Instituto Profesional y Técnico de Veraguas Nombre del Alumno: Grupo: Sección

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República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno: _________________________________________________ Grupo: 10º ______
Sección:  Bachiller Industrial  Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: ________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 0
Los Números Reales
0.1 OBJETIVOS
 Utilizar el lenguaje algebraico como una herramienta generalizada de la aritmética en la
solución de problemas.
 Repasar la evolución histórica de la expansión de los dominios numéricos.
 Representar elementos de los conjuntos numéricos en la recta numérica real.
0.2 INTRODUCCIÓN
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a.C.; y al
rededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la
necesidad de los números irracionales.
Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del año 600, posiblemente
reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa, sino hasta el siglo XVII, si
bien a finales del XVIII el matemático Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las
ecuaciones porque las consideraba irreales.
En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa,
cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por George Cantor en 1871.
0.3 ¿QUÉ ES ARITMÉTICA?
Es la rama de la Matemática cuyo objeto de estudio son los números y se encarga de estudiar las
estructuras numéricas elementales, así como las propiedades de las operaciones y los números en
sí mismos en su concepto más profundo, construyendo lo que se conoce como teoría de números.
Las operaciones aritméticas son siete: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación, división,
potenciación, radicación y logaritmación.
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
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0.4 EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO NÚMERO
Se sabe que los egipcios y babilónicos utilizaban las fracciones (números racionales) en la
resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega
cuando se consideró el aspecto filosófico de número.
Los pitagóricos descubrieron que las
relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo
que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas que lo rodeaban, y lo
expresaron con la frase “todo es número”.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el
desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin
hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver
ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían
raíces e incluso, en ocasiones, “números no reales” (lo que ahora conocemos como números
complejos).
Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando
primacía a la Geometría como fundamento de toda la Matemática. Incluso con el desarrollo de la
Geometría Analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que
la Geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente
una herramienta para resolver problemas geométricos.
Los números son símbolos que se utilizan para representar cantidades o entidades que se
comportan como tal. Su representación se denomina numeral, pero debido a su uso el concepto se
cambió al de número.
0.5 ¿QUE ES UN NÚMERO?
Un número es un ente (algo intangible, por decirlo así) que nos sirve para contar y establecer un
orden de sucesión entre las cosas.
Los números se pueden clasificar en: Naturales, Enteros,
Fraccionarios, Irracionales y Reales. Cada conjunto de números engloba a otros, como se puede
observar en esta imagen:
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El conjunto de los números naturales es la colección de números que nos permiten contar. Y contar
es hacer una relación entre un conjunto de elementos con un conjunto fijo, el de los números
naturales, por ejemplo contemos las letras de la palabra: ALGEBRA
A L G E B R A
     
1 2 3 4 5 6 7
0.6 LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
El primer conjunto numérico creado por el hombre, lo fue el conjunto de los números naturales, y se
le llamó de esta manera, porque fue inspirado por los fenómenos y hechos de la naturaleza. El
conjunto de los números naturales es la colección de números, y se emplea para contar objetos
separados. Se denota por la letra N y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4,…}.
Algunos matemáticos le han agregado a este conjunto el número 0 “cero”, es decir expresan el
conjunto de los números naturales de esta forma: N* = {0, 1, 2, 3, 4,…}. Pero el cero1 fue inventado
posteriormente, cuando se trabajó y desarrolló el Álgebra, por los matemáticos hindúes. De hecho
se considera a Brahmagupta como el primer matemático que lo utilizó por primera vez, ya que en el
año 628 presentó un trabajo en donde hizo mención del concepto del número cero tal y como lo
conocemos hoy en día.
Sin embargo, existen matemáticos que consideran al conjunto de los
números naturales así: N* = {0, 1, 2, 3, 4,…}.
En donde aclaran que el asterisco significa
“agregando el cero como primer elemento del conjunto”, existen matemáticos que consideran al
conjunto de los números naturales definido así: N* = {0, 1, 2, 3, 4,…}. Y otros los definen así: N = {1,
2, 3, 4,…}, pero en lo que sí coinciden todos, es en que no existe un último elemento del conjunto,
por lo que el conjunto de los números naturales es infinito.
La adición y multiplicación de dos números naturales siempre será un número natural. Sin embargo,
al restar dos números naturales no siempre el resultado será un número natural; esto motivó la
necesidad de buscar una extensión de los números naturales. Es así que surgieron los números
enteros.
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene {0} con el conjunto N de los números naturales,
obtenemos el conjunto de los “números enteros positivos” Z+. Al incluir un elemento aditivo inverso
por cada número natural, obtenemos el conjunto de los “números enteros negativos” Z-. El conjunto
de los números enteros comprende los números negativos, el cero, y los números positivos, se
denota con la letra Z y se define así: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}.
1
El invento del cero, además de permitir, a través del uso de las Matemáticas, el desarrollo de la física y otras ciencias
exactas, ha sido fundamental para el funcionamiento interno lógico de los computadores. Se dice que es la creación
matemática más importante.
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Al realizar las operaciones en Z, hubo una dificultad al tratar de encontrar el cociente no exacto de
dos números enteros, esto provocó la extensión de los números enteros al conjunto de los números
racionales Q. Por ejemplo: al realizar la operación 9  5 , resulta que
9
no es exacto2.
5
Un número racional es un número que puede expresarse en forma de una fracción de dos enteros:
a

Q   x / x   , donde a y b son enteros y b  0 . Es decir, un número racional3 es aquel que
b

puede expresarse como cocientes exactos o bien como decimales periódicos. Por ejemplos:
a)
1
 0,3333
3
y
7
 0 ,6363 63
11
son decimales infinitos
b)
1
 0,5
2
y
379
 7 ,58
50
son decimales finitos
La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el
denominador de su expresión fraccionaria y los números que se obtienen pueden ser:
Un entero, por ejemplo:
6
 2
3
Un decimal finito o un decimal exacto, por ejemplo:
7
 3,5
2
Un decimal infinito periódico, que puede ser:

Un periódico puro, por ejemplo:

Un periódico mixto, por ejemplo:
1
 0,333333   0,3
3
89
 2,9666666   2,96
30
La expresión fraccionaria de un número racional, puede ser:
3
1

Un entero, por ejemplo:  3 

Como cualquier número decimal con finitas cifras decimales (o decimal exacto), puesto que
basta colocar el entero de cifras significativas dividido entre una potencia diez con tantos ceros
como cifras decimales tenga el número y luego se simplifica. Por ejemplo:
2
3
Es por esa razón que surgieron los números racionales.
Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivos (o periódicos).
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.
245 49

a) 2,45 
100 20

16 8

b) 1,6 
10 5
Como un decimal infinito periódico, puesto que existen números decimales que contienen
infinitas cifras decimales, por ejemplo:
a) Si son números periódicos puros: Por ejemplo: a) 4,12 
136
33
b) Si son números periódicos mixtos: Por ejemplo: a) 1,3181818 
b) 135 ,3535 35 
29
22
b) 2,96666 6 
134
99
89
30
Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos,…) conocieron las fracciones desde tiempos
muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios, los egiptólogos encontraron resueltos muchísimos
problemas con fracciones sobre cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto, tales como la
agrimensura o la construcción de pirámides. Esto ha demostrado sin duda, que en el quehacer de la
vida diaria, el hombre ha empleado el conjunto de los números racionales, tal vez porque es un
conjunto numérico muy amplio.
Sin embargo, los números racionales no son lo suficientes a medida que los problemas requieren
soluciones científicamente más sofisticadas, es por eso que se requirió una vez más de otros
números, como lo son los números irracionales, que se denota por la letra I.
Los números irracionales4 son números reales que no pueden expresarse usualmente por una
aproximación decimal. Son números que tienen decimales infinitos, cuyas cifras decimales no tienen
periodo de repetición. Por ejemplo:
2,
3,
5,
7 , 11 , 13 y otros.
A las raíces que no pueden expresarse exactamente como números enteros o fraccionarios
representan números irracionales y se les denominan radicales. A números como estos se les
conoce como números inconmensurables, es decir, números que no se pueden medir.
La necesidad de los números irracionales surgió de medir longitudes sobre algunas figuras
geométricas5, como por ejemplo:

La longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es

La longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado, el cual es el número
2;
irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818);
4
Son números no racionales. Números que no pueden expresarse como cociente de dos números enteros, aunque
pueden ser positivos o negativos, además tienen representaciones no repetitivas infinitas.
5 Al filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (540 A.C.) se le atribuye su descubrimiento, cuando encontró
estos números al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.
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5
.

La longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro, el cual es el número
irracional  (pi), áureo ( es aproxim5adamente igual a 3,1416)
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas, es
decir, no repetitivos.
Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los números racionales, forman el
conjunto de los números reales. Es decir, a la unión del conjunto de los números racionales y el
conjunto de los números irracionales, se le denomina conjunto de los números reales, y se denota
por la letra R.
Un número real, es cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse
en forma decimal, mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal
con infinitas cifras no periódicas; esto significa que un número real puede ser un número natural, un
entero, un racional o un irracional.
Los números reales es un conjunto numérico formado por la unión de los números racionales con los
números irracionales, es decir: R = Q  I
0.7 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Como los números reales es la unión de dos conjuntos disjuntos Q y I, las operaciones deben
analizarse desde dos puntos de vista distintos:
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0.7.1 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Lo primero que debemos decir es que las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con
números racionales están bien definidas, esto quiere decir, que toda vez que se opera con cualquier
par de números racionales el resultado es un racional.
Por ejemplo,
 Al sumar los números racionales
2
3
7
y
obtenemos el número racional
5
10
10
2 3 10  52  10  10 3 22  13 4  3 7





5 10
10
10
10
10
 Al restar los números racionales
17
11
7
y
obtenemos el número racional
3
12
4
17 11 12  417   12  311 317   411 51  44 7





4
3
12
12
12
12
 1  5   1 
 Se pueden efectuar operaciones combinadas tales como 8        8   25 y el
 2  2   8 
resultado es racional
 1  5   1 
 1  5 8
4
8        8   25  8  
  25  8     1  25  8  2  1  25   16

2
 2  8
 2  2   8 
0.7.2 OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES
En cuanto a los números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

3  5 Dos irracionales cuya suma resulta un irracional.

2  3  6 Dos irracionales cuyo producto es un irracional.

5   5  0 Dos irracionales cuya suma resulta es un racional.

2  8  16  4 Dos irracionales cuyo producto es un racional.

18  2  18  2  9  3 Dos irracionales cuya división resulta un racional.


Como podemos notar las operaciones de suma, resta multiplicación y división no son operaciones
bien definidas en los números irracionales.
Esta afirmación quiere decir que dados números
irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número
irracional.
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Los ejemplos anteriores nos advierte que los números irracionales no se comportan, con respecto a
las operaciones, de manera similar a los números racionales. Sin embargo, y a pesar de su extraño
comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

2  3 es irracional

2  5 es irracional
0.8 LA RECTA REAL
Para representar los números reales usamos un sistema coordenado llamado recta real, es decir,
una recta horizontal o eje de las abscisas (Eje X). Su dirección positiva, a la derecha, se marca con
una flecha que indica la dirección en que crecen los valores de x .
El número real correspondiente a un punto en particular en la recta se denomina coordenada del
punto.
El punto correspondiente al cero se denomina origen y se denota por la letra “o”. Los números a la
derecha del cero son positivos y ala izquierda son negativos.
La recta real proporciona una visualización perfecta de los números reales, ya que de cada punto de
la recta corresponde a uno y sólo un número real y viceversa 6. Esta correspondencia biunívoca es
la que permite decir que los números reales llenan totalmente la recta, por tal razón a la recta
graduada de tal manera se le denomina recta real.
En la recta real, los números reales que son racionales o los irracionales se sitúan o se ubican sobre
la recta, valiéndose de construcciones geométricas exactas, o mediante aproximaciones decimales.
Por ejemplo: al representar en la recta numérica los números
6
7
y
5
2
Solución:
6
 1,2
5
6
y
7
  3,5
2
A cada punto de la recta le corresponde un número real y cada número real tiene su lugar en la recta.
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8
.
6
7
Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica
y
de la siguiente
5
2
manera:
0.8.1 PROPIEDADES DEL ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES
La correspondencia biunívoca que se establece entre los números reales y los puntos de la recta
real, nos permiten notar una propiedad fundamental del conjunto de los números reales: la existencia
de un ordenamiento que se indica con el símbolo “  ”, que se lee: “es menor que” y el símbolo “  ”,
que se lee: “es mayor que”. Por ejemplo: la expresión: 2  3, que significa: “dos es menor que tres”
y se representa sobre la recta numérica real indicando el punto correspondiente a 2 y luego a 3. Así:
1) Axioma de comparación: Para todo a y b en R, una y sólo una de las siguientes
proposiciones es verdadera: a  b ; a  b ; b  a
2) Propiedad transitiva del orden: Para todo a , b y c en R
Si a  b y b  c , entonces a  c .
3) Propiedad aditiva del orden: Para todo a , b y c en R
Si a  b , entonces a  c  b  c .
4) Propiedad multiplicativa del orden: Para todo a , b y c en R
Si a  b , entonces a c  b c y ca  c b .
0.8.2 ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
La relación “menor que” en el conjunto de los números reales.
Si a , b  R, se tiene que:

a  b si y sólo si b  a es positiva, es decir b  a  0
Por ejemplos:
3 5
 5  3  2 y 2 es positiva, es decir 5  3  0
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 6  0  0   6  6 y 6 es positiva, es decir 0   6  0
La relación “mayor que” en el conjunto de los números reales.
Si a , b  R, se tiene que:

a  b si y sólo si a  b es positiva, es decir a  b  0
Por ejemplos:
5 2
 5  2  3 y 3 es positiva, es decir 5  2  0
7  3  7  3  4 y 4 es positiva, es decir 7  3  0
0.8.3 ORDENACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica. Podemos hacerlo
de la siguiente manera, debemos trazar una recta y señalar el cero en el centro, dividir la recta en
segmentos iguales.
Colocar los números positivos a partir del cero a la derecha y los números negativos a partir del cero
a la izquierda.
0.8.4 ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS ENTEROS
Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica mayor es. Cuanto más a la
izquierda esté situado menor es.
0.8.5 EL VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número entero es la distancia que le separa del cero.
El símbolo de valor absoluto son dos barras, y el resultado no tiene signo, así:
a a
a a
El valor absoluto es una distancia, por lo que no puede ser negativo.
Por ejemplo: ¿A qué distancia se encuentra  3 de cero?, y ¿A qué distancia se encuentra  7 de
cero? Solución:  3  3 y
7 7
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0.8.6 OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Así: Op  a   a y
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero.
Op  a   a .
Ejemplo: Los números  4
y
 4 son opuestos, ya que Op  4   4
y
Op  4   4 s de
opuestos o contrarios:
Ejemplos de opuestos o contrarios:
 Lo contrario de deber (Miguel debe B/100, o sea -100) es tener (Miguel tiene B/100).
 Lo contrario de 4° C es 4° bajo cero.
 Lo contrario de 5 metros de altura es 5 metros bajo el nivel del mar.
0.8.7 PRÁCTICA RESUELTA
I. Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea, a continuación:
a) En un ascensor, bajamos al sótano 3. Solución: - 3
b) El emperador romano Augusto nació el año 63 antes de Cristo. Solución: - 63
c) La avioneta vuela a 2500 metros de altura. Solución: + 2500
d) El termómetro marcaba 5° C bajo cero. Solución: - 5
e) El submarino navega a 50 Km bajo el nivel del mar. Solución: - 50
f) El banco tiene un fondo de 10000 Balboas para el proyecto. Solución: + 10000
g) La ciudad de Roma fue destruida en el año 70 después de Cristo. Solución: + 70
II. ¿Cuál es el valor de A y B, en cada situación representa?
Solución: A = + 1 y B = - 2
Solución: A = - 4 y B = + 5
III. Completa adecuadamente, lo que se le pide en cada situación:
a)  5  5
c) Op 3  - 3
b)  9  9
d) Op 4  + 4
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