TEORÍA DE PROBABILIDAD

TEORÍA DE PROBABILIDAD
MODELOS MATEMÁTICOS
-Modelo determinístico: estipula que las condiciones en las que se realiza un
experimento determina el resultado del mismo.
-Modelo probabilístico (también conocido como modelo aleatorio, estocástico o no
determinístico): las condiciones experimentales sólo determinan el comportamiento probable de
los resultados observables.
EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MUESTRAL. EVENTOS
Experimento: es la realización de un proceso que conduce a un resultado.
Experimento Aleatorio.
Si se efectúan experimentos repetidamente bajo condiciones aproximadamente idénticas
y se obtienen resultados que pueden considerarse iguales, se trata de experimentos no
aleatorios, llamados experimentos determinísticos. En el caso de experimentos determinísticos,
para describir los fenómenos observados se utilizan modelos matemáticos determinísticos,
donde las condiciones del experimento determinan los resultados. Por ejemplo el cálculo de la
distancia recorrida por un vehiculo, manteniendo las variables tiempo y velocidad constantes.
Sin embargo, en algunos experimentos aunque se repiten bajo condiciones
aproximadamente idénticas los resultados no son los mismos, éstos son experimentos
aleatorios. En el caso de experimentos aleatorios, para describir los fenómenos observados se
utilizan modelos matemáticos probabilísticos.
Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aún cuando se
repite siempre de la misma manera.
Ejemplo:
Son experimentos aleatorios los siguientes:
- Lanzar una moneda.
- Lanzar un dado.
- Inspeccionar un producto y evaluar si es aceptable o defectuoso.
Espacio Muestral.
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el
nombre de espacio muestral. El espacio muestral se denota con la letra S. Cada uno de los
componentes del espacio muestral se denomina punto muestral.
Un espacio muestral puede ser: Finito, si tiene un número finito de puntos. Infinito
contable, si tiene tantos puntos como números naturales. Infinito, si tiene tantos puntos como
hay en un intervalo del eje x.
Ejemplo:
Determine el espacio muestral para los siguientes experimentos aleatorios:
- Exp.= Lanzar una moneda.
S = {C, S}
- Exp.= Lanzar un dado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Exp.= Inspeccionar un producto y evaluar si es aceptable o defectuoso.
S = {Aceptable, Defectuoso}
1
Evento.
Un evento es un subconjunto del espacio muestral S de un experimento aleatorio. Se
dice que el evento ocurre si el experimento aleatorio da lugar a uno de los resultados que forman
parte del evento. Se denota con la letra E.
Operaciones con eventos
Tratándose los eventos de subconjuntos del espacio muestral, es natural que satisfagan
todas las características de los conjuntos. Sean A y B dos eventos pertenecientes a un espacio
muestral S.
La intersección, que se denota A  B , es el evento que consta de todos los resultados
en S que pertenecen tanto a A como a B. Por tanto, la intersección A  B ocurre si y sólo si
tanto A como B ocurren.
La unión, que se denota A  B , es el evento que consta de todos los resultados en S
que pertenecen al menos a uno de estos eventos. Por lo tanto, la unión A  B ocurre si y sólo si
A y/o B ocurren.
Evento Simple.
Se refiere a cada uno de los elementos del espacio muestral.
Evento Compuesto
Está formado por varios eventos simples.
Evento Complemento.
Si se tiene un evento E, el evento complemento de E (respecto al espacio muestral S),
denotado E′, es el conjunto que esta formado por los elementos del espacio muestral S que no
forman parte del evento E.
Tipos de Eventos.
- Eventos Mutuamente Excluyentes: Si dos eventos E1 y E2 no tienen puntos muestrales
en común se denominan mutuamente excluyentes. Dos eventos E1 y E2 tales que su intersección
es el conjunto vacío, es decir, E1 ∩ E2 = Ø, son eventos mutuamente excluyentes. Lo que
significa que E1 ∩ E2 no puede ocurrir.
E1
E2
S
- Eventos no Excluyentes: Son aquellos eventos entre los que si hay intersección, E1 ∩
E2 ≠ Ø. Lo que significa que E1 ∩ E2 si puede ocurrir.
E1
E1 ∩ E2
E2
S
2
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, el evento A se
defina como A = "sacar par" y el evento B se define como B = "sacar múltiplo de 3".
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
a) Defina el evento A  B → A  B = {2, 3, 4, 6}
b) Defina el evento A  B → A  B = {6}
c) Defina el evento A complemento → A′ = {1, 3, 5}
d) Dados los eventos A y B diga que tipo de eventos son: son eventos no
excluyentes por que hay intersección entre ellos.
Tablas de Contingencia
Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas
de contingencia.
Ejemplo: Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de
automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Realice una
tabla de contingencia.
CASADOS
SOLTEROS
HOMBRES
35
20
55
MUJERES
45
20
65
80
40
120
Diagramas de Árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles
de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada
una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se
constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente
paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en
cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Ejemplo:
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino M o
femenino F), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o
Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes
de este médico?
3
N
M
A
A
B
N
B
A
B
N
AB
A
B
N
O
F
A
B
…………….
Complete el diagrama de árbol, realizando las ramificaciones correspondientes a la rama
F.
El diagrama de Árbol es una representación del espacio muestral de un experimento. En
este caso: S = {MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, MABN, MABA, MABB, MON,
MOA, MOB………..}
DEFINICION DE PROBABILIDAD
Conocidos los conceptos anteriores, se plantea lo siguiente: si E es un evento asociado
con el experimento aleatorio y su espacio muestral S, no podemos indicar con certeza, en
principio, si E ocurrirá o no.
Entonces se hace la siguiente pregunta: ¿cómo se puede asociar un número con el
evento E que mida de alguna manera la posibilidad de que E ocurra?
Probabilidad. Enfoque Frecuentista.
Suponga que un experimento aleatorio se repite n veces, donde n es muy grande. Sean
A y B dos eventos (resultados) relacionados con el experimento. Sean nA y nB el número de
veces que A y B ocurren respectivamente en las n repeticiones.
nA
.
n
n
Frecuencia Relativa para el evento B se define como f B  B .
n
Frecuencia relativa para el evento A se define como
fA 
Ejemplo:
Experimento: Lanzamiento de una moneda.
El espacio muestral S = {C, S}.
Considérese el evento A = sale cara, A = {C}.
Observe esta realización particular del experimento, repetido varias veces:
4
n 1
nA 0
fA 0
2
0
0
3
1
0.33
4
1
0.25
5
2
0.2
6
3
0.5
7
4
0.57
8
5
0.62
9
6
0.67
10
6
0.6
11
6
0.55
12
6
0.5
13
7
0.54
…
…
…
Si el experimento se repite un gran número de veces puede verse que empíricamente
que la frecuencia relativa del evento A, A = sale cara, tiene un valor cercano a 0,5.
Si se repite un experimento aleatorio en las mismas condiciones y se obtiene la
frecuencia relativa de un evento, se observa que tiende a estabilizarse alrededor de un número
entre cero y uno. Este valor recibe el nombre de probabilidad.
Probabilidad. Enfoque Clásico.
Si un evento puede ocurrir de h maneras diferentes de un número total de n maneras
posibles, todas igualmente probables. Entonces la probabilidad del evento se calcula como
h
.
n
Dicho de otra manera, si todos los elementos del espacio muestral S son equiprobables
(todos tienen la misma probabilidad de realizarse), se tiene que la probabilidad de un evento E
es el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el evento E en el
experimento y el número de resultados posibles del experimento.
P( E ) 
N  Casos Favorables a (E)
N  Total de Casos Posibles
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Suposición: espacio muestral finito, es decir S = {a1, a2,..., ak}
Definiremos como evento simple o elemental al evento constituido por un sólo resultado, es
decir Ai = {ai} para i = 1,…,k.
Asignamos un número pi a cada Ai mediante P(Ai) = pi tal que:
1. Para todo evento A, P A  0
2. PS   1
3. Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A1, A2,……
P A1  A2  ......  P A1   P A2   .....
ALGUNOS TEOEMAS SOBRE PROBABILIDAD
TEOREMA 1: Para todo evento A,
0  P A  1
Es decir, la probabilidad es un número entre cero y uno.
TEOREMA 2:
P  0
Es decir, la probabilidad del conjunto vacío es cero.
5
TEOREMA 3: Si A′ es el complemento de A, entonces:
P A  1  P A
TEOREMA 4: Si A   A1  A2  ...... An  , donde A1, A2, ….An son mutuamente
excluyentes, entonces
P A  P A1   P A2   ..... P An 
En particular, si A=S, el espacio muestral, entonces
P A1   P A2   ..... P An   1
TEOREMA 5: Si el espacio muestral está formado por N posibles resultados, igualmente
probables, S   A1  A2  ...... An  , la probabilidad de cada uno de ellos será
P Ak  
1
,
N
1
,
N
para k = 1, 2, 3,……N
Ejemplo:
Sea el lanzamiento de una moneda dos veces seguidas, determinar la probabilidad de:
a. Obtener 1 cara
b. Obtener como mínimo 1 cara
S = {CC, CS, SC, SS}, (espacio muestral equiprobable, cualquier resultado tiene la
misma probabilidad de salir)
a. A = {Obtener 1 Cara}
A = {CS, SC}
P(A) = 2/4= 0,56
Si se observa el espacio muestral es evidente que sólo hay 2 elementos que contienen 1
sola cara (elementos favorables al evento A) y en total dentro del espacio muestral hay cuatro
elementos (casos totales).
b. B = {Obtener como mínimo 1 cara}
B = {CC, CS, SC}
P (B) = 3/4= 0,75
Si se observa el espacio muestral es evidente que hay 2 elementos que contienen 1 cara
y otro que contiene 2 caras, en este caso se incluye porque cumple con la condición de que al
menos se obtenga una cara.
Ejemplo:
Se tiene un juego de cartas españolas, determinar la probabilidad de elegir una al azar y
sea:
1. Basto
2. Número Cuatro
3. As de Basto
6
El siguiente cuadro representa de forma ordenada el espacio muestral del experimento:
elegir una carta al azar de un mazo, este es un espacio muestral equiprobable, cualquier
resultado tiene la misma probabilidad de salir
(As)
Basto
1
2
3
4
5
6
7
S
C
R
Espada
1
2
3
4
5
6
7
S
C
R
Copa
1
2
3
4
5
6
7
S
C
R
Oro
1
2
3
4
5
6
7
S
C
R
1. B = {Que la carta sea Basto}
P (B) = 10/40 = 0,25
Se observa que existe un número de 10 cartas de Basto de un total de 40 cartas del
juego Español y sólo el ejercicio desea las cartas de tipo Basto.
2. C = {Que la carta sea Número Cuatro}
P (C) = 4/40 = 0,1
Se observa que existe un número de 16 cartas con el número cuatro de un total de 40
cartas del juego Español.
3. D = {Que la carta sea As de Basto}, es la probabilidad de que sea As ”A” y sea de
Bastos ”B”· (intersección)
P (D)= P(A y B) = P(A  B)= 1/40= 0,025
Se observa que existe una sola carta As y del tipo Basto de un total de 40 cartas del
juego Español.
REGLA DE LA ADICIÓN
Dado dos eventos A y B, la regla de la adición se utiliza cuando se desea calcular la
probabilidad de que ocurra el evento A, el evento B o ambos, es decir, la probabilidad de A
unión B, P A  B ó P AoB .
- Para eventos no excluyentes: P A  B  P A  PB  P A  B
- Para eventos mutuamente excluyentes: P A  B   P A  PB
Ejemplo:
Se tiene un juego de cartas españolas, determinar la probabilidad de elegir una al azar y
sea:
1. Copa o Oro
2. Siete o Espada
7
1. O = {La carta sea de Copa o de Oro}
PCO  PC  O  PC   PO
10 10
PC  O  

 0,5
40 40
Se utiliza la fórmula de la Regla de la Adición para eventos mutuamente excluyentes ya
que no hay intersección entre el evento Copa y el evento Oro, dicho de otra manera no hay una
carta que sea Oro y a la vez sea Copa.
2. S= {La carta sea de Siete o Espadas}
PS  E   PS   PE   PS  E 
4 10 1 13
PS  E  



 0,325
40 40 40 40
Se observa que existen 4 cartas número Siete de un total de 40, aparte hay 10 cartas de
tipo Espada de un total de 40, pero también existe 1 carta que es tipo Espada y a la vez número
Siete. Se utiliza la fórmula de la Regla de la Adición para eventos no excluyentes ya que hay
intersección entre el evento Siete y el evento Espada. Se suman los dos primeros y se le resta la
intersección existente.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional de un evento B dado que ocurrió un evento A, se denota
PB / A . Como ya ocurrió el evento A, éste es el nuevo espacio muestral.
Probabilidad de ocurrencia del evento B, dado que ocurrió el evento A.
P  B / A 
P A  B 
P  A
En general tenemos dos formas de calcular PB / A :
a. Directamente, considerando la probabilidad de A respecto al espacio muestral B.
b. Usando la definición, donde PB / A y P (B) se calculan respecto al espacio muestral
original S.
Ejemplo:
Se tiene un juego de cartas españolas, si se selecciona una carta al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea As dado que es Espada?
A = {La carta se As}
E = {La carta sea Espada}
Se pide una probabilidad Condicional P (A/E)
P A / E  
P A  E  
P E  
P A  E 
P E 
1
40
10
40
8
1
1
P A / E   40 
 0,1
10 10
40
EVENTOS DEPENDIENTES. EVENTOS INDEPENDIENTES.
- Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de
ocurrencia de otros eventos sucesivos.
PB / A  PB 
- Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de
ocurrencia de otros eventos sucesivos.
PB / A  PB 
Ejemplo:
Determine si los siguientes eventos A = {La carta se As} y E = {La carta sea Espada},
son dependientes o independientes.
Se calcula P A / E  y P A , para verificar si son iguales o diferentes
P A / E   0,1 , tomado del ejemplo anterior.
4
P  A 
 0,1
40
Como P A / E   P A , se concluye que los evento A y E son independientes.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.
También conocido como Teorema de Multiplicación, se puede ver como una
consecuencia de la definición de probabilidad condicional, indica que la probabilidad de la
intersección de dos eventos cualesquiera A y B, P A  B ó P AyB .
-Para eventos dependientes: P A  B  PB / A  P A
-Para eventos independientes: P A  B  P A  PB
Ejemplo:
Se tienen dos cajas: Caja 1 y Caja 2. Dentro de la Caja 1 hay tres esferas, una blanca y
dos verdes. Dentro de la Caja 2 hay cuatro esferas, dos blancas y dos verdes. Una persona
selecciona al azar una caja y luego selecciona una esfera. Calcular la probabilidad de que la
persona haya seleccionado la caja 1 y una esfera verde.
En primer lugar debe realizarse el diagrama de árbol, con sus respectivas
probabilidades.
9
P (C1)= ½ = 0,5
P (C2)= ½ = 0,5
PB / C1 
1
3
B
PV / C1 
2
3
V
P B / C 2  
2
4
B
2
4
V
C1
C2
P V / C 2  
Nótese que las probabilidades de las segundas ramas son probabilidades condicionales,
PB / C1 es la probabilidad de seleccionar una esfera blanca dado que se selecciona la caja 1.
Se pide la probabilidad de que la persona haya seleccionado la caja 1 y una esfera verde,
esto es una intersección, es decir, PC1  V  , se usa la regla de la multiplicación.
P(C1  V )  P(C1)  P(V / C1)
P (C1 V ) 
1 2 1
 
2 3 3
TEOREMA DE BAYES
Se refiere a la probabilidad condicional de A dado que ocurrió el evento B. Se aplica en
eventos secuenciales. Se usa para determinar que un evento se debió a una causa específica.
P( A | B) 
Sean A1, A2, …..Ak
P( Ak | B) 
P A  B 
P( B)
PB / Ak   P Ak 
P( B)
PB  es la probabilidad total
PB  P A1   PB / A1   P A2   PB / A2   ......P AK   PB / AK 
Ejemplo:
Se tienen dos cajas: Caja 1 y Caja 2. Dentro de la Caja 1 hay tres esferas, una blanca y
dos verdes. Dentro de la Caja 2 hay cuatro esferas, dos blancas y dos verdes. Una persona
selecciona al azar una caja y luego selecciona una esfera. Calcular la probabilidad de que la
persona haya seleccionado la caja 1 dado que la esfera es verde.
10
P (C1)= ½ = 0,5
P (C2)= ½ = 0,5
PB / C1 
1
3
B
PV / C1 
2
3
V
P B / C 2  
2
4
B
2
4
V
C1
C2
P V / C 2  
Éste es un experimento secuencial, primero se selecciona la caja y luego se selecciona
una esfera de dicha caja. Cuando se lee la pregunta se observa que es una probabilidad
condicional por la palabra "dado" y que el sentido de la pregunta es contrario a como ocurre el
experimento, dice: la probabilidad de que la persona haya seleccionado la caja 1 dado que
la esfera es verde, es decir lo que ya ocurrió o ya se sabe es el color de la esfera que ocurre en
segundo lugar en el experimento, y se pregunta por lo que sucede en primer lugar que es
seleccionar la caja. En este caso hay que aplicar el Teorema de Bayes.
P(C1 / V ) 
PV / C1 
P (C1) 
P(V / C1)  P(C1)
P(V )
2
3
1
2
P (V) es la probabilidad de que la esfera seleccionada sea verde, nótese en el diagrama
de árbol que se puede seleccionar una esfera verde a partir de la caja 1 o de la caja 2.Entonces
P(V )  P(C1  V )  P(C 2  V ) , esto se conoce como probabilidad total
P(V )  P(C1)  P(V / C1)  P(C 2)  P(V / C 2)
1 2
1 2
7
P(V )  (  )  (  ) 
 0,58
2 3
2 4 12
2 1

3
2  4  0,57
Se calcula la probabilidad pedida P(C1 / V ) 
7
7
12
11