Equilibrio de una barra

Producto Escalar o Producto Punto de Dos
Vectores en el Plano
El producto escalar de dos vectores en el plano, se define
como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno
del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una
magnitud escalar. Se representa por un punto, para
distinguirlo del producto vectorial que se representa por una
cruz:
A·B | A || B | cos
Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo
(cos 90º = 0).
Otra definición del producto escalar desde el punto de vista
gráfico es la longitud de la proyección ortogonal de un
vector sobre el otro. Una ilustración de esto se puede ver en
la Figura 4 a continuación:
Figura 4
Producto Vectorial o Cruz
Cabe destacar que a diferencia del producto escalar en el
plano, el producto vectorial da como resultado una magnitud
vectorial en el espacio tridimensional, la cual tiene las
siguientes características:
 El módulo del vector c resultante está dado por:
c  a b sin 



La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y
ortogonal a b.
El sentido en el que apunta el vector c está dado por la
regla de la mano derecha.
Si los vectores son paralelos, su producto vectorial es
nulo (sin 0º = 0).
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b,
por ello se le llama también producto cruz. Para evitar
confusiones con la letra x, algunos autores denotan el
producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano.
El producto vectorial puede definirse de una manera más
sencilla de la siguiente manera:
a  b  nˆ a b sin 
Donde n̂ es la componente vectorial ortogonal a los
vectores a y b y su sentido está dado por la regla de la mano
derecha y θ es, como en el producto escalar, el ángulo entre
a y b. Una ilustración del producto vectorial o cruz se puede
observar a continuación en la Figura :
Figura
Productos Vectoriales en Términos de las Componentes
Considerando un sistema cartesiano derecho
axb =
Ejemplo
FUERZA de LORENTZ
Cuando una carga eléctrica en movimiento, se
desplaza en una zona donde existe un campo
magnético, además de los efectos regidos por la
ley de Coulomb, se ve sometida a la acción de una
fuerza.
Supongamos que una carga Q, que se desplaza a
una velocidad v, en el interior de un campo
magnético B. Este campo genera que aparezca una
fuerza F, que actúa sobre la carga Q, de manera
que podemos evaluar dicha fuerza por la
expresión:
Como la fuerza es el resultado de un producto
vectorial, será perpendicular a los factores, es
decir, a la velocidad y al campo magnético. Al
ser perpendicular a la velocidad de la carga,
también lo es a su trayectoria, por lo cuál
dicha fuerza no realiza trabajo sobre la carga,
lo que supone que no hay cambio de energía
cinética, o lo que es lo mismo, no cambia el
módulo de la velocidad. La única acción que
se origina, cuando la partícula entra en el
campo magnético, es una variación de la
dirección de la velocidad, manteniéndose
constante el módulo.
Este cambio de dirección es debido a que la
fuerza que aparece va a actuar como fuerza
centrípeta, originando un movimiento de
rotación de la partícula en el interior del
campo magnético. En el gráfico que vemos al
lado, observamos la fuerza producida, que es
la que originará ese cambio de dirección. B
representa al campo, cuyo sentido es hacia el
interior de la página. F es la fuerza, que, como
vemos, tiene dirección radial, es decir, actúa
como fuerza central y, v es la velocidad de la
carga.
Observamos el fenómeno en su totalidad.
Veremos distintas cargas, positivas y
negativas, que se introducen en el interior de
un campo magnético y, automáticamente,
adquieren un movimiento circular por la
acción de la fuerza.
Existe una regla muy sencilla para obtener la
dirección, obvia por ser el resultado de un
producto vectorial, y el sentido de la fuerza que
actúa sobre la carga. Se conoce con el nombre de
la "Regla de la mano izquierda". Tal y como vemos
en la figura, si colocamos los dedos de la mano
izquierda pulgar, índice y medio, abiertos y
perpendiculares entre sí, cada uno de ellos señala
uno de los vectores:
Concepto de momento de una fuerza
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto,
al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el
vector fuerza F.
M=rF
La analogía de la llave y el tornillo, nos
ayuda a entender el significado físico de
la magnitud momento, y a determinar
correctamente el módulo, la dirección y
el sentido del momento de una fuerza:



El módulo es el producto de la
fuerza por su brazo (la distancia
desde el punto O a la recta de
dirección de la fuerza). M=Fd
La dirección perpendicular al plano
que contiene la fuerza y el punto, la
que marca el eje del tornillo.
El sentido viene determinado por el
avance del tornillo cuando hacemos
girar a la llave.
Ejemplo
Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres
tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una
fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las
siguientes preguntas:



¿En qué situaciones se introduce el tornillo?
¿En que situaciones se saca el tornillo?
¿Cuáles producen el mismo resultado o son
equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo avanza
en una dirección perpendicular al
plano de la página, y hacia el lector.
El módulo del momento es F·d.
En la segunda figura, el tornillo
avanza en una dirección perpendicular
al plano de la página, y hacia dentro
(sentido contrario al anterior). El
módulo del momento es F·2d. Con
una llave más larga estamos en una
situación más favorable que
disponiendo de una llave más corta.
En la tercera figura, el tornillo avanza
en una dirección perpendicular al
plano de la página, y hacia el lector.
El módulo del momento es
F·sen30·2d=F·d. Esta situación es
equivalente a la primera.


Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza
hacia el lector, la llave gira en sentido contrario a las agujas del
reloj.
Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave
gira en el sentido de las agujas del reloj.
Supongamos una barra de masa
despreciable, que está sujeta por
su extremo O.
Si colocamos un peso P a una
distancia x del origen. El
momento de esta fuerza respecto
del origen O es P·x.
Para que la barra esté en
equilibrio la fuerza F deberá ser
tal que el momento total sea
nulo. -F·d+P·x=0, de modo que
F=P·x/d.
Equilibrio de una barra
Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta
por su extremo O.
Si colocamos un peso P a una distancia x del origen. El
momento de esta fuerza respecto del origen O es +P·x.
Atamos una cuerda a una distancia y del origen, y tiramos de
ella haciendo un ángulo θ con la vertical, tal como se
muestra en la figura. El momento de la fuerza F respecto del
origen es -F·y·cosθ.
Para que la barra esté en
equilibrio, el momento total
deberá ser nulo.
-F·y·cosθ+P·x=0
PROBLEMAS DE ESTATICA