guia11 - Eduardo Valenzuela Domínguez

GUIA Nº 11
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA – MAT-041-01-02
Profesores: Sr. Eduardo Valenzuela Domínguez.
Sr. Patricio Videla Jiménez.
GUIA Nº11: Intervalos de Confianza y Dócimas de Hipótesis.
1. Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura
media de una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las
tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados
aleatoriamente. Las tensiones son 20.8, 20.6, 21.0, 20.9, 19.9, 20.2, 19.8,
19.6, 20.9, 21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3 y 20.7. Supóngase que la
tensión a la ruptura de una fibra se encuentra modelada por una
distribución normal con desviación estándar de 0.45 libras. Construir un
intervalo de confianza estimado del 98% para el valor real de la tensión de
ruptura promedio de la fibra.
2. La resistencia a la tracción de cierta fibra natural es aproximadamente
normal de varianza 0.0025 pulgadas. Determine el tamaño mínimo de una
muestra de fibras para establecer un intervalo de confianza del 97% para
la media, cuya longitud no supere las 0.001 pulgadas.
3. Un artículo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las
siguientes 20 mediciones del tiempo de combustión residual (en
segundos) de especimenes tratados de ropa de dormir para niños:
9.85
8.87
8.83
9.95
9.93
9.67
9.92
9.95
9.75
9.94
9.74
9.93
9.77
9.85
9.99
9.92
9.67
9.75
9.88
9.89
Encontrar un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de
combustión residual promedio. Suponga que el tiempo de combustión
residual sigue una distribución normal.
4. Al estimar  desde una distribución Normal mediante un Intervalo
basado en una muestra aleatoria, X1,...,Xn. ¿De qué tamaño debe tomarse
la muestra para que la longitud de dicho intervalo, de coeficiente
confidencial 0.95, sea menor que  0 10 ? (considere  2   02 ).
Probabilidad y Estadística
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5. La resistencia a la ruptura, expresada en libras, de 5 ejemplares de
cuerdas cuyos diámetros sean 3/16 pulgadas es de 660, 460, 540, 580,
550. Estímese la resistencia media a la ruptura mediante un intervalo
confidencial del 95% (suponga que la resistencia a la ruptura es normal).
6. El capataz de una flota de camiones que transporta troncos de pino tiene
la responsabilidad de controlar que el diámetro medio de los troncos
transportados no sea inferior a 30 CMS., ya que en caso contrario se
devolverá toda la carga.
Si suponemos que el diámetro de los troncos cortados tiene una
distribución Normal cuya desviación estándar es de 2 CMS,
a) ¿De qué tamaño debería tomarse la muestra si se desea tener una
precisión de un cm. con un 95% de confianza?.
b) ¿A partir de esta muestra sería devuelta la carga?. Considere para
responder esta pregunta los “n” primeros datos desde la siguiente tabla
que representa a la población.
Tronco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Diámetro 29 30 27 31 32 33 31 28 30 27 30 33 31 28 31 27 32 31 29 32
Indicación: Use para responder esta pregunta un intervalo de confianza
adecuado.
7. En base a una muestra aleatoria de tamaño 25 de una variable aleatoria
N ,100 , se ha encontrado el siguiente intervalo de confianza para  :
2,13 : 9,97
a) ¿Cuál es el nivel de confianza de este intervalo?
b) ¿Cuál es el valor de la media de la muestra?
c) ¿Por qué factor habría que multiplicar los datos muestrales, para que
la longitud del intervalo se reduzca a la mitad?
Probabilidad y Estadística
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8. Se calcula que la media de los tiempos observados en una muestra
aleatoria de 36 mediciones, del tiempo que tarda en desarrollarse cierto
proceso, es de 2.6 minutos. La variable en estudio se supone distribuida
normal con varianza 0.09 minutos.
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de la
población del tiempo que tarda en ejecutarse el proceso bajo estudio.
b) ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se desea una
confianza del 95% de que la estimación de  difiera de esta por menos
de 0.05?
9. Un fabricante de cintas para videograbadoras vende cintas de cromo. Se
seleccionaron 64 de estas cintas y se determinó el tiempo de
reproducción. Si la media y la desviación estándar de los 64 tiempos
observados son de 352 min. y 8 min. respectivamente.
a) Estime el tiempo promedio de reproducción de estas videograbadoras,
con un intervalo de confianza del 99%. (5 ptos.)
b) Si el fabricante afirma que el tiempo promedio real de las
reproducciones es de 360 min. Construya una dócima de hipótesis
para verificar esta afirmación. Use =0.10. (5 ptos.)
c) Si la amplitud del intervalo de confianza para la media es de 6
unidades con una confianza del 99%. ¿Cuál debe ser el nuevo tamaño
de muestra?. (5 ptos.)
10. El consumo diario de merluza de una población tiene una distribución
N 1,4 . Se postula que a consecuencia de una campaña publicitaria el
consumo medio aumentó. Se hizo una encuesta y los consumos fueron:
x 1  1.1 , x 2  0.9 , x 3  1.3 , x 4 : 1.4 y x 5  1.8 . Determine, con un nivel del
95%, si es efectivo el aumento.
11. Un fabricante de baterías para auto afirma que la duración de sus
baterías se distribuye de forma aproximadamente normal con una
desviación estándar igual a 0.9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de
tales baterías tiene una desviación estándar de 1.2 años, ¿considera real
dicha afirmación? Utilice un nivel de significación de 5%.
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12. Un productor de artículos eléctricos, ha inventado un nuevo tipo de
parlante, del cual asegura, tiene una resistencia media a la ruptura de
7.5. Se ha puesto en duda la veracidad de su afirmación. Para ello se toma
una muestra aleatoria de 50 parlantes, del mismo tamaño, cuya
información resumida en una tabla de frecuencia es la siguiente:
Marca de Clase Nº de Observaciones
6.6
1
6.8
1
7.0
3
7.2
4
7.4
6
7.6
7
7.8
6
8.0
6
8.2
8
8.4
5
8.6
1
8.8
2
a) Es cierta la afirmación del productor. (use =0.05)
b) Determine el error tipo II que estaría cometiendo el fabricante si la
resistencia media a la ruptura fuera de 7.0.
c) Calcule la probabilidad de rechazar la aseveración del fabricante dado
que la resistencia media a la ruptura es de 7.8.
13. El director de una compañía aseguradora afirma que el importe medio
de las reparaciones de automóviles pagadas por la compañía a talleres
colaboradores es superior a $400000. Seleccionadas al azar 20 facturas
de diferentes reparaciones, se observa que la suma de importes es
$8450000 y su varianza muestral de $15025625. Por otra parte afirma el
director que los importes de las facturas son muy similares y que su
desviación estándar es inferior a $10000, por lo que se sospecha que los
talleres no facturan adecuadamente en cada reparación, guiándose por un
importe medio “orientador” sujeto a pocos cambios. Suponiendo que los
importes de las facturas siguen una distribución normal, compruebe la
veracidad, estadística, de cada una de las afirmaciones. Considere un
nivel de significación de 1%.
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Un proceso para fabricar tubos de acero está bajo control si el diámetro de
cada tubo tiene una media de 3.0000 pulgadas con una desviación estándar
de 0.0250 pulgadas. Para verificar si el proceso esta bajo control, se toma
una muestra aleatoria de tamaño 30 todos los días. Si la hipótesis nula es
considerar que el diámetro medio de los tubos es igual a 3.0000 pulgadas, la
cual se rechaza si dicha media es inferior a 2.9960 pulgadas o superior a
3.0040 pulgadas. Encuentre
La probabilidad de error tipo I.
a) La probabilidad de cometer un error tipo II, cuando el diámetro medio
de los tubos es igual a 3.0050 pulgadas.
Una empresa de camiones de carga sospecha que la duración en promedio de
25000 millas que se adjudica a ciertos neumáticos es demasiado larga. Para
demostrar la afirmación, la empresa coloca una muestra tomada al azar de
40 neumáticos en sus camiones y descubre que su duración media es de
24421 millas. Si se presume que la desviación estándar de la muestra que
asciende a 1349 millas es realmente la verdadera. ¿Qué puede concluir con
un nivel de significación del 1%, con respecto a su sospecha?.
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está
distribuida aproximadamente por una distribución Normal con una media de
800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Se desea probar con un
4% de significación que la hipótesis nula de que la duración media es igual a
800 horas contra la alternativa que la duración media es distinta a 800
horas, sobre la base de una muestra aleatoria de 30 focos donde se obtuvo
una duración promedio de 788 hora.
14. Las resistencias extremas (esfuerzo) de cables fabricados por cierta
compañía tiene una media de 2000 N y una desviación estándar de 100 N.
Mediante el empleo de una nueva técnica de fabricación, la compañía
asegura que la resistencia aumentará. Para comprobar esta afirmación se
pone a prueba una muestra de 49 cables producidos con el nuevo
proceso, donde se obtiene una promedio muestras de 2045 N.
¿Los datos apoyan la afirmación del fabricante?. Use a = 0.01.
a) ¿Qué probabilidad hay que no se rechace el proceso actual de
fabricación, cuando el nuevo proceso ha incrementado la resistencia
media a 2050 N?.
b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para una probabilidad de error
tipo I de 0.01 y una probabilidad de error tipo II de 0.05 considerando
b?.
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Un industrial afirma que más del 95% del equipo suministrado a una fábrica,
consistente en piezas de herramientas se ajusta a las especificaciones. Una
verificación de una muestra aleatoria de 500 piezas, reveló que 45 eran
defectuosas.
Compruebe sí la afirmación del fabricante es correcta.
Determine el error tipo II. Si la proporción real que se ajusta a las
especificaciones es del 88%.
La Gerencia de ventas de una compañía afirma que al menos el 20% de los
consumidores prefiere sus productos. Para verificar esta afirmación, se ha
decidido tomar una muestra aleatoria de cien consumidores, a los cuales se
les consulta sobre la preferencia respecto de los productos de la compañía en
cuestión. ¿Qué tan grande deberá ser el número de consumidores, en la
muestra, que prefieren los productos de la compañía, si se desea refutar la
afirmación de la gerencia con un 5% de significación?.
PVJ/pvj.
Probabilidad y Estadística