veldelaluz-Bustamante

Laboratorio: Física Contemporánea
Profesor Francisco Vera
Determinación de la Velocidad de la Luz
Sergio Bustamante S.
Leonardo Vergara R.
Introducción
En la vida diaria saber el valor de la velocidad de la luz es un dato que no
sirve de mucho. Nuestros sentido y el sentido común nos dicen que este valor es
infinito, y si nos ponemos a pensar un poco llegaríamos, tal vez, que este valor no
es “infinito”, si no que, “infinitamente grande”, como para poder captarlo a simple
vista.
El carácter de “infinitamente grande” nos dice que se puede determinar
algún valor para esta velocidad. Ya en la antigüedad los científicos se preguntaban
si realmente se trasmitía de manera instantánea como se pensaba he hicieron
intentos para poder medirla: Romel en 1676 dijo que era de 214000 km/s, en 1728
James Bradley obtuvo un valor de 301000 km/s, en 1907 Rosa y Dorsey lograron
un valor de 299788 Km/s, 1958 Froome llegó al valor de 299792.5 Km/s. En 1983
se definió el metro como la longitud que viaja la luz en el vacío en el intervalo de
tiempo 1/299792.458 de un segundo, de forma que la velocidad de la luz se define
exactamente 299792458 m/s
Hipótesis
La velocidad de la luz es finita, y por ende la podríamos medir usando la
mecánica clásica y las ecuaciones asociadas a ella.
Definición de Variables
V = Velocidad de la Luz [m/s]
dx = Camino óptico recorrido por la luz al salir desde el espejo giratorio y volver a
éste[m].
dt = tiempo que demora el haz de luz en recorrer dx.
s = arco de desviación del haz de luz.
dφ = desviación angular del haz de luz en el vidrio milimetrado.
dθ = desviación angular del espejo rotatorio
ν = frecuencia del espejo giratorio [Hz]
Descripción del Experimento
El has de luz (láser de 632,8 nm) debe cumplir un recorrido (definido por
dx) establecido previamente de alrededor de 30 metros (28930 m), pasando por
diferentes espejos y lentes, con el fin de desviar la luz para poder abarcar la mayor
distancia permitida por el laboratorio. El circuito aparece descrito en la figura
siguiente.
Figura 1
E2
E1
L2
Vidrio
Milimetrado
Espejo
Giratorio
Láser
L1
Censor
Osciloscopio
Al salir el haz de luz desde el láser, atraviesa por un lente L1 que lo desvía
hacia arriba hasta un trozo de vidrio milimetrado (esto es, una regla dibujada en
el vidrio), sin embargo, parte de esta luz sigue su camino en línea recta llegando
hasta el espejo giratorio de dos caras, montado en una especie de taladro
horizontal al que se le reemplazó la broca por un dispositivo que pudiera contener
el espejo girando a una frecuencia determinada por un voltaje entregado a través
de un regulador de voltaje. Si el laboratorio fuese lo suficientemente amplio, se
podría prescindir de L2 y E1, que solo tienen la función de desviar el haz de luz para
abarcar una distancia mayor.
En el camino de ida del haz (flecha negra) y de vuelta (flecha roja), al
chocar con el espejo giratorio, es captado por un censor conectado al osciloscopio
donde se puede observar la diferencia de tiempo con que llega cada haz. Al
observar la grafica en el osciloscopio (picos separados que representan cada vez
que el osciloscopio capto cada haz) se puede concluir que esta serie de picos
corresponde a cada vez que un haz de luz es captado por el censor, y
efectivamente es así, pero con la salvedad que esta sucesión corresponde a cada
uno de los espejos (recordar que el tiene dos caras).
Al chocar la primera vez con el espejo giratorio (flecha negra) el haz es
desviado para completar el recorrido. Al devolverse (flecha roja) choca
nuevamente con el espejo giratorio. A esta altura el espejo ya esta rotado un
ángulo dθ, lo no se puede apreciar a simple vista, pero al seguir su recorrido hasta
L1 y luego hasta el vidrio milimetrado, esta rotación se ve incrementada al doble.
Este incremento lo llamaremos dφ, que se demostrara en el siguiente desarrollo
matemático, antecedido por la figura a continuación:
dθ
Espejo Giratorio
α1
α2
Figura 2
dφ
β1
dθ
β2
Haz Incidente
Hay que encontrar la relación entre el ángulo θ y en ángulo φ. Viendo la
figura anterior, se definen las normales al espejo. Dos normales porque primero el
Haz Reflejado
espejo está en la posición en negro y luego ha rotado hasta la posición en rojo. En
base a esto es que aparecen α1, α2, β1 y β2, donde α1 = α2 y β1 = β2
También,
φ = β2 + (β1 - 2α)
porque los alfas son iguales.
Despejando β2 de la ecuación anterior, se tiene:
β2 = φ + 2α – β1
Del dibujo, también se tiene que
β1 = β 2 = θ + α
Reemplazando β1 en la ecuación para β2:
φ + 2α - θ - α= θ + α
Eliminado términos semejantes, tenemos finalmente que
φ = 2θ
(1)
Que es la relación que buscábamos.
El osciloscopio nos dice cuanto tiempo hay entre un haz de luz y otro.
Como este está midiendo los haces que vienen directamente del taladro, el circuito
que realmente recorre y con el que esta relacionado este tiempo es desde que
llega un destello desde el taladro hasta que llega otro. Entonces el circuito es,
partiendo desde el taladro, pasando por el lente L2, luego por el espejo E1,
rebotando en E2, volviendo por E1, desviándose en L2 y llegando nuevamente al
taladro.
Analizando los Datos Obtenidos
Para medir la velocidad de la luz, usaremos la siguiente expresión
v = dx/dt
Donde dx es el camino recorrido total de la luz desde que llega por primera
al taladro, y es captado por el osciloscopio, luego pasa por L2, E1, rebotando en
E2, vuelve a E1, L2 y llega al taladro, donde es captado nuevamente por el
osciloscopio (como se muestra en la figura 1); dt es el tiempo que toma en
recorrer este circuito y que es el dato que no podemos obtener directamente.
Pero, lo que si sabemos y podemos calcular es el periodo de rotación del taladro,
que obtenemos de las lecturas del osciloscopio. En nuestro caso, la lectura fue de
3.6*10-3 (s), por ende, podemos obtener la frecuencia del taladro, que es de
277.778 (Hz).
Lo siguiente que podemos obtener es la velocidad angular ω del taladro,
dada la siguiente ecuación:
ω = 2π ν
Reemplazando los datos en la ecuación anterior tenemos que
ω = 1.745*103 (rad/s)
Necesitamos obtener el valor de la desviación del haz de luz al llegar por
segunda vez al espejo giratorio. Lo obtenemos de la relación de los ángulos
descrita anteriormente,
φ = 2θ.
S
φ
Figura 3
d
Viendo la figura anterior tenemos que S es la desviación del haz de luz en el
vidrio milimetrado, es este caso 2.5*10-3(m) y d es la distancia desde el taladro
hasta el vidrio milimetrado, que es de 6.43 (m). Consideramos la distancia desde el
taladro hasta el vidrio milimetrado como línea recta aunque en el esquema del
experimento aparece desviado por el lente L1. Para usos prácticos es
prácticamente lo mismo. Otra aclaración, es que podemos usar la relación de φ =
S/d ya que cuando, en la expresión tgφ cuando el ángulo φ es muy pequeño, el
valor de tgφ tiende a φ.
En este caso:
φ = 2.5*10-3/6.43
φ = 3.88*10-4 (rad)
Como tenemos el dφ podemos obtener el dθ con la relación dθ = dφ/2.
Entonces,
dθ = 1.945*10-4 (rad)
De la ecuación, ω = dθ/dt, como ya obtuvimos ω y dθ , podemos saber el
valor de dt, que en nuestro caso es
dt = dθ/ω
dt = 1.945*10-4/1.745*103 (s)
dt = 1.11*10-7 (s)
Finalmente, al obtener el tiempo que demora en recorrer el circuito desde el
taladro hasta E2, ida y vuelta, y tener el valor de esta distancia, obtuvimos un
valor para la velocidad de la luz de
V = dx/dt
V = 28.93/1.11*10-7 (m/s)
V = 2.6*108 (m/s)
Con un error porcentual de
Error = | Valor teórico – Valor Experimenta | * 100%
Valor Teórico
Error = 13%
Conclusión
Efectivamente la velocidad de la luz tiene un valor límite y se puede medir
con las herramientas que nos proporciona la mecánica clásica, a partir de la simple
formula de la velocidad, utilizando también las relaciones de velocidad angular,
frecuencia y periodo.
13%.
En nuestro caso el valor fue de 2.6*108 (m/s) con un porcentaje de error de