Ejercicios olimpíadas de 1º nivel

1º NIVEL
1. Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones, de modo que
la suma de los tres números de cada una de las 4 líneas sea la misma. Ya se escribieron el 6 y
el 9. Ubicar los demás números.
2. En la tienda El Ofertón, el precio de cada artículo es una cantidad entera de pesos con 99
centavos (el precio más bajo es $0,99). Doña Rosa realizó una compra por un total de
$125,74. ¿Cuántos artículos compró? Dar todas las posibilidades.
3. Se trazan 5 rectas horizontales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior, y 6 rectas
verticales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior. Estas 11 rectas determinan 30 puntos.
Sea A el punto de la quinta fila, primera columna (es decir, el de la esquina inferior izquierda),
B el punto de la primera fila, sexta columna (o sea, el de la esquina superior derecha) y C el
punto de la segunda fila, quinta columna. Calcular el área del triángulo ABC. NO VALE MEDIR.
4. Se escriben los números enteros positivos desde 1 hasta 1000, uno a continuación del otro,
sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de dígitos (el primero es 1 y el último
es 0):
123456789101112...9989991000.
Determinar cuántos dígitos se han escrito hasta que se escriben por primera vez tres 9
seguidos.
5. Nico viaja de A hacia B y, por la misma ruta rectilínea, Gonzalo viaja de B hacia A. Salen a
la misma hora y los dos van a velocidades constantes. Cuando se cruzan, la distancia recorrida
por Nico es igual a la distancia recorrida por Gonzalo más
de la distancia entre A y B. Desde
que se cruzan hasta llegar a B Nico tardó 9 minutos. Calcular cuánto tiempo utilizó Gonzalo
para ir desde B hasta A.
6. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD y lados no paralelos BC y AD, tal que
y
. Se traza la bisectriz del ángulo
que corta a la base AB en E. Se sabe que
AD=12 y BE=15. Calcular las medidas de las bases del trapecio.
7. Hacer la lista de todos los enteros positivos de tres o más dígitos tales que cada par de
dígitos consecutivos sea un número de dos dígitos que es cuadrado perfecto. Por ejemplo, 164
es un número de la lista, porque 16=42 y 64=82, pero 1645 no está en la lista porque 45 no
es un cuadrado perfecto y 381 no está en la lista porque 38 no es un cuadrado perfecto.
8. En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8 inclusive,
sin repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la diferencia de los números
azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor). Distribuir los números azules para
que la cantidad de números rojos distintos sea la menor posible.
9. Dado un triángulo equilátero ABC, sean P y Q exteriores al triángulo tales que BQ corta al
lado
AC, CP corta al lado AB, AP=AQ=AB y
. Calcular
10. En el pizarrón se escriben los números enteros positivos impares desde 1 hasta 47, uno a
continuación del otro, sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de 43 dígitos (el
primero es 1 y el último es 7):
135791113...4547.
Hay que borrar 33 dígitos de modo que los 10 dígitos que queden escritos, leídos de izquierda
a derecha, formen el mayor número de 10 dígitos posible.
Determinar cuál es el número de 10 dígitos que quedará escrito en el pizarrón.
11. Un auto viaja de A a B a velocidad constante. A las 8 de la mañana ha recorrido
exactamente la tercera parte del camino entre A y B, y a las 12 del mediodía lleva recorrido,
en total, las
partes del camino entre A y B. Determinar a qué hora ha recorrido
exactamente la mitad del camino entre A y B.
12. Se tiene un triángulo ABC y un punto interior P tal que
,
y
.
Calcular los ángulos del triángulo ABC.
13. Distribuir en los círculos los números de tres dígitos 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221,
222, sin repeticiones, de modo que los números escritos en círculos que están unidos entre si
por un segmento no tengan más de una coincidencia (es decir, pueden tener exactamente una
coincidencia o no tener coincidencias).
14. Hallar todos los números enteros positivos de cuatro cifras que son múltiplos de 11 y
tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.
15. Se considera una circunferencia de centro O y se traza un diámetro AD.
El punto C de la circunferencia es tal que
. Se traza por O la recta perpendicular a la
cuerda AC que corta a la circunferencia en el punto B. Sea F el punto de intersección de AC y
BD. Calcular la medida del ángulo.
16. En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a
derecha en forma creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la
primera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta
el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la segunda etapa, comenzando de la
derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la lista. En la tercera
etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de
la lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando
desde el extremo que corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez
hasta recorrer todos los números aun no borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo
número en el pizarrón. Determinar cuál es ese número.
17. En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas.
En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe
una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al
cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3
pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de
cada prueba.
ACLARACIÓN: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero
positivo.
18. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado. Comienzan a
moverse simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a
1 cm/seg y la otra a 2 cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas
cuando han transcurrido exactamente 817 segundos desde que salieron.
19. Hay que escribir los números enteros del 1 al 7, uno en cada casilla, sin repeticiones, de
modo que la suma de los tres números de cada una de
las tres líneas (una horizontal y dos verticales) sea la misma. Ya se escribieron el 3 y el 4.
Ubicar los demás números.
20. Emilio tiene una bolsa con dos clases de caramelos, de frutilla y de leche. Le regala la
quinta parte de los caramelos de leche a su hermanito y resulta que la cantidad de caramelos
de leche que quedan en la bolsa es igual a
de la cantidad de caramelos de frutilla de la
bolsa. Luego le regala 56 caramelos de frutilla a sus compañeros de clase. Así, en la bolsa la
cantidad de los caramelos de frutilla es igual a
de los de leche.
¿Cuántos caramelos de cada clase quedan en la bolsa?
21. Sean ABC un triángulo y D un punto del lado BC tal que y
del lado AC se marca el punto E tal
que
(C queda entre A y E). Calcular la medida del ángulo
1 Hallar todos los números naturales de cuatro cifras
. En la prolongación
.
tales que
y
.
2 Sean a y b números reales distintos tales que 2a2 + 2b2 = 5ab. Hallar todos los posibles
valores de
(a + b) / (a - b)
22. Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática. Por cada
problema se obtiene un punto si está bien resuelto y cero punto en cualquier otro caso. Entre
los cinco sumaron 73 puntos. Hay 9 puntos de diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe
cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 7 puntos de diferencia entre Beatriz y Carlos, pero no
se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 6 puntos de diferencia entre Carlos y Dora,
pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 13 puntos de diferencia entre Dora y
Eduardo, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 23 puntos de diferencia
entre Eduardo y Ana, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje. ¿Cuántos puntos
obtuvo cada participante?
23. Una hoja de papel rectangular se divide mediante un sólo corte en un triángulo y un
pentágono. Las longitudes de los lados del pentágono son 17, 25, 28, 33 y 43, en algún orden.
Calcular el área del pentágono.
24. La Asociación Vida Silvestre de Saladillo tiene 50 miembros. El sábado cada uno de los
presentes plantó 17 árboles y el domingo cada uno de los presentes plantó 20 árboles. En total
se plantaron 1545 árboles. ¿Cuántos de los miembros de la Asociación faltaron el sábado y
cuántos faltaron el domingo?
25. Matías ha dibujado un cuadrado ABCD con tinta negra y debe colorear con rojo todos los
puntos P del interior del cuadrado tales que el área del cuadrilátero BCPA es igual al triple del
área del cuadrilátero APCD. Describir cuál es la parte roja del dibujo y justificar.
26. Se considera un polígono regular de 10 lados. Hay que elegir tres vértices de este polígono
de modo tal que el triángulo que determinan sea escaleno y ningún lado del triángulo sea al
mismo tiempo lado del polígono de 10 lados. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir
los tres vértices?
27. En el círculo de centro O y radio 10cm, AC es un diámetro, OD es perpendicular a AC y
AOB=120o. Hallar el área de la figura sombreada.
28. Con un rompecabezas de 15 piezas cuadradas se armó un cuadrado de 13x13 como
muestra la figura:
Cada número indica la longitud del lado de la pieza correspondiente. Juan perdió una pieza, y
con el rompecabezas formado por las 14 piezas restantes pudo armar otro cuadrado. Dar el
tamaño de la pieza que se perdió y mostrar como se arma el cuadrado con las 14 piezas
restantes.
Juan, Pablo y Diego juegan al ping-pong. Después de cada set, sale el perdedor y entra el que
no jugó ese set.
Juan jugó 50 sets y Pablo jugó 101 sets. Decidir si con esta información se sabe cuantos sets
jugó Diego.
29. Consideramos los números naturales desde 10 hasta 1996 inclusive. ¿Cuántos de ellos
verifican que si le suprimimos la última cifra de la derecha, el número que queda divide al
número original?
Aclaración: Decimos que el número A divide al número B si B es múltiplo de A. Por ejemplo, 3
divide a 36; 100 divide a 1000.
30. En un papel cuadriculado (cada cuadradito tiene lado 1) se marcan puntos A, B y C de la
cuadrícula, de modo que AB=3, AC=
correspondiente al vértice A.
y BC=
. Hallar la altura del triángulo ABC
31. Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3 números de 2 cifras cada
uno. Se suman entre si los 3 números de 2 cifras que se formaron.
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener mediante este procedimiento?
32. Sea ABCD un paralelogramo tal que el lado BC mide 13, la altura correspondiente a la base
AB mide 12 y el ángulo ABC es agudo. Sea E un punto en la prolongación del lado BC tal que
DEC=90o. Sabiendo que CE=5, calcular el área del cuadrilátero ABED.
33. Hacer la lista de todos los enteros positivos de tres o más dígitos tales que cada par de
dígitos consecutivos sea un número de dos dígitos que es cuadrado perfecto. Por ejemplo, 164
es un número de la lista, porque 16=42 y 64=82, pero 1645 no está en la lista porque 45 no
es un cuadrado perfecto y 381 no está en la lista porque 38 no es un cuadrado perfecto.
34. En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8
inclusive, sin repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la diferencia de
los números azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor). Distribuir los números
azules para que la cantidad de números rojos distintos sea la menor posible.
35. Dado un triángulo equilátero ABC, sean P y Q exteriores al triángulo tales que BQ corta al
lado
AC, CP corta al lado AB, AP=AQ=AB y
. Calcular
.
36.
39
33
40
36
Hallar los 5 númreos que se deben escribir en cada una de las 5 casillas vacías para obtener un
cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen la misma suma.
37. En la ruta que une A con B hay dos estaciones de servicio, "El Cruce" y "El Descanso",
separadas entre sí por 3km. La distancia desde "El Cruce" hasta A es igual a 3/4 de la distancia
dedse "El Cruce" hasta B. La distancia dedse "El descanso" hasta A es igual a 4/5 de la
distancia desde "El Descanso" hasta b. Calcular cuántos kilómetros tiene la ruta desde A hasta
B.
38. Sea D un punto interior del triángulo ABC tal que BDC = 123º, ABD = 15º y ACD = 21º.
Calcular la medida del ángulo BAC.
NO VALE MEDIR.
39. En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de la seis casillas vacías un número (no necesariamente entero) de modo
que una vez completo el tablero con los 10 números, se verifique que el número escrito en
cada casilla sea igual a la suma de los dos números escritos en las dos casillas sobre las que
está apoyada.
40. Hallar todos los números de cuatro cifras 1a7b que son múltiplos de 15. (a y b son dígitos
no necesariamente distintos.)
41. En una circunferencia de centro O están marcados los puntos A, B y C, siguiendo el sentido
horario, tales que AOB < BOC y AOC = 76°. Se marcan en la circunferencia M, N y P tales que
OM es la bisectriz de AOB, ON es la bisectriz de BOC y OP es la bisectriz de MON . Si BOP = 5°,
hallar la medida del ángulo BOC .
42. Las sillas de la aerosilla del Cerro Omperá están numeradas en forma consecutiva 1, 2, 3,
etc. Las distancias entre dos sillas consecutivas son todas iguales. Durante una tormenta, la
aerosilla se detuvo, y en ese momento la silla 22 se encontraba a la misma altura que la 59, y
la silla 93 se encontraba a la misma altura que la 142. Determinar el número de sillas que
tiene la aerosilla.
43. En un tablero como el de la figura, colocar en cada casilla un número entero entre 1 y 16,
sin repetir, de manera que la suma de los números escritos en dos casillas vecinas sea siempre
un cuadrado perf ecto.
ACLARACIONES: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
Cuadrados perfectos son los números que son iguales al cuadrado de un número entero.
44. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC y ABC = 1440. Se consideran el punto K en
AB, el punto L en BC y el punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC, KM es paralelo a BC
y KL = KM. La recta LM intersecta a la prolongación del lado AB en P. Hallar la medida del
ángulo BPL. NO VALE MEDIR.
45. El triángulo ABC tiene ^C=90°, AC = 20, AB = 101. Sea D el punto medio de CB. Hallar el
área del triángulo ADB.
46. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal que el
número de tres cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el
número de tres cifras cde sea múltiplo de 3 y el número de tres cifras def sea múltiplo de 11.
47. En el triángulo isósceles ABC con AB = AC, P es el punto del lado AB tal que AP = PC. Si la
bisectriz del ángulo ABC corta a PC en O de modo que PO = BO, hallar los ángulos del
triángulo ABC.
48. Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65x1y
que son múltiplos de doce.
49. En la figura hay dos puntos, A y B, una recta l y un segmento de longitud d. Hallar dos
puntos P y Q en la recta l de manera tal que el segmento PQ tenga longitud d y la suma
AP+PQ+QB se la menor posible.
50. Sobre la mesa hay un papel cuadrado de 8 cm de lado al que se le ha recortado en una
esquina un cuadrado de 1 cm de lado. Mariana debe dividir el papel en triángulos todos de
igual área. ¿Cuál es el número mínimo de triángulos que tendrá esta división?