Área y volumen mediante integración doble Definición de volumen

Área y volumen mediante integración doble
Definición de volumen bajo
Si la función
es continua y no negativa en la región plana acotada R.
Entonces el volumen V del sólido que está debajo de la superficie
y
sobre la región R se define como:
si esta integral existe.
Es interesante observar la relación entre esta definición y el método de las
secciones transversales para el volumen. Si por ejemplo, la región R es
verticalmente simple, entonces la integral de volumen de la ecuación anterior
adquiere en términos de integrales iteradas la forma:
La integral interior
es igual al área de la región en el plano
y sobre el intervalo
que esta debajo de la curva
(figura 1).
Pero esto es la proyección de la sección transversal. Por tanto, el valor de la
integral interior es simplemente el área de la sección transversal de la región
sólida T en un plano perpendicular al eje x. Así,
de modo que en este caso la ecuación se reduce a que el volumen es la
integral del área de la sección transversal.
Ejemplo
El rectángulo R en plano xy consta de aquellos puntos
tales que
. Determine el volumen V del sólido que se encuentra
bajo la superficie
y sobre R:
Solución:
En este caso
por lo que la ecuación
Volumen mediante integrales iteradas
Una región tridimensional T se describe por lo general en términos de las
superficies que la acotan. El primer paso para aplicar la ecuación (1) y calcular
el volumen V de esta región es determinar la región R en le plano xy sobre el
cual se encuentra T. El segundo paso es determinar el orden adecuado de
integración: Esto puede hacerse de la siguiente forma:
 Si cada recta vertical en el plano xy intercepta a R en un único segmento
de recta, entonces R es verticalmente simple (figura 2) y
se puede integrar primero con respecto de “y”. Los límites
en “y” serán las ordenadas
de los extremos
de este segmento. Los límites en “x” serán los extremos
del intervalo en el eje “x” sobre el que se proyecta
R. Entonces
 Si cada recta horizontal en el plano xy intercepta a R en un único
segmento de recta, entonces R es horizontalmente simple (figura 3) y se
puede integrar primero con respecto de “x”. Los límites en
“x” serán las abscisas
de los extremos de
este segmento. Los límites en “y” serán los extremos
del intervalo “y” sobre el que se proyecta R.
Entonces
 Si la región R es vertical y horizontalmente simple, entonces se tiene la
opción de elegir el orden de integración que produzca cálculos
subsecuentes más simples.
 Si la región R no es vertical ni horizontalmente simple, entonces se debe
subdividir primero a R en regiones simples antes de proceder con la
integración iterada.
 El caso especial
en la Ecuación (1) se produce el área de la
región plana R. En este caso, la región sólida T se asemeja a
una meseta de desierto (figura 4), un cilindro sólido con base
R de área A y altura 1. El volumen de cualquier cilindro (no
necesariamente circular) es el producto de su altura y el área
de su base. En este caso, las integrales iteradas en las
ecuaciones (2) y (3) se reducen a:
Ejemplo 1
Calcular mediante integración doble el área A de la región R en le plano xy
acotada por la recta
y por la parábola
.
Solución:
Para graficar y determinar los límites de integración se resuelve la ecuación
donde
.
Como se indica en la figura 5, la recta
interceptan en los puntos
y la parábola
se
. Por tanto
Ejemplo 2
Hallar el volumen del sólido T en forma de cuña (figura 6) que se encuentra
sobre el plano xy, bajo el plano
y dentro del cilindro
.
Solución:
La región R de la base es un semicírculo de radio 2, pero por simetría basta
integrar sobre el cuarto de círculo S del primer cuadrante para después duplicar
el resultado. Una grafica del cuarto del círculo (figura 7) nos ayuda a establecer
los límites de integración.
Podemos integrar en cualquier orden, pero la integración con respecto de x
nos proporciona un cálculo más sencillo del volumen V.
Como ejercicio, deberá integrar en el otro orden y comparar los resultados.
Volumen entre dos superficies
Suponga ahora que la región T está sobre la región plana R, pero entre las dos
superficies
donde
para toda
en R. Entonces se obtiene el volumen V de T restando el volumen bajo
del
volumen
bajo
,
de
modo
que
Más sencilla,
donde
describe la superficie superior y
la
superficie inferior de T. Esta es la generalización natural de la fórmula para el
área de la región plana entre las curvas
sobre el intervalo
. Además, como esa fórmula, la ecuación (5) es válida aunque
,o
ambas
, sean negativas en parte de ó toda la región R.
Ejemplo
Determine el volumen V del sólido T (figura 8) acotado por los planos
y por los cilindros parabólicos
. Este
sólido se muestra en la siguiente figura
Solución:
Ya que los cilindros parabólicos dados son perpendiculares al plano xy, el
sólido T tiene lados verticales. Así, podemos pensar a T entre los
planos
y sobre la región R del plano xy está
acotada por las parábolas
Para graficar se debe determinar los puntos de cortes de las dos
parábolas dadas, entonces se igualan ambas
. Y luego estos valores se
sustituyen en las ecuaciones de las parábolas para obtener los
valores de y. Como se indica en la figura 9 estas parábolas se
interceptan en los puntos
.
Al integrar primero con respecto y (ya que de otro modo se necesitarían dos
integrales), se obtiene
Integrales dobles en coordenadas polares
En reiteradas ocasiones evaluar una integral doble de coordenadas
rectangulares o cartesianas
es imposible y en otras ocasiones muy
complicadas, pero si cambiamos a coordenadas polares
resulta mucho más
fácil.
En esta situación la función que transforma la región
del
plano
del plano
en otra R
es:
siendo el Jacobiano de la transformación:
entonces:
Y de acuerdo a esto el elemento de área en coordenadas polares será:
Ejemplo 1
Expresar con dos integrales simples iteradas en coordenadas polares la
integral
en donde R es un círculo con centro en el origen y radio
a.
Solución:
La región es
(figura 11)
Aplicando la fórmula del cambio de variables:
Observar (figura 12) que
es: