DISEÑO DE EXPERIMENTOS

DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Mediante el diseño de experimentos podemos determinar si el factor a considerar tiene efecto sobre la
variable de respuesta. Por lo general el factor se pude presentar en diferentes niveles que darán como
resultado un cambio en la respuesta.
En general se puede presentar los niveles (o tratamientos) de la siguiente manera:
Tratamiento
1
2
3
…
a
Y11
Y21
Y23
…
Ya1
Y12
Y22
Y32
…
Ya2
Observaciones
Y13
Y23
Y33
…
Ya3
…
…
…
…
…
Yin
Y2n
Y3n
…
Yan
Se tienen a tratamientos y n observaciones para cada tratamiento.
En este caso existen el mismo número de observaciones para cada tratamiento. Decimos que es un diseño
balanceado. En el caso de que exista diferente número de observaciones para cada tratamiento decimos
que el diseño es desbalanceado.
Cada una de las observaciones se puede representar mediante el modelo general de análisis de varianza
unidireccional ( de un solo factor):
Yij =  + i + ij
Donde
yij

i
ij
es la j-ésima observación del i-ésimo tratamiento
es la media general
es el efecto de i-ésimo tratamiento
es un error aleatorio con media cero y varianza 2
El objetivo general es determinar si existen diferencias entre los tratamientos, lo cual nos llevará a
determinar también si el factor tiene efecto sobre la respuesta. Lo anterior se responde probando las
siguientes hipótesis:
H0: 1 = 2 = 2 = … = a = 0
Ha: i ≠ 0
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Ing. Armando Jiménez Lizcano
El procedimiento para estas hipótesis consiste primero en descomponer la suma total de cuadrados en dos
componentes:
SST = SStratamientos + SSE
Donde
SST
SStratamientos
SSE
es la suma total de cuadrados
es la suma de cuadrados de los tratamientos
es la suma de los cuadrados del error
Las fórmulas apropiadas para calcular estas expresiones son las siguientes:
a
Y ..2
n
SST  Yij2 
N
i 1 j 1
Donde
Y.. es la suma total de todas las observaciones
N es el número total de observaciones
a
SStratam ientos 
Y
i 1
2
i.
n

Y ..2
N
Donde
Yi. Es la suma total de las observaciones del i-ésimo tratamiento
n es el número de observaciones para cada tratamiento
SSE  SST  SS tratamient os
Utilizando la tabla de análisis de varianza:
Fuente de
variación
Tratamientos
Error
total
Suma de
cuadrados
SStratamientos
SSE
SST
Grados de
libertad
a-1
N-a
N-1
Media de
cuadrados
MStratamientos
MSE
Estadístico de prueba
F0 
MS tratamientos
MSE
2
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Donde
MStratamientos 
MSE 
SStratamientos
a 1
SSE
N a
El estadístico de prueba tiene una distribución F (Fisher) con v1 = a -1 y v2 = N -a grados de libertad en el
numerador y en el denominador, respectivamente.
Retomando la hipótesis anteriormente mencionada:
H0: 1 = 2 = 3 = … = a = 0
Ha: i ≠ 0
El estadístico de prueba calculado en la tabla de análisis de varianza es
F0 
MS tratamientos
MSE
La hipótesis nula se rechazará cuando el estadístico de prueba sea mayor que el valor de las tablas F , a-1, Na, donde  representa al nivel de significancia en la prueba.
Si se rechaza la hipótesis nula concluiremos entonces que sí existen diferencias entre los tratamiento y por
ende el factor si tiene efecto sobre la respuesta.
En el caso del diseño desbalanceado, en el cual el número de observaciones difiere para cada tratamiento,
el procedimiento es semejante; solo difiere la manera en que se calculan las sumas de los cuadrados:
a
ni
SST  Y
i 1 j 1
2
ij
2

Y ..

N
Yi.2 Y ..2

N
i 1 ni
a
SStratamientos  
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Donde
ni es el número de observaciones para el i-ésimo tratamiento.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LAS MEDIAS DE LOS TRATAMIENTOS
Se pueden calcular intervalos de confianza para las medias de cada uno de los tratamientos del
experimento.
Para el caso balanceado, el intervalo de confianza de (1-)100% se puede calcular mediante la siguiente
ecuación:
Yi  t 
2
, N a
MSE
MSE
  i  Yi  t  , N a
2
n
n
En el caso de un diseño desbalanceado, el intervalo de confianza de (1-)100% quedará de la siguiente
manera:
Yi  t 
2
, N a
MSE
MSE
  i  Yi  t  , N a
2
ni
ni
De la misma manera se pueden calcular intervalos de confianza de (1-)100% para la diferencia en las
medias de dos tratamientos.
Para el diseño balanceado:
Yi  Y j  t 
2
, N a
2MSE
2MSE
  i   j  Yi  Y j  t  , N a
2
n
n
Para el diseño desbalanceado:
Yi  Y j  t 
2
, N a
1 1
1 1
MSE     i  Yi  Y j  t  , N a MSE  
n n 
n n 
2
j 
j 
 i
 i
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METODOS PARA COMPARAR MEDIAS ENTRE TRATAMIENTOS
Se pueden comparar las medias entre los tratamientos para establecer si existe alguna diferencia entre
ellos. A continuación se presentan dos de los varios métodos que existen para realizar este procedimiento.
METODO DE LA MINIMA DIFERENCIA SIGNIFICATIVA (LSD)
Este método consiste en comparar el valor absoluto de la diferencia en las medias entre dos tratamientos
cualesquiera, con la mínima diferencia significativa o LSD por su abreviación en inglés.
La mínima diferencia significativa se calcula de la siguiente manera:
Para el diseño balanceado
LSD  t
2
, N a
2MSE
n
Para el diseño desbalanceado
LSD  t
2
, N a
1 1
MSE  
n n 
j 
 i
En general se compara el valor absoluto de la diferencia entre las medias de los dos tratamientos con el
LSD, si el valor absoluto es mayor, concluiremos que las medias de los dos tratamientos son diferentes; si
es menor, entonces no son diferentes. Esto es:
Yi  Y j  LSD
Yi  Y j  LSD


Yi
Yi
y
y
Yj
Yj
son
no
diferentes
son
diferentes
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METODO DE LOS INTERVALOS MULTIPLES DE DUNCAN
Este es uno de los métodos más utilizados para comparar las medias entre los tratamientos. La ventaja
sobre los demás es que se puede aplicar sin importar si el diseño es balanceado o no, al evitar realizar las
comparaciones por separado de acuerdo al tipo de diseño.
El procedimiento para utilizar este método consta de varias partes:
1. Se ordenan las medias en forma ascendente, es decir de la mas pequeña, en cuanto a su valor hasta la
más grande.
2. Se calcula el error estándar de las medias mediante la siguiente fórmula:
Para el diseño balanceado:
S Yi 
MSE
n
S Yi 
MSE
nh
Para el diseño desbalanceado:
Donde
nh 
a
a
1
n
i1
i
3. Se buscan los intervalos significativos en las tablas de los Intervalos Significativos de Duncan:
r( p, f )
Donde
 es el nivel de significancia
p = 2, 3, 4, ..., a
f representa a los grados de libertad del error
4. Se convierten los intervalos anteriores a intervalos menos significativos:
Rp = r( p, f )Sÿi
5. Se comparan las medias de acuerdo al siguiente procedimiento:
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Se resta a la media con el valor más grande la media con el valor más pequeño. Esta diferencia se compara
con Ra. Si la diferencia es mayor, entonces las dos medias son diferentes.
Se resta a la media con el valor más grande la media con el segundo valor más pequeño. Esta diferencia se
compara con Ra-1. Si la diferencia es mayor, entonces las dos medias son diferentes.
Se resta a la media con el valor mas grande la media con el tercer valor más pequeño. Esta diferencia se
compara con Ra-2. Si la diferencia es mayor, entonces las media son diferentes.
Así sucesivamente, hasta restar a la media con el valor más grande la media con el segundo valor más
grande. Esta diferencia se compara con R2. Si la diferencia es mayor, entonces las medias son diferentes.
Una vez comparada la media mas grande con todas las demás, se comprar la media con el segundo valor
más grande con las demás medias, siguiendo el procedimiento anterior, sólo que ahora la primera diferencia
se compara con Ra-1.
Se continúa de esta manera hasta haber comparado entre sí las últimas dos medias con los valores mas
pequeños.
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