guía 3 suplementaria - ramos on-line usm

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – FIS129
GUÍA 3 - ECUACIONES DE MAXWELL
1
1. Una persona empuja un objeto arrastrándolo sobre un
piso horizontal de baldosas desde A hasta B, a lo largo de
la trayectoria que se indica en la figura adjunta.
Cada baldosa tiene su propio coeficiente de roce cinético
(aproximadamente independiente de la velocidad).
2
3
A
B
4
5
Escriba una expresión aproximada, expresada como una sumatoria, para el trabajo realizado por la fuerza
de roce sobre el objeto durante el trayecto de A hasta B.
2. Repita el problema anterior, pero ahora sobre un piso hipotético del cual se conoce su coeficiente de
roce cinético como una función de la posición:   f ( x, y) . Exprese el resultado en la forma de una integral.
3. En los problemas 1 y 2 suponga que la trayectoria no termina en B sino que continúa hasta volver al
punto de partida A. ¿Es posible que el trabajo realizado por la fuerza de roce en esa trayectoria cerrada
sea igual a cero? ¿Qué nombre recibe una fuerza que cumple con esta condición?
4. Un agente externo lleva una partícula de carga Q desde un punto A hasta un punto B a través de una
 
región donde existe un campo eléctrico estático E  f ( x, y, z) , representado en el gráfico mediante sus
“líneas de fuerza”. Suponga que la velocidad es despreciable. (Proceso “cuasiestático”)
a) Escriba una expresión, en forma de una integral, para el trabajo
hecho por el campo eléctrico sobre la partícula.
b) Escriba una expresión para el trabajo realizado por el agente
A
externo.
c) ¿Cambiaría el resultado de las preguntas anteriores si la carga es
llevada de A a B por otro camino? Explique.
d) ¿Cuánto sería el trabajo realizado por el campo eléctrico por una
B
trayectoria que empieza y termina en A?
5. ¿En qué casos puede decirse que están “desacoplados” los campos eléctrico y magnético?
¿A qué se llama “corriente de desplazamiento”? Dé un ejemplo de un sistema físico donde se manifieste la
necesidad de incorporar la corriente de desplazamiento en las ecuaciones de Maxwell.
6. Suponga que se desea estimar el caudal de agua que lleva un
río, es decir el volumen que pasa en la unidad de tiempo a través
de una superficie imaginaria como la representada por la línea
punteada en el gráfico adjunto.
Para esto se ha dividido el área en elementos no muy grandes, y
se ha determinado la velocidad del agua en cada elemento.
(Algunos vectores velocidad se muestran en el gráfico).
Escriba una expresión aproximada para dicho caudal en la forma de una suma.
7. Suponga que en el problema anterior se conoce la velocidad en cada punto de la superficie
representada. Escriba una expresión para el caudal de agua, en forma de una integral.
8. En los problemas 7 y 8: ¿Cómo cambiaría el resultado si se reemplaza la superficie por otra superficie
curvada, pero manteniendo el mismo contorno punteado?
Gonzalo Fuster / Claudio Bravo 1er. semestre 2005
1
9. Suponga que se conoce el vector campo eléctrico en muchos puntos de las paredes, el techo y el piso
de una habitación cerrada.
a) ¿Qué secuencia de operaciones debería realizar usted para determinar aproximadamente la carga
eléctrica dentro de esa habitación?
b) Si el resultado de dichas operaciones fuera cero: ¿implica esto que no hay cargas en el interior de
la sala?
10. En cierta región del espacio existe un campo eléctrico estático, que sólo tiene componente Ex: las
componentes Ey y Ez son cero. Además, se sabe que la componente Ex no depende de la coordenada z.
En el gráfico se representan algunos de los vectores
y
de campo.
¿Cuál(es) de las siguiente derivadas:
E x
x
Ex
y
E x
z
E x
t
es(son) diferente(s) de cero en esa región?
11. Repita el problema anterior, pero con el campo
eléctrico descrito en la figura adjunta: las componentes
Ey y Ez son cero; Ex no depende de z.
z
(sale)
x
y
z
(sale)
x
12. Alguien plantea la posibilidad que las figuras de los problemas 11 y 12 representen en realidad
campos magnéticos. ¿Qué diría usted de esta posibilidad?
 
13. Una de las ecuaciones de Maxwell puede escribirse como:  B  dS  0 .
a) Explique brevemente qué secuencia de operaciones está implícita en la integral del lado
izquierdo de la ecuación.
b) Si en el futuro hubiera que modificar esta ecuación: ¿a qué se debería dicha modificación, y en
qué consistiría?
14. En cierta región del espacio existe un campo de naturaleza indeterminada. Se le informa que en
todos los puntos de una esfera imaginaria el campo apunta en dirección radial (hacia fuera) y su magnitud
es constante.
De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell: ¿Qué podría usted decir acerca de la
región interior de la esfera:
a) si le dijeran que se trata de un campo eléctrico?
b) si le dijeran que se trata de un campo magnético?
15.
En la figura se dan los vectores de cierto campo de naturaleza
indeterminada, en algunos puntos de una esfera imaginaria. El campo es cero
en las regiones superior e inferior de la esfera.
Usando las ecuaciones integrales de Maxwell: ¿Qué podría usted decir acerca
de la región interior de la esfera:
a) si le dijeran que se trata de un campo eléctrico?
b) si le dijeran que se trata de un campo magnético?
Gonzalo Fuster / Claudio Bravo 1er. semestre 2005
2
cero
cero
16. Las líneas de la figura representan cierto campo de naturaleza indeterminada.
De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell: ¿qué podría usted decir, si le dijeran
que se trata de:
a) un campo eléctrico?
b) un campo magnético?
17. En cierta región del espacio existe un campo de naturaleza no determinada.
En la figura se dan algunos vectores de campo en dicha región; la componente z
del campo vale cero en todo el espacio, y las otras dos componentes no
dependen de z.
a) Si se trata de un campo eléctrico: ¿existen cargas eléctricas en la
región? Fundamente su respuesta usando las ecuaciones diferenciales
de Maxwell.
b) Si se trata de un campo magnético: ¿qué puede usted afirmar acerca de
esta región? Fundamente su respuesta usando las ecuaciones
diferenciales de Maxwell
y
z
(sale)
x
18. ¿A qué se llama un “monopolo eléctrico”? ¿Un “monopolo magnético”? ¿Qué relación podrían tener
estos “objetos” con las ecuaciones de Maxwell?
19.
¿Qué conflicto existe entre las ecuaciones de Maxwell y las transformaciones de Galileo?
20. Siguiendo la Ayuda dada más abajo, demuestre que a partir de las ecuaciones de Maxwell puede
deducirse la existencia de ondas electromagnéticas en el vacío. Encuentre la rapidez de propagación de
dichas ondas como función de las constantes universales 0 y 0.
Ayuda: Suponga una región en el vacío, es decir donde no
 hay ni cargas ni corrientes:
=0
j  0
y en donde existen los campos eléctricos y magnético descritos a continuación:
Ex = 0
Ey = E
Ez = 0
Bx = 0
By = 0
Bz = B
En principio, E y B son funciones de las tres coordenadas espaciales y del tiempo.
a) Reemplace estos valores en la forma diferencial de:
 la ley de Gauss para el campo eléctrico.
 la ley de Gauss para el campo magnético.
 la ley de Faraday para el campo eléctrico.
 la ley de Maxwell (con el término de Ampère) para el campo magnético.
b) Demuestre que el resultado de estos reemplazos contiene las siguientes ecuaciones diferenciales.
E
B
B
E
(1)
(2)
 –

 ε 0 μ0
t
x
t
x
c) Derive la ecuación (1) con respecto a x, y la ecuación (2) con respecto al tiempo. De las ecuaciones
obtenidas elimine las derivadas mixtas. Interprete la ecuación obtenida y obtenga una expresión para
la rapidez de propagación de estas ondas en el vacío.
d) Repita el procedimiento pero ahora derivando la ecuación (1) respecto al tiempo y la ecuación (2)
con respecto a x. Elimine las derivadas mixtas, interprete la ecuación obtenida y obtenga la rapidez
de propagación de estas otras ondas.
e) Suponga que las ondas encontradas en c) y d) son senoidales:
E(x,t) = E0 sen(kx – t)
B(x,t) = B0 sen(kx – t)
Demuestre que las amplitudes E0 y B0 no son independientes entre sí. Ayuda: Reemplace estas
funciones de onda en la ecuación (1): ¿a qué corresponde  / k?
Gonzalo Fuster / Claudio Bravo 1er. semestre 2005
3