Material Didáctico sobre Medición

Universidad de Sonora
Departamento de Matemáticas
Programa de Maestría en Matemática
Educativa
Diplomado "La Enseñanza de las
Matemáticas en la
Educación Secundaria"
Material Didáctico sobre Medición
Responsable:
Del Castillo Bojórquez Ana Guadalupe
Colaboradores:
Villalba Gutiérrez Martha Cristina
Vargas Castro Jorge Ruperto
Hermosillo, Sonora. Octubre de 2006
Geometría: Medición
Contenido:
Lección 1: Significado de Medición
Actividad 1 ¿Qué Significa Medir?
Actividad 2 Área de la Palma de la Mano
Lección 2: Áreas
Actividad 3 Explorando Áreas en el Geoplano
Actividad 4 Triángulos y Rectángulos
Actividad 5 Calculando Áreas
Actividad 6 Un Número Especial
Actividad 7 Transformando el Círculo
Lección 3: Volúmenes
Actividad 8 Adquiriendo la Noción de Volumen
Actividad 9 Cilindros y Conos
Lección 4: Reflexiones sobre la Enseñanza de la Geometría
Lectura: “Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría para el Siglo XXI” Villani
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Presentación
Este material se compone de una secuencia de actividades cuya finalidad es promover la
reflexión sobre lo que significa medir, identificando algunas propiedades medibles de
objetos geométricos, como longitud, superficie y volumen.
Se utilizarán, de inicio,
unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión de las convenciones
establecidas en la determinación de unidades de medición.
Las actividades están diseñadas para mostrar una manera de construir el concepto
de medición de forma significativa, ayudando a los participantes a establecer estrategias
de cálculo y/o propuestas de algoritmos para la determinación de perímetros, áreas y
volúmenes. Se insiste en evitar el uso de fórmulas pre-establecidas a cambio de que sus
estrategias los lleven a establecer una regla general que podemos llamar fórmula, y que
en este caso cobra sentido.
En pocas palabras, hemos de procurar siempre que los procedimientos
heurísticos precedan a todo formalismo. Así, el cubrir totalmente una superficie con una
figura conocida estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del área
de una superficie, así como el visualizar, manipular y contar arreglos tridimensionales de
cubos, estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del volumen de un
cuerpo. Una vez establecidas las reglas para el cálculo del área de un cierto tipo de
superficies (como podría ser un rectángulo) y entendiendo el área como la medida del
espacio encerrado en una figura plana, y mediante la descomposición de una figura en
otra a manera de rompecabezas, se podrán establecer reglas para la determinación del
área de otro tipo de figuras. Algo similar puede hacerse para la determinación de
longitudes y volúmenes. En el caso de la determinación de volúmenes, una estrategia
acorde con estas ideas es utilizar el llenado de recipientes para comparar el volumen de
dos cuerpos, entendiendo éste como la medida del espacio ocupado por un sólido.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Objetivos
Objetivo general de los materiales
Promover la reflexión sobre los que significa medir a la vez que se promueve el desarrollo
de habilidades de construcción de estrategias y conjeturas, así como de integración del
“hacer” y “reflexionar” para poder producir argumentos propios que determinen su ámbito
de validez.
Objetivos específicos
1. Identificar algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud,
superficie y volumen.
2. Explorar el uso de unidades de medición no estándar y discutir las convenciones
establecidas para la determinación de unidades de medición estándar.
3. Expresar argumentos que justifiquen la validez de sus estrategias de cálculo y/o
propuestas de algoritmos para la determinación de perímetros, áreas y volúmenes.
4. Establecer reglas generales a partir de sus estrategias, expresadas como
fórmulas.
5. Llevar a los profesores la experiencia de hacer geometría en el sentido que lo
marca el enfoque curricular:
6. Explorar y reflexionar acerca de las perspectivas en la enseñanza de la Geometría.
Metodología
A continuación, se dará una breve descripción de las actividades que componen este
material didáctico con el fin de que sirvan como guía metodológica en su desarrollo.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 1: Significado de Medición.
Actividad 1 ¿Qué significa medir?
Con esta actividad se pretende que los profesores vivan la experiencia de comparar áreas
y perímetros de algunas figuras geométricas sin utilizar instrumentos graduados, para dar
inicio a la reflexión acerca de lo que significa medir.
Material: Para esta actividad se requiere un juego por participante de los triángulos
rectángulos que se muestran a continuación. Se recomienda algún material colorido y
rígido. La reproducción debe mantener las medidas exactas para el éxito de la actividad:
Organización: El material se reparte para trabajar individualmente, aunque pueden estar
en equipos de dos a cuatro personas. El asesor promueve la discusión grupal en cada
actividad.
Discusión: Se sugiere que conforme avanzan en la actividad, se compartan, en forma
grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los resultados expresados se
establezca la diferencia entre el medir y el calcular.
Actividad 2 Área de la Palma de la Mano
Con esta actividad se pretende que los profesores midan el área de una figura plana
irregular utilizando distintas unidades de medición y promover la reflexión acerca de las
características deseables para la determinación de una unidad de medición. También se
promueve la reflexión sobre la determinación de unidades de medición para mejorar la
estimación del área de una figura dada.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Material: Para esta actividad se requieren varias retículas regulares impresas en
acetatos: una cuadrada, una triangular y una hexagonal. Los cuadrados, triángulos y
hexágonos de las retículas deben medir un centímetro por lado. También se necesitará
una retícula con cuadrados de un milímetro de lado.
Organización: El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas.
El asesor promueve la discusión grupal en cada actividad.
Discusión: Se sugiere que conforme avanzan en la actividad, se compartan, en forma
grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los resultados expresados se
determine la conveniencia de utilizar las unidades de medición presentadas.
Lección 2: Áreas
Actividad 3 Explorando Áreas en el Geoplano
El propósito de esta actividad es la de explorar la determinación de áreas de polígonos
irregulares que pueden construirse en un geoplano. Se promueve el uso de material
manipulable, aunque también se presentan alternativas, en caso de no contar con éste.
Material: Para esta actividad se requiere un geoplano y ligas de colores. En su defecto,
puede utilizar hojas de papel con puntos marcados, o bien, puede utilizar un geoplano
simulado con un software de geometría dinámica.
Organización: Se trabaja primero individualmente y se discuten los resultados en equipos
de dos a cuatro personas. Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, las estrategias utilizadas para
la determinación del área de las figuras dadas, así como de la construcción de los
polígonos solicitados.
Actividad 4 Triángulos y Rectángulos
El propósito de esta actividad es la de explorar la determinación de áreas de triángulos y
otros polígonos irregulares que pueden construirse en un geoplano, a través de la
construcción de rectángulos. Se promueve el uso de material manipulable, aunque
también se presentan alternativas, en caso de no contar con éste.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Material: Para esta actividad se requiere un geoplano y ligas de colores. En su defecto,
puede utilizar hojas de papel con puntos marcados, o bien, puede utilizar un geoplano
simulado con un software de geometría dinámica.
Organización: Se trabaja primero individualmente y se discuten los resultados en equipos
de dos a cuatro personas. Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, las estrategias utilizadas para
la determinación del área de las figuras dadas, así como de la construcción de los
polígonos solicitados.
Actividad 5 Calculando Áreas
El propósito de esta actividad es la de establecer estrategias de cálculo y/o propuestas de
algoritmos para la determinación de áreas de algunos polígonos conocidos. Se insiste en
evitar el uso de fórmulas pre-establecidas a cambio de que sus estrategias los lleven a
establecer una regla general que podemos llamar fórmula, y que en este caso cobra
sentido. En pocas palabras, hemos de procurar siempre que los procedimientos
heurísticos precedan a todo formalismo.
Material: Para esta actividad se requiere por participante un juego de dos o tres hojas de
papel bond y tijeras.
Organización: Se trabaja primero individualmente y se discuten los resultados en equipos
de dos a cuatro personas. Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, las estrategias utilizadas para
la determinación del área de las figuras dadas, así como la reflexión sobre el
establecimiento de las fórmulas de manera significativa.
Actividad 6 Un Número Especial
El propósito de esta actividad es la de construir de manera significativa una aproximación
al número
π
y establecer su utilidad para el cálculo del perímetro de un círculo. Los
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
resultados se expresan en términos de una fórmula, la cual cobra sentido a través de la
actividad realizada.
Material: Para esta actividad se requieren varios círculos, en distintos tamaños, y una tira
extendida de papel milimétrico de por lo menos medio metro de largo. El perímetro de los
círculos utilizados no debe exceder la longitud de la tira de papel milimétrico.
Organización: El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas.
Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.
Actividad 7 Transformando el Círculo
El propósito de esta actividad es la de estimar el área del círculo a través del uso de la
transformación del círculo en una figura plana, cuya área puede calcularse por un
algoritmo conocido
Material: Para esta actividad se requieren varios círculos del mismo tamaño, divididos
regularmente en sectores circulares, y cada círculo debe tener un número distinto de
divisiones. Se recomienda dividir un círculo en 8 sectores regulares, otro en 12 y otro en
16, por lo menos.
Organización: El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas.
Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.
Lección 3: Volúmenes
Actividad 8 Adquiriendo la Noción de Volumen
El propósito de esta actividad es la de construir el concepto de volumen de manera
significativa. Así, el visualizar, manipular y contar arreglos tridimensionales de cubos,
estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del volumen de un
cuerpo. Primeramente, se trabajará con prismas rectangulares y después se tratará de
generalizar estos resultados a prismas arbitrarios, cilindros y cuerpos con secciones
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
transversales paralelas y congruentes.
Finalmente, se utilizará el desplazamiento de
líquidos para estimar el volumen de una esfera y se establecerá una relación para el
cálculo del mismo, a partir de la fórmula del volumen de un cilindro, la cual se discute en
una etapa previa de la actividad.
Material: Para esta actividad se requieren varios cubos de colores del mismo tamaño. Se
pueden comprar paquetes de cubitos, los cuales generalmente, tienen 1.5 cm de lado.
También deberá construirse una cajita, que pueda ser medida con un número exacto de
cubitos: se recomienda un arreglo de 2x3x4 cubitos, lo que requerirá que las medidas de
la cajita sean de 3x4.5x6 cms. También será necesario contar con un semiespejo, una
barrita de plastilina, una cajita y vasos cilíndricos de distintos diámetros.
Organización: El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas.
Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.
Actividad 9 Cilindros y Conos
El propósito de esta actividad es la determinación de volúmenes a través del llenado de
recipientes y la comparación del volumen de dos cuerpos, entendiendo éste como la
medida del espacio ocupado por un sólido.
Material: Para esta actividad se requiere un cilindro sin tapa, arroz o algún polvo liviano,
un cono circular recto sin tapa de igual base y altura que el cilindro, un prisma y una
pirámide de igual base y altura.
Organización: El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas.
Finalmente, el asesor promueve la discusión grupal.
Discusión: Se sugiere que se comparta, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 4: Reflexiones sobre la Enseñanza de la Geometría
Esta lección se centra en la reflexión y evaluación de lo experimentado con el fin de
diseñar materiales apropiados para el salón de clases. Además de aprovechar las
experiencias de las actividades anteriores se proporciona una lectura que sirva como guía
para la reflexión sobre las perspectivas en la enseñanza de la Geometría para este siglo.
Material: Lectura: “Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría para el Siglo XXI”,
Villani.
Organización: Se sugiere que se formen equipos para tanto para evaluar las actividades
desarrolladas como para seleccionar un tema específico del cual presentarán su
planeación, su estructura, contenido y fundamentación.
Discusión: Enfatizamos que al evaluar las actividades será necesario promover las
reflexiones entre los participantes acerca de:

Lo que aprendieron: No solamente conceptos o definiciones, sino el tipo de
“trabajo geométrico” que realizaron en términos de las habilidades específicas que
cada tarea demandó, por ejemplo, en cuanto a la necesidad de visualizar
propiedades de las construcciones hechas, junto a la capacidad de buscar
estrategias y argumentos para validarlas y determinar su generalidad.

Cómo lo aprendieron: Los procesos que cada quién tuvo que realizar para
aprender. Por ejemplo, cómo usaron o relacionaron lo que ya sabían, el papel que
jugaron las actividades propuestas, los materiales y el ambiente de intercambio de
opiniones que se propició, entre otros.

Cómo se les “enseñó”. El papel que jugó el (la) instructor(a). ¿Qué hizo?
Para el diseño de la actividad posiblemente se tenga que trabajar parte de ella como
tarea. Se sugiere que se les solicite su presentación de manera formal, proyectando cada
equipo su trabajo ante el grupo y sometiéndolo a su valoración.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Secuencia de
Actividades
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 1: Significado de Medición
Actividad 1
¿Qué significa medir?
Esta actividad se desarrolla en equipos de tres personas, pero se recomienda
trabajar primero individualmente y después comentar con los compañeros de
trabajo.
Usted necesitará tres triángulos para medir, los cuales le serán proporcionados
por su asesor.
1. Utilice todos los tres triángulos para construir las siguientes figuras:
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
2. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura
tiene mayor área? Justifique su respuesta.
3. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura
tiene menor perímetro? ¿Cuál tiene mayor perímetro? Justifique su
respuesta.
4. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ordene los polígonos de
menor a mayor, según su perímetro. Explique como lo hace.
5. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 1 : Significado de Medición
Actividad 2
Área de la palma de la mano
1. Trace el contorno de su mano en el siguiente espacio, de modo que
obtenga una figura cerrada. Piense en cómo puede determinar el área de
esa figura, utilizando las retículas que le serán entregadas por su asesor.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
2. ¿Cuál puede ser la unidad de medida?
3. ¿Qué características debe tener una unidad de medida de superficie?
4. ¿Qué tipo de polígonos regulares tienen estas propiedades, y por lo tanto,
podrían ser utilizados como unidades de medida?
5. ¿Cuál es el comúnmente utilizado?
6. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas.
7. Utilice el cm2 para estimar el área de la huella de su mano.
8. Repita el ejercicio anterior utilizando el mm2.
9. ¿Cómo podría obtener mejores aproximaciones?
10. Se estima que la palma de la mano representa el 1% de la superficie total
del cuerpo. Use este dato para aproximar el área total de la piel de su
cuerpo.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 2: Áreas
Actividad 3
Explorando áreas en el geoplano
Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto,
puede utilizar hojas de papel con puntos marcados, o bien, puede utilizar un
geoplano simulado con un software de geometría dinámica.
1. La unidad de área en el geoplano será la del cuadrado más pequeño que
pueda obtenerse al unir cuatro clavos. A esta unidad la llamaremos unidad
cuadrada.
2. En el geoplano, la unidad de longitud será la distancia vertical u horizontal
entre dos clavos consecutivos.
3. Utilice el geoplano y ligas de colores, o una de las alternativas
mencionadas, para reproducir las siguientes figuras y encuentre el área de
cada una en unidades cuadradas:
4. Ahora, construya las siguientes figuras:
a. Un cuadrado con área de cuatro unidades cuadradas.
b. Un triángulo isósceles con área de cuatro unidades cuadradas.
c. Un cuadrado con área de dos unidades cuadradas.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 2: Áreas
Actividad 4
Triángulos y rectángulos
Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto,
puede utilizar hojas de papel con puntos marcados, o bien, puede utilizar un
geoplano simulado con un software de geometría dinámica.
1. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de los
siguientes triángulos.
2. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de las
siguientes figuras.
.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
3. Construya las formas siguientes:
d. Un triángulo con un área de 3 unidades cuadradas
e. Un triángulo y un cuadrado con áreas iguales (¿Cuál tiene el
perímetro más pequeño?)
f. Triángulos con áreas de 5, 6, y 7 unidades cuadradas,
respectivamente.
Lección 2: Áreas
Actividad 5
Calculando áreas
1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un rectángulo
en el geoplano.
2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la
fórmula para obtener el área del rectángulo.
3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo
rectángulo en el geoplano.
4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y
explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo? Para
responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:
Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b
y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el
área de un paralelogramo?
6. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente
procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo arbitrario.
Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el papel doblado, de
modo que obtendrá dos triángulos congruentes.
Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma base y
la misma altura del triángulo.
g. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo?
h. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y
altura h.
7. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito
en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base
menor b y su altura h.
Acomódelos de modo que se forme un
paralelogramo.
i. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula.
j.
¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo?
k. Escriba la fórmula para el área del trapecio.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
8. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos
regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2
unidades.
l.
Utilice la información para encontrar el área de los polígonos.
m. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce
para encontrar el área de un polígono regular?
Lección 2: Áreas
Actividad 6
Un número especial
Utilice los círculos que le entregará el asesor para completar la tabla mostrada.
1. Para medir su circunferencia, coloque el círculo de modo que el punto
marcado esté sobre una tira extendida de papel milimétrico de por lo menos
medio metro de largo. Marque el punto sobre el papel. Ruede el círculo de
modo que el punto marcado complete una vuelta exacta y vuelva a marcar
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
el punto correspondiente sobre el papel. Mida la distancia entre las dos
marcas sobre el papel.
Diámetro d
Circunferencia C
Razón de C sobre d
2. Analice la tabla. ¿Qué puede decir acerca de la razón de la circunferencia
sobre el diámetro de la misma?
3. Basándose en la información anterior, ¿cuál es la relación que existe entre
la circunferencia y el diámetro de un círculo?
4. Escriba la fórmula para el perímetro de un círculo en términos de su
diámetro. Justifíquela en términos de la información anterior.
5. Escriba la fórmula para el perímetro de un círculo en términos de su radio.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 2: Áreas
Actividad 7
Estimando el área del círculo
Utilice las piezas que le entregará el asesor para formar varios círculos. Para cada
uno de ellos, utilice piezas del mismo tamaño.
1. ¿Cuánto mide el radio de los círculos?
2. Calcule el perímetro del círculo.
3. Seleccione el círculo con el menor número de piezas. Reacomode las
piezas de la siguiente manera:
4. ¿Cómo se relaciona el área de la figura con el área del círculo?
5. La figura obtenida semeja, burdamente, un paralelogramo, ¿cuál sería su
altura?
6. ¿Cuánto mide la base ondulada de este “paralelogramo”?
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
7. Reacomode las piezas de los demás círculos de manera similar. ¿Qué
sucede con el “paralelogramo” conforme aumenta el número de piezas del
círculo?
8. ¿Cuál es su altura? ______________ ¿Cuál es su base? __________
¿Cuál es su área? ________________
9. Si consideramos que el radio del círculo es r, ¿cuál sería la altura y la base
del “paralelogramo”?
10. Escriba la fórmula para el área de un círculo en términos de su radio r.
¿Cómo ayuda la construcción anterior a entender esta fórmula?
Lección 3: Volúmenes
Actividad 8
Adquiriendo la noción de volumen
Para esta actividad se requerirá un semiespejo, unos cubitos, una barrita de
plastilina, una cajita y vasos cilíndricos de distintos diámetros.
1. Coloque la cajita hacia un lado del semiespejo y, del otro lado, el arreglo de
cubitos que se le sugiere. Traslade y rote la cajita, sin levantarla del suelo,
hasta que parezca que la imagen de la cajita coincide exactamente con el
arreglo de cubitos. Ahora deshaga el arreglo de cubitos y cuéntelos uno por
uno. Basados en esta experiencia, conteste a las siguientes preguntas:
a. ¿Qué es el volumen de la cajita?
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
b. ¿Qué operación aritmética le permite determinar la cantidad de
cubitos, sin tener que contarlos uno por uno?
c. ¿Cómo explicar el hecho de que el volumen de una caja de
dimensiones enteras (paralelepípedo rectangular o prisma
rectangular) sea el producto de las tres dimensiones (largo por alto
por ancho)?
d. ¿Cómo influye la elección de la cara que se toma como base para el
orden de los factores que determinan el volumen? Discutir
ampliamente.
2. En el punto anterior, se habló de un método para encontrar el volumen de
un prisma rectangular. ¿Cómo puede extenderse este resultado a prismas
arbitrarios, a cilindros y a figuras con secciones transversales paralelas y
congruentes, como las que se muestran a continuación?
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
3. ¿Qué puede decir del volumen del siguiente prisma?
4. Encuentre el volumen de los siguientes sólidos, utilizando los resultados del
punto 2. ¿Importa cuál cara es la base para el cálculo del volumen de cada
uno de ellos?
5. Mida el diámetro interior de un vaso cilíndrico. Con la plastilina o cualquier
otro material moldeable, forme una esfera del mismo diámetro del vaso.
Vierta agua en el vaso de modo que al introducir la esfera en el mismo,
quede completamente cubierta sin que se derrame el agua. Marque la
altura del nivel del agua antes y después de introducir la esfera.
e. Encuentre el volumen del agua desplazada utilizando la fórmula del
volumen del cilindro.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
f. ¿Qué relación existe entre el volumen del agua desplazada y el
volumen de la esfera?
g. Encuentre la razón de la altura del líquido desplazado entre el radio
común de la esfera y el vaso.
h. Repita el proceso anterior con varios vasos de distintos diámetros
con sus respectivas esferas y complete la siguiente tabla.
Diámetro
del vaso y
la esfera
Radio del
vaso y la
esfera
Altura del
líquido
desplazado
Razón de la altura
del líquido
desplazado sobre el
radio
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
i.
¿Qué puede decir de la razón de la altura del líquido desplazado
sobre el radio?
j.
Si consideramos que el cilindro tiene radio r, al igual que la esfera, y
llamamos h a la altura del líquido desplazado, encuentre la relación
entre r y h, y exprese h en términos de r.
k. Con base en el inciso anterior, ¿cuál es el volumen de la esfera de
radio r?
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
Lección 3: Volúmenes
Actividad 9
Cilindros y Conos
Para esta actividad se requerirá un cilindro sin tapa, arroz o algún polvo
liviano, un cono circular recto sin tapa de igual base y altura que el cilindro.
1. Discuta con sus compañeros cómo construir un cono circular recto sin
tapa de igual base y altura que un cilindro dado.
2. Escriba la fórmula para encontrar el volumen del cilindro de radio r y
altura h.
3. Llene el cono con arroz y viértalo al cilindro. Repita la operación hasta
que el cilindro se llene.
l. ¿Qué relación existe entre el volumen del cilindro y el volumen del
cono?
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.
Geometría: Medición
m. Con base en el resultado anterior, ¿cuál es el volumen del cono de
radio r y altura h?
n. ¿Este resultado puede generalizarse a la relación existente entre
el volumen de un prisma y el de una pirámide de igual base y
altura que el prisma? ¿Cómo podría verificarlo?
Referencias
Annenberg Media (2005). Learning math: geometry.
http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/geometry/index.html
Duval, R., (1995). Geometrical pictures: kinds of representation and specific proceses, in existing mental
imaginery with computers. In Mathematic Education (Sutherlan & Mason Eds), Springer p. 142-157,.
Leñero, M. et al. (2005) Enseñanza de las matemáticas asistida por computadora. Instituto de Matemáticas,
UNAM. http://puemac.matem.unam.mx/
Serra Michael () Discovering Geometry, an inductive aproach (publicado por Key Curriculum Press)
Ureta R., C. (2001). El papel del maestro en la educación matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México.
Vagn Lundsgaard, H. (1995) Everlasting Geometry. In ICMI Study. Canada.
Villani, V. (1995) Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. Discussion Document for an
ICMI Study. Canada.
Elaboración de los Materiales:
Responsable: Ana Guadalupe del Castillo
Colaboradores: Martha Cristina Villalba y Jorge Ruperto Vargas.