκ ( 2 ) l  
0
L − 0 e xN −1 
L − 0 e xN −1  
κ0
κ0


K
0























'
H nm  





(2.72)
Tener presente que los subíndices en cada menor varían de 0 → N − 1 .
Solucionando el sistema de ecuaciones se obtienen las amplitudes de todos los
modos con lo cual se puede calcular la pérdida de transmisión correspondiente. La pérdida
de transmisión puede obtenerse a partir de la potencia acústica de la onda incidente W0 y la
potencia transmitida W3 . Entonces la pérdida de transmisión está dada por
W 
TL = 10 ⋅ log  0 
 W3 
(2.73)
Para la potencia en el caso de un tubo bi-dimensional de altura h se tiene.
h
W = ∫ Idy
(2.74)
0
donde I es la intensidad acústica en dirección x
1

I = Re  p ⋅ v*x 
2

.
(* denota complejo conjugado)
34
(2.75)
Considerando lo anterior y que se trabajará bajo la primera frecuencia de corte del
tubo al cual se conecta la cámara de expansión, el TL se puede calcular según la siguiente
expresión Ref [47][48].
 A(1)
0
TL = 10 ⋅ log 
 A(3)
 0
2
2




(2.76)
V. MONTAJE EXPERIMENTAL Equation Chapter 5 Section 5.1
Para el montaje experimental se utilizó un sistema de medición para la obtención
del Coeficiente de Reflexión Complejo y la Impedancia Acústica Específica. El sistema se
basa en el método de la Función de Transferencia (ISO 10534-2) )
[39] [40] [41],
el que es
aplicado a un tubo de onda plana que cuenta con un altavoz en un extremo y un material de
prueba en el otro. Este sistema exige el uso de un ruido de banda ancha como señal de
excitación y la toma de dos señales por medio de un par de micrófonos, las que son
digitalizadas a través de una tarjeta adquisidora Análogo-Digital Multicanal.
Los datos son almacenados y procesados a través de un software desarrollado en el
Instituto de Acústica
[38],
Los resultados son visualizados a través de la pantalla del
computador, el análisis es realizado en banda ancha, en un rango de frecuencia que va
desde los 250 [Hz] hasta los 2000 [Hz].
En el proceso de montaje experimental se procedió a construir cuatro diferentes
cámaras de expansión, una metálica en acero de 3 mm. de altura variable hasta 50
centímetros y 10 centímetros de ancho, con una
cámara lateral desmontable para
resonadores laterales. El sistema de variación de altura se realizó con tres ejes, uno de los
cuales era un tornillo de hilo completo(ver figura N° 11), la cavidad interior se comprende de
un perfil cuadrado el cual disminuye el volumen interior de la cámara de expansión, se
compone en el exterior por unas pestañas de 2.5 centímetros, las cuales se atornillan a la
base del tubo cuadrado de 10 centímetros de prueba. Por otra parte se construyó también
tres cámaras de expansión en madera terciada con posibilidad de montar también
35
resonadores laterales, todo esto se realizó en madera terciada de 18 milímetros, y 15
milímetros.
El tubo de Norma existente, tiene una longitud de 1 metro y es circular, el tubo
cuadrado intermedio donde van montadas las cámaras de expansión o de prueba tiene 1
metro. El tubo intermedio es cuadrado de 100 mm. por 100 mm., en acero de 4 mm., estos
se unen una vez calibrada la posición, a través de pernos acerados con tuercas y
contratuercas, para el sello entre las uniones se utilizó goma de traje de buzo, al final de
línea se uso un tubo cuadrado recto de 1.2 metros de longitud con cuñas absorbentes. [37] [38]
[40][41] [42] [50]
El primer paso fue montar el tubo recto sin cámara de expansión y determinar si la
cuña absorbente de final de línea producía algún tipo de reflexión en la parte posterior del
tubo cuadrado. Para esto se midió la absorción con el tubo del método ISO 10534-2, y una
vez que se obtuvo casi un coeficiente cercano a uno y una buena coherencia sobre 0.8, se
obtuvo el factor de calibración para el sistema global que se monto con posterioridad [40][41].
La frecuencia de corte inferior es 249 hertz y la superior 2000 hertz.
36
37
Fig N° 11 Diagrama de montaje experimental
38
La gráfica obtenida de la absorción (Fig-N° 12) y coherencia del tubo sin cámara
con terminación absorbente es la siguiente:
Figura N° 12
Figura N° 13
Para obtener estos valores se buscó varias formas alternativas de espuma absorbente, con la
que se obtuvo mejor resultado fue unas cuñas de la cámara anecoica, la absorción fue
aproximadamente unitaria y la coherencia mayor de 0.8 (Fig-13). Luego se procedió a
montar las cámaras de expansión con y sin resonadores, los resultados gráficos se entregan
en el siguiente capítulo de mediciones.
39
VI. MEDICIONES Equation Chapter 6 Section 6.1
Se realizaron mediciones con diferentes cámaras de expansión (de latón de 3mm de
espesor y de madera terciado de 15mm de espesor), el largo y ancho en todas las cámaras
permanecen constantes, las distintas configuraciones quedan definidas por las alturas que
llamaremos h1, h2 y h3(ver fig n°4), h1= h3=10cm y h2 es variable.
El proceso de medición en si es muy rápido, sin embargo se requirió bastante
tiempo para cada medición, debido a lo complicado del montaje y las fugas en las uniones
del tubo intermedio con las cámaras de expansión acopladas. Cada una de las cajas para
formar la cámara de expansión debe ser apernada a la base acerada del tubo intermedio a
través de 8 pernos.
En la siguiente sección se presentan los resultados obtenidos en las mediciones de
distintas cámaras de expansión. Cada gráfico contiene tanto los resultados experimentales
como los obtenidos teóricamente mediante el procedimiento detallado en la sección IV.2.2.
40
VI.1 CÁMARAS DE EXPANSIÓN
Fig N° 14.
Fig N° 15
41
Fig N° 16
Fig N° 17
42
Fig N° 18
Fig N° 19
43
Fig N° 20
Fig N° 21.
44
Fig N° 22
En las gráficas 14 a 22 se puede ver claramente el efecto de los modos superiores,
el cual se traduce principalmente en la aparición de máximos y mínimos muy marcados en
las curvas de TL(En las figuras se indica como “Fc” la frecuencia de corte de cada cámara
de expansión).Los resultados teóricos son cualitativamente muy similares a los obtenidos
experimentalmente, las diferencias se deben principalmente a que el montaje no cumple
con lo supuesto al desarrollar el modelo teórico (terminación 100 % absorbente, sin
pérdidas, cámara 100% reactiva).
45
VI.2 RESONADOR DE HELMHOLTS
Un resonador consiste de una cavidad rígida que contiene un volumen V, un cuello
de longitud L y sección transversal con área S. todas las dimensiones son pequeñas
comparadas con la longitud de onda incidente λ . El fluido en la cavidad actúa como un
resorte, el fluido en el cuello se mueve como una unidad para proporcionar el elemento de
masa. La frecuencia de resonancia para pequeñas amplitudes esta dada por [17][18][19][20][44]:
f =
C
(2⋅π )
⋅
S
( L + δ L) ⋅V
(6.1)
El resonador puede representarse mediante el siguiente circuito análogo (Fig N°- 24)
[45]:
Figura N° 23
MA representa la masa acústica del cuello, CA la compliancia acústica de la
cavidad, Rc la resistencia acústica del cuello y Rar la resistencia acústica de radiación. P
representa la presión y U la velocidad de volumen [21] [22] [23] [24][25] [26] [46].
46
Para la masa acústica se tiene:
MA =
ρ0 L
S
(6.2)
La compliancia acústica esta dada por:
CA =
V
ρ0 c 2
(6.3)
PT
UT
(6.4)
La Impedancia del sistema estará dada por
ZT =
La presión total en el sistema será:

1 
PT = U T ( Rc + RAR ) + jω MA +
jωCA 

(6.5)
1 

ZT = ( Rc + RAR ) + j ω MA −
ωCA 

(6.6)
En condiciones de resonancia la parte imaginaria debe ser cero
1 

j ω MA −
=0
ωCA 

ω2 =
1
CA ⋅ MA
47
(6.7)
(6.8)
Es decir obtenemos la frecuencia a la cual el resonador esta sintonizado, sabiendo que
ω = 2π f .
f =
1
2π
1
CA ⋅ MA
(6.9)
Los rangos de validez para el buen funcionamiento del resonador de Helmholts se
encuentran estudiados en varios Papers de la JASA [19] [20] [21] [25] [20] [23], y estudios anexos,
pero aún se encuentran diferencias de opinión de cual aproximación es mejor según la
aplicación [33].
Si la longitud de onda es mayor que todas las dimensiones del resonador dicho
sistema se comporta como si fuera un oscilador armónico con un grado de libertad. Al
diseñar un resonador es importante considerar los siguientes puntos:
a) Si λ
L : El fluido en el cuello se mueve como una unidad y
constituye un elemento de masa (Aceleración sin compresión),
ecuación (6.2)
b) Si λ
V 1/ 3 : La presión acústica dentro de la cavidad proporciona el
elemento de rigidez, un volumen de aire comprimido por una fuerza
neta sin desplazamiento apreciable del centro de gravedad.
(Compresión sin aceleración), ecuación (6.3)
c) Si λ
S 1/ 2 : La apertura radia sonido como una fuente simple y en
consecuencia proporciona el elemento de resistencia, ecuación (6.3)
Si no se aplica la restricción de que el volumen de la cavidad sea pequeño en
relación a la longitud de onda se tiene la siguiente expresión para la impedancia del
resonador:
ZTres = r + jω M A − jZ 0 cot(κ 0 ⋅ a)
48
(6.10)
Considerando la restricción κ 0 ⋅ a
1 , se tiene para efectos de cálculo
aproximado la expresión
ZTres = r + jω M A − j
1
C Aω
(6.11)
donde la compliancia es " C A " :
CA =
a
con a : profundidad posterior del resonador
ρ0 c 2
(6.12)
y la masa acústica es " M A " :
MA =
ρ0
(b + 1.6(radio))
σb
(radio): radio del orificio del resonador
b: Espesor de la placa o longitud del cuello del resonador
(6.13)
ρ 0 : Densidad del aire
σ b : Factor de porosidad o densidad de hoyos
σb =
π (radio) 2
e2
e : Distancia entre ejes de los hoyos
(6.14)
Donde "r " aquí puede incluir el material absortor puesto detrás de la masa
Acústica.
r = Ξ⋅d
Ξ : factor de Porosidad del material
(6.15)
d: Espesor de material absortor
A continuación se presenta una comparación entre resultados medidos y teóricos
para utilizar resonadores acoplados:
49
Figura N° 24
El error obtenido en la frecuencia de resonancia del resonador es bajo con respecto
a las aproximaciones de la fórmula (6.11). La restricción κ 0 ⋅ a
1 implica una frecuencia
máxima de trabajo para 771 Hertz en el resonador, sobre este valor, la cavidad deja de
comportarse como una compliancia pura y se debería considerar la fórmula con la
cotangente (6.10) cot(κ 0 ⋅ a ) .
A partir de las mediciones se estima el valor de la parte resistiva para este resonador
en aproximadamente 0.2 ρ 0 ⋅ c . Este valor será utilizado para realizar los cálculos teóricos
de pérdida de transmisión.
A continuación se muestran los resultados obtenido al usar resonadores acoplados en
uno de los lados de la cámara de expansión, es decir Z1 corresponde a la impedancia de
resonadores acoplados sintonizados aproximadamente a los 400 Hz. (ver figura N° 4) como se
muestra su resultado en la figura N° 24.
50
VI.3 CÁMARA DE EXPANSIÓN CON RESONADOR ACOPLADO
Fig N° 25
51
Fig N° 26
Fig N° 27
52
Fig N° 28
Camara de Expansion de Acero. L= 50cm, h1=h2=10cm, h2=35cm
10
Experimental con Resonador
Experimental sin Resonador
9
8
7
6
)
B
d(
L
T
5
4
3
2
1
0
200
250
300
350
400
450
500
Frecuencia (Hz)
Fig N° 29
Los resultados contenidos en los gráficos 25 al 29 confirman la posibilidad de
mejorar la pérdida de transmisión utilizando resonadores sintonizados en las frecuencias
donde la cámara de expansión presenta los típicos mínimos de TL. Evidentemente para una
aplicación práctica se deben realizar mas pruebas tendientes a optimizar el sistema.
53
VII. CONCLUSIONES
El objetivo principal de ésta Tesis fue estudiar y comprobar experimentalmente la
existencia y propagación de los modos de orden superior, a través del análisis teórico y
práctico. El análisis matemático y físico presentado permiten entender el concepto de
modos superiores y la incidencia de estos en el comportamiento del sonido en ductos.
Los resultados experimentales y teóricos son congruentes, las curvas de pérdida de
transmisión teóricas y experimentales se comportan cualitativamente de una manéra muy
similar, sin embargo hay diferencias cuantitativas debidas principalmente a que en el
montaje experimental no se cumplen en un cien por ciento las condiciones asumidas en el
desarrollo teórico. Un inconveniente es la imposibilidad de construir una terminación 100
% absorbente. Otro factor importante guarda relación con la construcción de las cámaras de
expansión; con
la cámara de expansión
en acero, se obtuvo mejor resultado en la
aproximación de los valores de TL con respecto al valor teórico que con las de madera, lo
cual depende de las pérdidas que puedan producirse y las fugas que el sistema pueda tener
por aberturas y problemas en los sellos.
Otro factor importante en las diferencias entre teoría y medición es que el sistema
de medida utilizado está diseñado para medir absorción sonora, el coeficiente de
transmisión se obtuvo a partir del coeficiente de reflexión asumiendo que los sistemas eran
reactivos y no presentaban pérdidas. Lo anterior equivale a asumir que toda la energía que
no se refleja es transmitida, algo que evidentemente no es real, y por lo tanto se obtienen
en general valores de pérdida de transmisión medidos inferiores a los obtenidos
teóricamente.
Por último, se puede concluir que se han cumplido los objetivos planteados al
inicio de este trabajo.
54
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