EXPERIMENTOS NO DETERMINISTAS

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Los Experimentos Aleatorios reúnen las siguientes características comunes.
1. es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las
condiciones
2. si bien no podemos indicar cuál será un resultado particular, podemos describir el
conjunto de todos los resultados posibles del experimento (Espacio Muestral)
3. a medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir en
forma caprichosa, sin embargo como el experimento se repite un “gran número” de
veces, aparece un patrón definido o regularidad
ESPACIO MUESTRAL : en cada experimento aleatorio E , definimos el espacio muestral
como el conjunto de todos los resultados posibles de E . Usualmente designamos este
conjunto como S. En nuestro contexto S, representa el conjunto Universal o Referencia
definido anteriormente
Problema 1 : Halla el espacio muestral S en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
E1: Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior
E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas
E3: Se lanza una moneda cuatro veces y se observa la sucesión de caras y números obtenidos
E4: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos
defectuosos producidos en un período de 24 horas.
E5: El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de
remaches defectuosos.
E6: Se fabrica una bombilla. Luego se prueba su duración conectándola en un portalámparas
y se anota el tiempo transcurrido hasta que se quema (en horas)
E7: En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Se elige un artículo después de otro ( sin
sustituir el artículo escogido) hasta que se obtiene el último artículo defectuoso. Se cuenta el
número total de artículos sacados del lote.
E8: Se fabrican artículos hasta producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de
artículos manufacturados.
E9: Durante el transcurso de 365 día se registran diariamente se registran diariamente las
temperaturas máxima y mínima.
EVENTO O SUCESO: Un evento A respecto a un espacio muestral S asociado con un
experimento E , es simplemente un conjunto de resultados posibles. Más rigurosamente
UN EVENTO ES UN SUBCONJUTO DEL ESPACIO MUESTRAL.
Problema 2 : Expresa por extensión los siguientes eventos que corresponden a los
experimentos aleatorios del problema 1
1
.
A1 es el evento que salga un número par
A 2 es el evento que salgan a lo sumo dos caras
A3 es el evento que salgan más caras que números
A 4 es el evento que todos los artículos sean no defectuosos
A5 es el evento que haya por lo menos 3 remaches defectuosos
A 6 es el evento que la bombilla se queme en menos de 3 horas
A 7 es el evento que se extraigan a lo sumo 5 artículos
A8 es el evento que se fabriquen sólo 8 artículos
A9 es el evento que la temperatura máxima sea menor que
el doble de la mínima
OBSERVACIÓN : Dados dos eventos cualesquiera A y B asociados al espacio muestral S de un
experimento aleatorio E los conjuntos A B , A B , A-B y AC también son eventos de S .
Definición : Se dice que dos eventos A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES , si no pueden
ocurrir juntos, o sea, A B =  .
Ejercicio: Se prueba un artefacto electrónico y se registra su tiempo total de uso, digamos t.
Supongamos que el espacio muestral es S = t  R / t  0 . Sean A, B y C tres eventos definidos
como sigue : A=t/t<100 , B=t/50  t  200 , C=t/t>50 , hallar los eventos
A B , A B , B C , B C , A C , A C , A-B , B-A , B-C , C-B , A-C , C-A , AC , BC , CC
PRIMEROS CONCEPTOS DE PROBABILIDAD
Sea E un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado con E . Con cada evento A
asociamos un número real, designado como P(A) y llamado “probabilidad de A”, el cual satisface
los siguientes axiomas :
 Axioma 1 : 0  P(A)  1
 Axioma 2 : P(S)=1
 Axioma 3 : Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P (A B) =P(A) + P(B)
Axioma 4 : Si A1, A2 , A3 , ............ An ,.......... es un conjunto infinito numerable de
sucesos mutuamente excluyentes dos a dos, entonces
P( i=1 Ai )  P(A1 )  P(A2 )  P(A3 )  .......... P(An )  ..........

2
Teorema 1 : P() = 0
Demostración :
P(A) = P(A ) = P(A) + P()  P() = 0
(por ax. 2) ( prop. cancelativa de la adición)
Teorema 2 : P(AC ) = 1 - P(A)
Demostración : P(S) = P(A AC ) = P(A) + P(AC ) = 1 entonces P(AC) )  1  P(A)
Teorema 3 : Si A y B son dos sucesos cualesquiera entonces : P(A B)=P(A)+P(B)  P(A B)
Dem. :
P(A B)=P (A-B) (A B) (B-A)  P(A-B)+P(A B)+P(B-A)=[P(A-B)+P(A B)]+[P(B-A)+P(A B)]-P(A B)=
=P(A)+P(B)-P(A B)
Teorema 4 : P(A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)
Teorema 5 : A  B  P(A)  P(B)
Definición: cuando el cardinal del espacio muestral es finito, o sea # S = n , n pertenece a N ,entonces
se dice que el ESPACIO MUESTRAL ES FINITO.
S  ai ,1  i  n  a1, a2 , a3 ,............., an 
A= ai , a j , ad   S entonces : P(A)  P(ai )+P( a j )+P( ad )= P(ai ) , ai  A
Definición : cuando P(a1 )=P( a2 )=P( a3 )=..........=P(ai ) , ai S  decimos que el ESPACIO
MUESTRAL ES EQUIPROBABLE.
1
, ai  S, donde n = # S
Entonces si S es finito, P(ai ) 
n
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
Ejemplo : Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1, x 2 ) donde x1 es el resultado del
primer dado y x 2 del segundo dado.
Consideremos los eventos A=(x1, x2 ) / x1  x 2  10 y B= (x1, x 2 ) / x1 >x 2 , hallar P(A) , P(B) y P(B/A)
Definición: La probabilidad del suceso A dado B, o del suceso A sabiendo que pasó B, se escribe, P(A/B),
P(A B)
y se define P(A/B)=
P(B)
Consecuencia : P(A B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
3
SUCESOS INDEPENDIENTES
Definición : Dos sucesos A y B son independientes  P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B)
Consecuencia : A y B son independientes  P(A B)  P(A).P(B)
Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
Definición : A1, A2 , A3 ,.........An son sucesos de un espacio muestral
una PARTICIÓN de S si : Ai
A j   ,  Ai , A j S , y A1
A2
, P = A1, A2 , A3,.........A n  es
A3 ......... An  S
P es una partición de S , P = A1, A2 , A3,.........A n  B un suceso S ,entonces :
P(B)  P(B/A1 ).P(A1 )  P(B/A2 ).P(A2 )  ...........  P(B/An ).P(An ) Teorema de la Probabilidad Total
P(A j ).P(B/A j )
P(A j / B)  i = n
 [ P(Ai ).P(B) ]
Teorema de Bayes
i=1
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Definición : Sea E un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado con él. Una función
X : S  R tal que cada elemento s  S , suceso elemental , le corresponde un número real X(s) , se
llama VARIABLE ALEATORIA.
4
Definición : Sea X una variable aleatoria. Si el recorrido de X , R( X ) es un conjunto finito o infinito
numerable, llamamos a X una VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
Definición : Sea X una variable aleatoria discreta , R( X )=
x
i
/ xi  R(X), i  N*  su recorrido,
llamamos FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE CUANTÍA a f,
a) f(xi )  0

que f(xi )  P( X=xi ) , además los números f(xi ) deben cumplir :
b) f(xi ) = 1
f : R(X)  R tal
i=1
Definición : LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA de la variable aleatoria X , la
llamamos F, F : R  R / F(x) = P  X  x 
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Definición : Dada X una variable aleatoria discreta, f su función de probabilidad , llamamos VALOR

ESPERADO, ESPERANZA , MEDIA O PROMEDIO de X, escribimos E(X) o  o X    x i .f(x i )

i =1
Varianza , desviación estándar y desviación media de una variable aleatoria discreta
Definición : Dada X una variable aleatoria discreta, f su función de probabilidad , llamamos :

2
2
a) VARIANZA de X , V( X ) = E  X  E(X)   =   x i  E(X)  .f(x i )

 i =1
b) DESVIACIÓN ESTÁNDAR de X , d.e (X) o  (X) = V(X)

c) DESVIACIÓN MEDIA de X , d.m. ( X ) =
x
i
 E(X) .f(x i )
i =1
Distribución Binomial
Definición: Consideremos un experimento aleatorio E y sea A un suceso asociado con E. Supongamos
que P( A ) = p . Consideremos n repeticiones independientes de E, por lo tanto el espacio muestral S
consiste en todas las sucesiones posibles a1,a 2 ,a3 ,.......,a n  donde cada a i es A o A C según A o A C
ocurra en la i-ésima repetición de E, #S =2n . Además supongamos que P(A)= p es el mismo ( constante)
para todas las repeticiones. Definimos la variable aleatoria X, X= número de veces que ocurrió A .
Llamamos a X una VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL con parámetros n y p . Decimos también que
X tiene una distribución BINOMIAL, los ensayos individuales se llaman ensayos de Bernoulli.
Escribimos X= B (n y p )
Teorema : X= B (n y p )  f(x) = P(X=x) = Cnx pk (1  p)n - k x = 0, 1, 2, ..........., n
Teorema : E(X) = n.p y V ( X ) = n.p.(1-p)
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