UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA VICE RECTORADO BARQUISIMETO DIRECCION ACADEMICA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
VICE RECTORADO BARQUISIMETO
DIRECCION ACADEMICA
DEPARTAMENTO: INGENIERIA INDUSTRIAL
SECCION: ADMINISTRACION
ASIGNATURA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROFESOR: Ing. EDUARDO JOSE PINTO TROCONIS
GUIA DE ACTIVIDADES. UNIDAD I
Introducción a la Teoría de Probabilidad.
Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma predecible, de
modo que podemos describir con certeza su comportamiento. Ejemplo: Un
software de computador.
Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no
predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema
Económico Mundial, las Organizaciones.
Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí radica la
importancia de la estadística.
Experimento Estadístico: Proceso del cual se derivan una serie de
resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplo: Observar el número de
personas que hablan por el celular mientras manejan, en la Av. Lara, Lanzar un
dado y observar el resultado que se presentan en la cara superior.
Los estudiosos de la estadística frecuentemente manejan:
Datos Numéricos o Experimentales (Variables): Producto de conteo o
mediciones. Ejemplo: Los números 1,3,4,5 representan los accidentes
laborales en los 4 primeros meses del año
Datos Categóricos o de Atributos: Pueden de clasificarse de acuerdo a algún
criterio o característica de calidad. Ejemplo: N,D,N,N,D representan los
artículos defectuosos y no defectuosos cuando se inspecciona una muestra
aleatoria de 5 de ellos.
Donde: N: No defectuoso.
D: Defectuoso
Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posible de un experimento
estadístico. Se representa por el símbolo “S”
A cada resultado del espacio muestra se le denomina punto muestral.
En referencia al experimento que consiste en lanzar un dado y observar el
resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S de
resultados posibles es:
S = {1,2,3,4,5,6 }
Si “S” finito o infinito contable, se le denomina Espacio Muestral Discreto
Si “S” constituye un intervalo real o unión de intervalos reales, se le denomina
Espacio Muestral Continuo
Ejemplos:
 Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara
superior, el espacio muestral “S” es discreto finito, pues:
S = {1,2,3,4,5,6 }
 Lanzar una moneda hasta que salga cara, el espacio muestral “S” es
discreto infinito, pues:
S = {c,sc,ssc,sssc,ssssc,… }.
 Si medimos el tiempo que transcurre hasta que falla un componente
electrónico, el espacio muestral “S” es continuo, pues:
S = {0,∞ }.
Para un número considerable de puntos Muestrales, resulta práctico expresar
el espacio muestral como una regla o enunciado:
Ejemplo:

El número de puntos internos en una circunferencia de radio 3 con
centro en el origen
S = { (x,y / x2 + y2 <= 9; x>0, y>0}
En experimentos de muestreo, que implican la selección artículos de un lote
debemos considerar si la selección se lleva a cabo:
Sin Reemplazo: El artículo seleccionado no se coloca de nuevo en el lote,
antes de seleccionar el siguiente.
Con Reemplazo: El artículo seleccionado se coloca de nuevo en el lote, antes
de seleccionar el siguiente.
Ejemplo: Un lote contiene tres artículos {1, 2,3}.el experimento consiste en
seleccionar dos de ellos
Si el experimento se lleva a cabo Sin Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31,32}
Si el experimento se lleva a cabo Con Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31, 32, 11, 22,33}
Evento: De manera frecuente, el interés recae en un conjunto particular de
resultados, así un evento constituye un subconjunto del espacio muestral en un
experimento estadístico. El evento se simboliza con una letra mayúscula
distinta de la “S” que la utilizamos para simbolizar el espacio muestral
Ejemplo
Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior y
verificar que el mismo sea un número par:
A = {2, 4, 6}
Complemento: El complemento de un evento A, denotado por A’ es el
conjunto formado por todos aquellos elementos (puntos muestrales)
pertenecientes a “S” que no están en A.
Ejemplo: En referencia al ejemplo anterior el evento complementario se verifica
si sucede un número impar:
A’ = {1, 3, 5}
En algunos casos expresaremos eventos a través de operaciones básicas de
conjunto, tales como intersecciones, uniones y complementos. A continuación
se definen de manera sencilla algunas de las operaciones básicas con
conjuntos, a saber:
La Unión de dos eventos A y B (A  B) es el evento formado por los resultados
que están en A o están en B o en ambos.
La Intersección de dos eventos A y B (A  B) es el evento formado por los
resultados que están en A y están en B .
Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
1)
a. ¿Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1,
2, 3, 4, 5 y 6?, si cada uno puede utilizarse una sola vez?
b. ¿Cuántos de estos números son nones?
c. ¿Cuántos de ellos son mayores que 330?
2)
a. ¿De cuántas maneras pueden formarse 5 personas en una fila?
b. ¿Si 3 de ellas insisten en colocarse juntas?
c. ¿Si 2 de ellas rehúsan estar juntas?
3) De un grupo de 4 hombres y 5 mujeres, ¿Cuántos comités de 3
miembros son posibles?
a) Sin restricciones?
b) Con 1 hombre y 2 mujeres?
c) Con 2 hombres y una mujer si un cierto hombre debe
estar en el comité?
4) Del 1 al 775 ¿Cuántas veces aparece el número siete?
5)
Un restaurante ofrece cebolla, salsa, mostaza y picante como
condimento para su agregado a una hamburguesa simple
a) a)
Cuántas clases de hamburguesas puede preparar si los
sabores se clasifican en: sin sabor, con uno, con dos, tres o cuatro
condimentos a la vez?
* Del 1 al 2000 cuantas veces aparece el número 9
PROBABILIDAD
1) Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurren dos veces
más frecuentemente que un 5, mismo que se presenta, mismo que se
presenta tres veces más seguido que un 3, un 4 o un 6. Si el dado se
lanza una vez, encuentre la probabilidad de que:
a) El número sea par.
b) El número sea mayor que 4.
*2) Un envío de 20 libros contiene el 20 % de libros mal compaginados.
a-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y no recibir
defectuosos?
.
b-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir a lo
sumo 2 defectuosos?
c-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir al
menos 2 defectuosos?
3) En una escuela se graduaron 100 estudiantes:
54 Estudiaron Matemática
69 Estudiaron Historia.
35 Ambas Materias.
SI se selecciona una persona al azar. Calcule la probabilidad de
que:
a.- Se haya dedicado a Historia o Matemática?.
b.- No haya cursado ninguna de estas materias?
c.- Haya estudiado Historia pero no Matemática?
PROBABILIDAD CONDICIONAL
1) La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de
Tv es 0,4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga es 0,5. La
probabilidad de que un hombre vea un programa dado que su esposa lo
hace es 0,7. Encuentre:
 Probabilidad de que una pareja de casados no vea el programa.
 Probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su
esposo lo hace.
EVENTOS INDEPENDIENTES
3.- En una zona se cuenta con dos carros de bomberos que operan
independientemente. La probabilidad de que el
vehículo 1 este
disponible cuando se le necesite es 0,96, la probabilidad de que el
vehículo 2 no este disponible es 0,10?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso
necesario?
b) ¿Cual es la probabilidad de que alguno este cuando se le
necesita?
3.1 Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes
primarios. La probabilidad de que cualquier componente falle en el
período de garantía es 0,01. Suponga que los componentes fallan de
manera independiente y que la máquina falla cuando alguno de sus
componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina falle
durante el período de garantía
*3.2 Un vendedor de seguros vende pólizas a cinco hombres todos de
idéntica edad y de corazón en perfecto estado. De acuerdo con una tabla
actuarial, la probabilidad de que un hombre que llegue vivo a la edad de
30 años, teniendo veinticinco, es 2/3. Obtenga la probabilidad de que a
los treinta años no sobrevivan:
a) Los cinco hombres.
b) Al menos tres hombres.
3) A lo sumo dos hombres.
*3.3 Barquisimeto y Maracay están compitiendo para la sede de los
próximos juegos deportivos. Cada uno ofrece sus servicios de
instalaciones deportivas, alojamiento y alimentación .Las probabilidades
de que Barquisimeto le gane la sede a Maracay son 0.7 en Instalaciones
Deportivas, 0,4 en alojamiento y 0,4 en alimentación. Para obtener la
sede las ciudades deben ser sometidas a pruebas de servicios y ganar
no menos dos de ellas (no hay empate). ¿Barquisimeto tendrá la mayor
probabilidad de ganar la sede? ¿Cuantifique dicha probabilidad?
TEOREMA DE BAYES
4-. Una fábrica de zapatos piensa lanzar al mercado un nuevo
modelo de calzado casual. Por experiencia sabe que el 70% de las veces
ha tenido éxito cuando el estudio de mercado ha sido bien realizado y
20% si la investigación estuvo mal orientada. Además, estima que el
estudio de mercado está bien elaborado en el 80% de los casos. Si
resultó que el calzado tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que el
estudio de mercado haya sido bien realizado? A propósito, ¿cuál es la
probabilidad de que el nuevo calzado tenga éxito?
4.1 La alineación entre la cinta magnética y la cabeza de un
sistema de almacenamiento en cinta magnética afecta el desempeño del
sistema. Suponga que el 10% de las operaciones de lectura se ven
atenuadas por una alineación oblicua, el 5 % de ellas son atenuadas por
una alineación descentrada, y que las demás operaciones de lectura se
realizan de manera correcta. La probabilidad de un error en la lectura
por una alineación oblicua es 0,01, por una alineación descentrada 0,02 y
0,001 por una alineación correcta.
a. ¿Cuál es la probabilidad de tener un error de lectura?
b. Si se presenta un error de lectura. ¿Cual es la probabilidad de que
se deba a una alineación oblicua?
* 4.2 Se sabe que un suero de la verdad que se aplica a un sospechoso
es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% cuando es
inocente. En otras palabras, 10 % de los culpables se juzgan inocentes
por el uso de este suero y 1% de los inocentes, culpable. Si se
selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales solo
5% ha cometido un crimen, y el suero indica que es culpable, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea inocente?
*4.3 Una explosión en un tanque de almacenamiento de LNG en el curso
de una reparación podría haber ocurrido como resultado de electricidad
estática, mal funcionamiento del equipo eléctrico, una llama fuera de
control en un contacto con el revestimiento o una acción deliberada
(sabotaje industrial). Las entrevistas con los ingenieros que analizaron
los riesgos implicados condujeron a estimaciones de que una explosión
de este tipo ocurría con una probabilidad de 0,25 como resultado de
electricidad estática, de 0,20 a causa de mal funcionamiento del equipo
eléctrico, de 0,40 como resultado de una llama de control y 0,75 como
consecuencia de acción deliberada. Estas entrevistas también ofrecieron
estimaciones subjetivas de probabilidades anteriores de estas cuatro
causas de 0,30; 0,40; 0,15 y 0,15 respectivamente. ¿Cuál fue la causa
más probable de la explosión?
* Ejercicios aplicados en exámenes
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GUIA DE ACTIVIDADES II UNIDAD
VARIABLES ALEATORIAS.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:
Variable Aleatoria:
Def: Función que asocia un número real a cada resultado del
espacio muestral de un experimento aleatorio.
Las Variables Aleatorias se denotan con una letra mayúscula,
(X,Y,etc) y los valores puntuales que asumen con una letra
minúscula (x,y,etc); Ejemplo: P(X=x) (Probabilidad de que la
variable X asuma el valor x)
Una Variable Aleatoria Discreta es una variable con un
rango finito (o infinito contable), es decir, si se puede contar su
conjunto de resultados posibles. Ej: Nº de Unidades Defectuosas,
Nº de Accidentes Laborales al año, Nº de Paradas por Fallas
Mecánicas, etc.
Def: La función f (x) = P(X=x), definida, para el conjunto de valores
positivos de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0,1] recibe
el nombre de función de probabilidad
Para una variable Aleatoria X, la función de probabilidad,
función masa de probabilidad o función de densidad f (x)
satisface las siguientes propiedades:
1. f (x) ≥ 0.
2. Σ f (x) = 1.
3. P (X=x) = f (x)
EJEMPLOS:
1) Un embarque de 5 televisores contiene 2 aparatos
defectuosos. Se realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si
X es el número de unidades buenas que se adquieren.
Encuentre la distribución de probabilidad de X.
2) Un Sistema de inspección óptica es capaz de distinguir cuatro
partes distintas. La probabilidad de clasificar de manera
correcta cualquier parte es 0,98. suponga que se
inspeccionan tres partes y que la clasificación de éstas es
independiente. Sea la variable aleatoria X el número de partes
clasificadas correctamente. Determine la función de
probabilidad
Si el Rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo
(ya sea finito o infinito) de números reales, entonces X es una
Variable Aleatoria Continua ,
Def: La función f (x) es una función de probabilidad para la
variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de los números
reales sí
1. f (x) ≥ 0. para toda x є R
2. ∫-∞
∞f (x) = 1.
b
3. P (a <X < b) = ∫a f (x)
1-. El número total de horas, medida en unidades de 100 horas que
una familia utiliza un automóvil durante un año se puede expresar
mediante la siguiente función de densidad:
f(x) =
x, 0< x < 10
100
20-x, 10 x < 20
100
0, en cualquier otro caso.
Encuentre la probabilidad de que en un período de un año una
familia utilice su automóvil:
a) menos de 1.300 horas ( 2 puntos)
b) entre 450 y 1450 horas ( 2 puntos ).
c) Más de 1800 horas ( 1 punto )
3) 2.- Considere la función de densidad
k√x ,
0<x<1
f(X) =
0
en cualquier otro caso.
a) Evalúe K
b) Encuentre F(X) y utilícela para evaluar P(0.3 <X<0.6)
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GUIA DE EJERCICIOS.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCION BINOMIAL.
1) Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas cada una
con cuatro respuestas. Suponga que un estudiante sólo adivina las
respuestas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera
correcta más de 15 preguntas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera
correcta
Menos de cinco preguntas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste de manera correcta al
menos 3 preguntas?
d) Cuál es la probabilidad de que conteste de manera correcta entre
3 y 5 preguntas?
e) ¿Cuál es el número promedio de respuestas correctas?
2)
Una persona pasa todas las mañanas a la misma hora por un
crucero donde el semáforo está en verde el 20 % de las veces.
Suponga que cada mañana representa un ensayo independiente
a. En cinco mañana consecutivas ¿Cuál es la probabilidad de que el
semáforo esté en verde exactamente un día?
b. En 20 mañanas, ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo
esté en verde exactamente cuatro días?
c. En 20 mañanas ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo este
en verde más de cuatro días?
DISTRIBUCION GEOMETRICA
1) La probabilidad de que la calibración de un transductor en un
instrumento electrónico cumpla con las especificaciones del
sistema de medición es 0,6. Suponga que los intentos de
calibración son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de
que se requieran como máximo tres intentos para satisfacer
las especificaciones del sistema de medición?
2) La probabilidad de que una persona apruebe el examen
escrito para obtener la licencia es 0,6. Encuentre la
probabilidad de que una persona apruebe el examen.
a) En el tercer intento.
b) Antes del cuarto intento.
c) ¿Cuál es el número promedio de veces antes de aprobar el
examen?
DISTIRBUCION HIPERGEOMETRICA
1) Un lote de 75 arandelas contiene cinco en las que la
variabilidad en el espesor alrededor de la circunferencia es
inaceptable. Se toma una muestra al azar de 10 arandelas sin
reemplazo.
a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas
inaceptables se encuentre en la muestra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las
arandelas inaceptables se encuentre en la muestra?
c) ¿Cuál es el número promedio de arandelas inaceptables en la
muestra?
DISTRIBUCION DE POISSON
1) El número de mensajes que se envían por computadora a un
boletín electrónico es una variable aleatoria de Poisson con media
de 5 mensajes por hora?
a.
b.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba
cinco mensajes en una hora?
¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba 10
mensajes en una hora y media?
¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba
menos de 2 mensajes en media hora?
2) En la inspección de hojalata producida por un proceso
electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio
por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una
imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5
minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
3) El número promedio de plagas de campo por hectárea en un
campo de trigo de 5 hectáreas se estima que es de 15. Encuentre la
probabilidad de que menos de 10 ratas de campo se encuentren:
a) En una Ha de terreno determinada.
b) En 2 de las siguientes tres Ha inspeccionadas.
DISTRIBUCION NORMAL
1) Un Ingeniero se traslada diariamente de su casa en Cabudare
a su sitio de trabajo en el Centro de la ciudad. En Promedio el
viaje le toma 25 minutos con una desviación estándar de 4
minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado
está normalmente distribuida.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos
½ hora?
b) Si la oficina abre a las 9:00 A.M. y él sale de su casa a las
8:45 A.M. diariamente ¿Qué porcentaje de las veces llega
tarde a su trabajo?
c) ¿Probabilidad de que un traslado le tome entre 15 y 35
minutos?
d) Encuentre el período arriba del cual se encuentra el 10 % de
los traslados más rápidos.
e) Encuentre la probabilidad de que 3 de los siguientes cinco
viajes le tomen al menos ½ hora.
2) El peso de un moderno zapato deportivo para correr tiene una
distribución normal con media 12 onzas y desviación estándar
de 0,5 onzas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el zapato pese más de 13
onzas?
b) ¿Cuál debe ser la desviación estándar del peso para que la
compañía que los produce pueda garantizar que el 99.9 % de
los zapatos tienen un peso menor que 13 onzas?
c) Si la desviación estándar permanece en 0.5 onzas ¿Cuál
debe ser el peso promedio de los zapatos para que la
compañía pueda afirmar que el 99.9 % de ellos pesa menos
de 13 onzas?
3) Las especificaciones de cierto trabajo implican limpiadores
con un diámetro interior de 0.300 +/- 0.005 pulgadas. Si los
diámetros interiores de los limpiadores suministrados por un
proveedor pueden considerarse como una variable aleatoria
con distribución normal con media igual a 0.302 pulgadas y
desviación estándar igual a 0.003 pulgadas.
a) ¿Qué porcentaje de estos limpiadores cumplirán las
especificaciones?
b) Calcule la probabilidad de que 7 de los siguientes 10
limpiadores cumplan con las especificaciones de diámetro
interno
c)¿La empresa reclama al proveedor cuando más del 15% de
los limpiadores tienen un diámetro interior fuera de
especificaciones. En este caso. ¿Hay reclamos por parte de la
empresa? ¿Por qué?
d. Si hay otro proveedor que puede suministrar los
limpiadores, pero actualmente los ofrece con un diámetro
interior medio 0.303 pulgadas, pero con una desviación
estándar igual a 0.002 pulgadas. ¿Qué porcentaje de estos
limpiadores no cumplirán las especificaciones?
e.-¿Cuál proveedor ofrece el mejor producto? ¿Por qué?
F.-A partir de que valor comienza el 5% de los diámetros
interiores menores.
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
1) Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente
cuyo tiempo de falla en años se modela como una variable
aleatoria distribuida exponencialmente, con tiempo promedio
de falla β = 5. Si 4 de estos componentes se instalan en
diferentes sistemas (Independientes), ¿Cuál es la probabilidad
de que al menos 3 continúen funcionando después de 8
años?
2) El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de
artículos para plomería tiene una distribución exponencial con
un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un
lapso de 15 minutos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada
entre 5 y 10 minutos después de haber abierto la
empresa?
c. ¿Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de
modo tal que la probabilidad de recibir una llamada en
ese lapso sea 0,90?
*3) Suponga que cierto sistema contiene 3 componentes que
funcionan independientemente unos de otros y que están
conectados en serie de forma que el sistema falla tan pronto como
uno de los componentes falla. Suponga que el tiempo de vida del
primer componente medido en horas, tiene una distribución
exponencial con parámetro  =10, el tiempo de vida del segundo
componente tiene una distribución exponencial con parámetro  =
30 y el tiempo de vida del tercero tiene una distribución exponencial
con parámetro  = 60. Determine la confiabilidad del sistema para
90 Hrs
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GUIA DE ACTIVIDADES III UNIDAD
ESTIMACION POR INTERVALOS
1) Un Ingeniero Civil hace pruebas de resistencia a la compresión
del concreto. Para ello examina 12 especimenes y obtiene los
siguientes datos:
2216
2281
2237
2263
a.
b.
c.
2249
2318
2204
2255
2225
2275
2301
2295
¿Construya un Intervalo de confianza del 95% para la
resistencia promedio?
Calcule el Error estándar de la estimación
Que tamaño de muestra garantiza con un 95 % de
confianza una estimación de μ que difiera en un
máximo de 3,15
2) Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en
dos diferentes máquinas de extrusión. Para ello se toman dos
muestras aleatorias son de tamaño n1= 15 y n2= 18; las medias y
las varianzas muestrales son x1= 8.73, s12 = 0.35, x2 = 8,68 y s22=
0.40,
respectivamente.
Suponga
que
ambas
varianzas
poblacionales son iguales. Construya un intervalo del 95 % para la
diferencia en el diámetro promedio de la varilla
3) El administrador de un lote de automóviles prueba dos marcas
de cauchos. Para ello asigna al azar un caucho de cada
marca a las dos ruedas posteriores de ocho automóviles, y
luego corre los automóviles hasta que las llantas se
desgastan. Los datos que indican el rendimiento en
Kilometraje aparecen en la siguiente tabla. Encuentre un
Intervalo del 99 % para la diferencia en el tiempo promedio de
duración. Con base a estos cálculos ¿Qué caucho preferiría?
Automóvil
1
2
3
4
5
6
7
8
Marca 1
36925
45300
36240
32100
37210
48360
38200
33500
Marca 2
34318
42280
35500
31950
38015
47800
37810
33215
INTERVALO DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
1)
Un fabricante de calculadoras electrónicas está interesado en
estimar la fracción de unidades defectuosas producidas. Se toma
una muestra aleatoria de 800 calculadoras, de las cuales 10
resultan defectuosas. Calcule un intervalo de confianza del 90 %
para la fracción de calculadoras defectuosas.
2)
Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de
cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de
corto alcance. El sistema actual tiene una p= 0,8 como
probabilidad de un lanzamiento exitoso. Una muestra
de 40 lanzamientos experimentales se realiza con el
nuevo sistema y 34 de ellos tienen éxito.
3) Determine un intervalo de confianza del 95 % para p.
4) ¿Consideraría ud que el nuevo sistema es mejor?
d)
Una firma de cigarros asegura que su Marca A de cigarros
sobrepasa en ventas a su marca B en 8 %. Si se encuentra
que 42 de 200 fumadores prefieren la Marca A y 18 de 150
fumadores prefieren la marca B, calcule un intervalo de
confianza del 95% para la diferencia entre las proporciones de
ventas de las dos marcas y determine si la diferencia del 8 %
es válida.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
e)
Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus
baterías duran, en promedio, 3 años con una varianza de 1
año. Si 5 de estas tienen duraciones de 1.8, 1.6, 3.0, 4.0 y 3.5
años, determinar un intervalo de confianza del 95 % para la
varianza e indique si es válida la afirmación del fabricante.
Suponga que la población de las duraciones de las baterías
se distribuye aproximadamente en forma normal.
5)
Se quiere estimar un intervalo de confianza al nivel de
significación α =0,05 para la varianza de la altura media de los
individuos de una ciudad. En principio sólo sabemos que la
distribución de las alturas es una v.a. X de distribución normal. Para
ello se toma una muestra de n=25 personas y se obtiene
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PRUEBA DE HIPÓTESIS
1)
Se estudia el rendimiento de un proceso químico. De la
experiencia previa con este proceso, se sabe que la desviación
estándar del rendimiento es 3. En los cinco días anteriores de
operación de la planta, se han observado los siguientes
rendimientos: 91,6%, 88.75%, 90,8% 89.95%, y 91.3%. Utilice α =
0.05. ¿Existe evidencia de que el rendimiento no es del 90 %?
2)
Una muestra aleatoria de 8 cigarros tiene un contenido
promedio de nicotina de 4.2 mg y una desviación estándar de 1.4
mg. ¿Esta esto de acuerdo con la afirmación de que el contenido
promedio no excede de 3.5 mg?. Suponga que la distribución de los
contenidos de nicotina es normal.
3)
Un fabricante afirma que la resistencia promedio a la tensión
de los tornillos A exceden la de los tornillos B al menos en 12
kilogramos. Para probar esta afirmación, se examinan 10 piezas de
cada tipo de tornillo bajo condiciones similares. El tornillo tipo A tuvo
una resistencia promedio a la tensión de 86.7 Kg con una
desviación estándar de 6,28 kg, mientras para el tornillo tipo B estos
mismos parámetros fueron 77.8 kg y 5.61 kg, respectivamente.
Compruebe la afirmación del fabricante utilizando un nivel de
significancia de 0.05.
4. Se cree que al menos 60% de los residentes en una cierta área
favorece una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué
conclusión sacaría usted si sólo 110 en una muestra de 200
votantes favorece el acta? Utilice un nivel de significancia de 0.01
5. Una firma de cigarros distribuye dos marcas. Si se encuentra que
56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150
fumadores prefieren la marca B. Puede concluirse en el nivel de
significancia de 0.06 que la marca A aventaja en ventas a la marca
B
6. Un fabricante de Instrumentos de precisión afirma que la
desviación estándar en el uso de sus equipos es de 0.00002 mm
como máximo. Un analista que no conoce esta afirmación, utiliza el
instrumento ocho veces y obtiene una desviación estándar muestral
de 0.00005 mm.
a. Si se utiliza α = 0.01, ¿la afirmación del fabricante está
justificada?
7.
Un fabricante de tabletas para el dolor desea demostrar que
su producto surte efecto dos veces
más rápido que el de los
competidores. De manera específica, al fabricante le gustaría
probar
Ho: μ1 = 2μ2
H1: μ1 > 2μ2
Donde μ1 es el tiempo de absorción promedio del producto de la
competencia μ2 es el tiempo de absorción promedio del nuevo
producto. Suponga que las varianzas poblacionales son conocidas.
Desarrolle un procedimiento de prueba para esta hipótesis
Pruebas para la igualdad de dos varianzas
1) Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir materia
prima. La concentración de un elemento particular es la misma,
pero se sospecha que la variabilidad en la concentración puede
diferir entre las dos compañías. La desviación estándar en la
concentración de una muestra aleatoria de n1
=
15
lotes
producidos por la compañía 1 es s1 = 4,7 g/l, mientras que la
compañía 2, en una muestra aleatoria de n2=20 lotes proporciona
una s2= 5.8 g/l. Existe evidencia suficiente para concluir que la
varianza de las dos poblaciones son diferentes
2) Se
dice que un generador de números seudoaleatotorios de
modo que los enteros 0 a 9 tengan la misma probabilidad de
ocurrencia. Los primeros 10000 números son:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
967
1008 975
1022 1003 989
1001 981
1043 1011
a. ¿El generador trabaja de manera apropiada? Utilice α = 0.01