/10 OPCIÓN A

Nombre y Apellidos
20/03/2009
Bloque III: Interacción Electromagnética
NOTA:
OPCIÓN A
/10
Cuestiones (1 punto c/u)
A. Una partícula cargada se mueve por una superficie equipotencial de un campo electrostático. ¿Cuál
es el valor del trabajo realizado por el campo? Justifícalo.
Puesto que el trabajo realizado por el campo electrostático se puede poner como el producto
de la carga por la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final,
WA B  q  (VA  VB )
siendo A el punto inicial y VA el potencial en dicho punto, y de la misma forma para el punto final B, y
teniendo en cuenta que en una superficie equipotencial el valor del potencial es el mismo en todos
sus puntos, tenemos que VA = VB, por lo que WA B  q  (VA  VB )  q  0  0
B. Explica detalladamente lo que ocurre cuando acercamos o alejamos un imán a una espira
(Experiencia de Faraday) indicando las leyes o principios utilizados.
La ley de Faraday dice que la variación del flujo magnético que atraviesa un circuito induce
una fuerza electromotriz que es directamente proporcional a la velocidad de variación de dicho flujo,
mientras que la ley de Lenz nos da el sentido de dicha corriente, pues directamente o por sus
efectos se opone a la causa de la variación del flujo.
Si acercamos el imán a la espira estaremos aumentando el flujo del campo magnético a
través de ella, con lo que la corriente inducida deberá oponerse a dicho aumento, por lo que las
líneas del campo magnético inducido en la espira deben salir de la cara enfrentada al imán. Por el
contrario, si alejamos el imán de la espira estamos disminuyendo el flujo a través de ella, por lo que
las líneas del campo magnético inducido en la espira, para compensar esa disminución, deberán
salir de la cara opuesta al imán (entrando por la cara enfrentada al imán).
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C. Explica ayudándote de un esquema gráfico, la acción que ejerce un campo magnético uniforme
sobre un conductor rectilíneo colocado perpendicularmente al campo, considerando que por el
conductor circula una corriente eléctrica de intensidad I. ¿Cómo será el campo magnético creado por
dicho conductor?
La expresión que nos permite calcular el valor de la fuerza a la que se verá sometido un
conductor rectilíneo por el que circula una corriente eléctrica dentro de un campo magnético es

 
F  i l B
siendo i la intensidad de la corriente, l un vector de módulo igual a la longitud del conductor,
dirección la de éste y sentido el de la corriente en el conductor, y B el campo magnético. Si el campo
magnético es perpendicular al conductor, el valor de la fuerza será máximo, ya que
 

F  i  l  B  sen( l , b)  i  l  B  sen  i  l  B
2
Además, la fuerza será perpendicular al
plano formado por el conductor y el campo, y el
sentido el de avance del tornillo que gira al llevar
l hasta B por el camino más corto.
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Por otro lado, las líneas del campo magnético creado por un conductor rectilíneo son
circunferencias concéntricas en torno a dicho conductor, cuyo sentido de giro es el de avance del
tornillo que gira en el sentido de la corriente que circula por el conductor.
D. Comenta dos diferencias entre el campo eléctrico y el magnético.
-
Las diferencias más importantes entre ambos campos son las siguientes:
El campo eléctrico es conservativo, es decir, que el trabajo realizado por dicho campo para
llevar una partícula cargada desde un punto hasta otro no depende del camino seguido, sino de
los puntos inicial y final, mientras que por el contrario, el magnético no es conservativo.
Las líneas del campo eléctrico son abiertas, es decir, empiezan en algún punto (fuentes del
campo o el infinito) y terminan en algún otro (sumideros del campo o el infinito). Por el contrario,
las del campo magnético son cerradas.
Las fuerzas eléctricas son centrales, mientras que las magnéticas no.
Las fuerzas eléctricas tienen la dirección del campo, mientras que las magnéticas son
perpendiculares al mismo.
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Problemas (3 puntos c/u)
1. Se tienen dos conductores rectilíneos, indefinidos, paralelos entre sí y perpendiculares al plano del
papel por los que circulan dos corrientes de 2 A y 5 A respectivamente. Calcula:
a. Intensidad del campo magnético en el punto P
b. Fuerza magnética por unidad de longitud que se ejercen entre ellos
c. Calcula en qué punto de la línea que pasa por los dos conductores se anula el campo magnético

0,3 m
0,4 m
P

a. El módulo de la intensidad del campo magnético creado por un conductor rectilíneo e indefinido
a una distancia r por el que circula una intensidad de corriente I viene dado por la expresión
 I
B 
siendo  la permeabilidad magnética del medio (en el vacío, = 4 × 10-7 NA-2)
2 r
Además, las líneas del campo magnético son circunferencias concéntricas en torno a dicho
conductor, cuyo sentido de giro es el de avance del tornillo que gira en el sentido de la corriente que
circula por el conductor. Por lo tanto, en el punto P habrá dos contribuciones al campo, ya que en el
se superponen las contribuciones de los dos conductores.
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Si elegimos un sistema de referencia en P como el indicado en el dibujo, la intensidad del
campo magnético en P debido al conductor C1 sólo tendrá componente en el eje Y, que será
negativa ya que las líneas del campo giran en el sentido de las agujas del reloj. Sin embargo, el
campo creado por el conductor C2 en P tendrá componentes en ambos ejes, una negativa en el eje
X y otra positiva en el eje Y, ya que las líneas del campo giran ahora en el sentido contrario a las
agujas del reloj.

 



Por tanto, el campo creado por C1 en P será

 I1
4  10 7 NA 2 2A
B1 
( ĵ) 
( ĵ)  10  6 ĵT
2 r1
2
0,4m
Para calcular el campo creado por C2, primero hay que obtener el ángulo que forma con los
ejes coordenados. Comparando triángulos, y teniendo en cuenta que los ángulos subtendidos por
lados perpendiculares son semejantes, el ángulo que forma el campo B2 con el eje Y positivo es
tg  
4
4
   arctg  53,13º
3
3
El campo creado en P por C2 será

 I2
B 2  B 2 cos ( î )  B 2 sen( ĵ) 
( cos  î  senĵ)
2 r2
Teniendo en cuenta que la distancia del conductor C2 al punto P es
r2 
0,3 2  0,4 2 
0,25  0,5 m
y sustituyendo en la ecuación del campo B2, tenemos que

4  107 NA2 5A
B2 
( cos  î  senĵ)  2  10 6 (0,6 î  0,8 ĵ) T
2
0,5m
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Finalmente, el campo en P será
 

B  B1  B2  106 ĵ  2  106 (0,6î  0,8 ĵ)  1,2  106 î  (1,6  106  106 ) ĵ

B  1,2  106 î  6  107 ĵ  (12î  6 ĵ)  107 T  (2î  ĵ)  6  107 T
b. La fuerza magnética por unidad de longitud que se ejercen entre ellos viene dada por la
expresión siguiente, donde r es la distancia entre ellos e I1, I2 las corrientes que circulan,
F
 I1  I2
4  107 NA2 2A  5A
N


 6,67  10 6
l
2 r
2
0,3 m
m
c. Para que el campo magnético creado por ambos conductores en la línea que los une se anule,
es necesario que sea por fuera del tramo comprendido entre ambos, ya que en dicho segmento
el campo magnético creado por ambos tiene la misma dirección y sentido (hacia la izquierda),
por lo que no se pueden anular.
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También es evidente que el campo se anulará en el lado opuesto al conductor por el que
circula una corriente mayor, C2,
Por tanto, si llamamos x a la distancia desde el conductor C1 hasta el punto en el que los
campos se anulan, punto Q, la distancia desde el conductor C 2 a dicho punto será 0,3 + x, y
tendremos que para que se anulen ambos campos deberá verificarse que
I
I2
 I1
 I2
2
5

 1 
 
 2  (0,3  x)  5x
2 r1Q
2 r2Q
x
0,3  x
x 0,3  x
0,6
 0,2 m
Si despejamos la distancia x obtenemos que 5x  2x  0,6  x 
3
B1Q  B 2Q 
Es decir, que el campo magnético se anulará a 0,2 m del conductor C1.
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2. Un electrón penetra perpendicularmente en una región donde existe un campo magnético uniforme
de valor 10-2 T y describe una trayectoria circular de 12 cm de radio. Realiza un esquema de la
situación y calcula:
a. La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón e indica su dirección y sentido
ayudándote de un diagrama
b. La energía cinética del electrón en MeV
c. El número de vueltas que da el electrón en 1 ms
Datos: qe= – 1,60×10-19 C; me= 9,1×10-31 kg; 1 eV = 1,6×10-19 J
a. Cuando un electrón penetra en un campo magnético, experimenta una fuerza debida a la acción
del campo, cuyo valor viene expresado por la ecuación

 
F  q v B
En el caso de que penetre
perpendicularmente al campo, el valor de la
fuerza es máximo, ya que el seno del ángulo que
forman la velocidad y el campo, en este caso 90º,
es máximo. Además, la trayectoria será circular,
y la velocidad se puede calcular empleando la 2ª
ley de Newton, ya que la resultante de las
fuerzas que actúan sobre el electrón (fuerza
magnética) es igual a la fuerza centrípeta
(posibilitadora del movimiento circular)
F  qv B  m
v2
q  B  R 1,60  1019 C  102 T  0,12 m
8 m
v


2
,
1

10
R
m
s
9,1 10 31kg
Una vez calculada la velocidad, el módulo de la fuerza será
F  q  v  B  1,60  10 19 C  2,1  10 8
m
 10  2 T  3,36  10 13 N
s
b. Sabemos que la expresión de la energía cinética es
Ec 
1 2 9,1 1031kg  (2,1  108 m / s) 2
1 eV
1MeV
mv 
 2  1014 J 

 0,125 MeV
2
2
1,6  1019 J 106 eV
c. Para calcular el número de vueltas que da el electrón, podemos hacer uso de la relación entre la
velocidad lineal y la angular,
v  R 
2
2R
2  0,12 m
RT

 3,59  10- 9 s  3,59 ns
8
T
v
2,1 10 m/s
Como T es el tiempo que tarda en dar una vuelta, en 1 ms dará
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10-3 s
s
3,59  10 s
v uelta
-9
 278521v ueltas
Nombre y Apellidos
20/03/2009
Bloque I: Vibraciones y Ondas
Bloque II: Interacción Gravitatoria
Bloque III: Interacción Electromagnética
NOTA:
OPCIÓN B
/10
Cuestiones (1 punto c/u)
E. Enuncia la tercera ley de Kepler (ley de los periodos). Si un planeta A tiene doble período que el de
otro planeta B, ¿en qué relación están los radios de sus órbitas?
Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.
Cuando un satélite de masa m se encuentra orbitando en torno a un planeta de masa M, la
fuerza centrípeta que permite el movimiento circular es igual a la fuerza gravitatoria entre el planeta
y el satélite,
mv2o GMm
GM
 2  v 2o 
r
r
r
Como la velocidad orbital vo se puede expresar en función del periodo T como
vo    r 
2
4 2
r  v 2o  2 r 2
T
T
Sustituyendo en la primera expresión obtenemos la 3ª ley de Kepler,
4 2 2 GM
GMT 2
2 3
2
3
v  2 r 
 4 r  GMT  r 
r
T
4 2
2
o
Si un planeta A tiene doble periodo que otro planeta B, T A = 2 TB. Por tanto, suponiendo
que las masas de los planetas son diferentes,
rA3 
rA3

GM A TA2
4 2
GM A TA2
4 2


GM A  (2TB ) 2
GM A  (2TB ) 2
4 2
4 2

Es decir, que

4GM A TB2
4GM A TB2
4 2
rA
rB
3 4
4 2
; pero como rB3 
GM B TB2
4 2
 TB2 
4 2 rB3
, entonces
GM B
r
4GM A 4 2 rB3
MA 3
rA3
M


4
r

4 A  A
B
2
3
r
MB
MB
4 GM B
rB
 B
MA
MB
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3

r
  4 MA  A  3 4 MA

MB
MB
rB

F. Escribe la ecuación de una onda unidimensional, explicando qué significa cada uno de los
parámetros
La ecuación general de una onda unidimensional es y (x, t) = A sen (t ± kx + ) siendo A
la amplitud, la frecuencia angular, k el número de ondas que hay en una longitud de 2 metros, y
 la fase inicial. El signo + corresponde a una onda que se propaga de derecha a izquierda y el
signo – en sentido contrario.
2
2
Además, ω 
y k
, donde T es el período (tiempo que tarda la onda en completar
T

una oscilación completa) y  la longitud de onda.
G. Justifica, de forma cualitativa, por qué se atraen o repelen dos hilos conductores colocados
paralelamente, por los que circula una corriente eléctrica continua
Un conductor rectilíneo por el que circula una corriente eléctrica crea a su alrededor un
campo magnético, cuyas líneas son circunferencias concéntricas en torno a él, y cuyo sentido de
giro es el de avance del tornillo que gira en el sentido de la corriente que circula por el conductor.
Además, si este conductor se ve sometido a la acción de un campo magnético, experimentará una
fuerza cuyo valor se puede obtener de la expresión

 
F  i l B
Si tenemos dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan sendas corrientes,
cada uno de ellos se verá sometido a la acción del campo magnético creado por el otro, por lo que
ambos experimentarán fuerzas, atractivas o repulsivas en función del sentido de las corrientes. Si
éstas tienen el mismo sentido, se atraerán, mientras que en caso contrario se repelerán.
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Problemas (3 puntos c/u)
3. Se pretende situar en órbita un satélite artificial de 300 kg que de diariamente 8 vueltas a la Tierra.
a. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se situará? (1 punto)
b. ¿Cuál será la energía del satélite? (1 punto)
c. ¿Cuál será el peso del satélite en órbita? (1 punto)
Datos: G = 6,67× 10-11 Nm2kg-2; MT = 5,97 × 1024 kg; RT = 6370 km
a. En primer lugar, podemos calcular el periodo del satélite, ya que si da 8 vueltas al día significa
que en cada vuelta emplea 3 horas
24 horas
x
1 vuelta  24 horas

 x 
 3 horas
8 vueltas 1 vuelta
8 vueltas
De la 3ª ley de Kepler, que nos da la relación entre el radio de la órbita y el periodo de
revolución,
r3 
2
GMT
4π
2
r 
2
3
GMT
4π
2

3
6,67  10 11Nm2 kg 2  5,97  1024 kg  (3 h  3600
4π 2
s 2
)
1 h  10556,728 km
Esta es la altura de la órbita desde el centro de la Tierra. Pero como nos piden la altura de la
órbita desde la superficie terrestre, habrá que restarle el radio terrestre, 6370 km. Por tanto,
r = 10557km - 6370 km  r = 4187 km
b. La energía total del satélite en su órbita será debido a la contribución de las energía cinética y
potencial,
E
1 2 GMm 1 GM GMm
GMm
mv 
 m


r
r
2
2
2r
r
Sustituyendo los correspondientes valores,
E
6,67  1011Nm2kg2  5,97  1024 kg  300 kg
7
2  1,0556728  10 m
 5,658  109 J   5,658 GJ
Entonces, E = – 5,658  109 J = – 5,658 GJ
c. Para calcular el peso del satélite en su órbita es necesario conocer el valor de la intensidad del
campo gravitatorio en dicha órbita. La expresión que nos permite calcularla es

GM
g   2 ûr
r
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Como lo que realmente nos interesa es el módulo,
g
GM
r
2

6,67  10 11Nm2 kg2  5,97  1024 kg
7
(1,0556728  10 m)
2
 3,57
N
kg
Finalmente, para calcular el peso del satélite en su órbita, basta con multiplicar la masa del
satélite por la intensidad del campo en dicha órbita,
P  m  g  300 kg  3,57
N
 1072 N
kg
Para hacernos una idea de la fuerza a la que está sometido el satélite en la órbita, dividimos
por la gravedad en la superficie terrestre, lo que nos proporciona la masa “equivalente” en la Tierra,
es decir, la masa que está sometida a dicha fuerza pero en la superficie terrestre,
meq 
1072 N
9,8 m/s2
 109 kg
Esto quiere decir que el satélite en su órbita es como si tuviera una masa de 109 kg (en vez
de los 300 kg que posee en la realidad)
4. En el punto A (–2, –3) se encuentra situada una carga eléctrica q1 = –20 C y en el punto B (4, 5)
otra carga eléctrica q2 = –10 C. Sabiendo que las coordenadas se expresan en metros, calcula:
a. El campo eléctrico en el punto C (1, 1). Además, representa las líneas del campo eléctrico
asociadas a estas dos cargas
b. El potencial eléctrico en el punto O (–8, 5)
c. El trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar una carga de 1 C desde el punto O
hasta el punto C
K = 9 × 109 Nm2C-2 1 C = 10-6 C
a. El campo en el punto C será debido a la contribución de las dos cargas, q1 y q2.
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El campo eléctrico creado por una carga Q en un punto r viene dado por la expresión
 KQ 
E 3 r
r
En el caso de la carga Q1= –20 C tenemos que
2
6

KQ 
Nm2 ( 20  106 C)
9 Nm ( 20  10 C)
E1  3 1 r  9  109 2
(
3
î

4
ĵ
)
m

9

10
(3 î  4 ĵ) m
3
2
3
r
C  2
C
(
5
m
)
2
 3  4 m 



6

20  10
N
180
N
36
N
E1  9  109
(3 î  4 ĵ)

(3 î  4 ĵ)  103   (3 î  4 ĵ)  103
3
C
125
C
25
C
5
En el caso de la carga Q2= –10 C tenemos que
2
6

KQ 
Nm2 ( 10  10 6 C)
9 Nm ( 10  10 C)
E 2  3 2 r  9  109 2
(

3
î

4
ĵ
)
m

9

10
( 3 î  4 ĵ) m
3
r
C  2
C2
(5m) 3
2 
 3  4 m


6

10  10
N
9
N
E 2  9  109
(3 î  4 ĵ)

(3 î  4 ĵ)  104
3
C 125
C
5
El campo total en el punto C (1, 1) será
 

36
9
108 270
144 360
E  E1  E 2   (3 î  4 ĵ)  103 
(3 î  4 ĵ)  10 4  ( 

)  103 î  ( 

)  103 ĵ
25
125
25 125
25 125





108 270
144 360
103
103
N
E  (

)  103 î  (

)  103 ĵ 
 270î  360 ĵ 
 54 î  72 ĵ
25 125
25 125
125
25
C

54
72
N
N
E  (
î 
ĵ)  10 3  2160î  2880 ĵ
25
25
C
C
Otra forma más sencilla de hacerlo era dándose cuenta que el campo creado por la carga Q 2
es la mitad del Q1, ya que la distancia de ambas cargas al punto C es la misma.
b. El cálculo del potencial es más sencillo, ya que se trata de una magnitud escalar. La expresión
que nos permite calcular el potencial eléctrico en un punto es
V 
KQ
r
La distancia de la carga Q1 al punto O (–8, 5) es 62  8 2  100  10 m , mientras que
la de Q2 a dicho punto es 12 m. Para calcular el potencial en dicho punto, tendremos que considerar
las contribuciones de ambas cargas.
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KQ1

En el caso de la carga Q1, V1 
r
KQ 2
En el caso de la carga Q2, V2 

r
9  109
Nm2
C
 20  10  6 C
2
10 m
9  109
Nm2
C
2
 18000 V
 10  10  6 C
12 m
 7500 V
Por tanto, el potencial en el punto O es V = V1 + V2 = – 25500 V
c. Para calcular el trabajo necesario para trasladar una partícula desde un punto a otro usaremos
la expresión WA B  q  (VA  VB ) , siendo q la carga a trasladar y VA–VB la diferencia de
potencial entre los puntos inicial y final. Como ya tenemos calculado el potencial en el punto O,
nos queda por calcularlo en el punto C. Para ello procedemos como en el apartado anterior,
KQ1

En el caso de la carga Q1, V1 
r
KQ 2

En el caso de la carga Q2, V2 
r
9  109
Nm2
C
 20  10  6 C
2
5m
9  109
Nm2
C
2
 36000 V
 10  10  6 C
5m
 18000 V
Por tanto, el potencial en el punto C es V = V1 + V2 = – 54000 V
Finalmente, el trabajo pedido es
WO C  106 C  (25500  (54000))V  2,85  102 J  28,5 mJ
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