1

PÁG.
SISTEMA DE LOS NUMEROS
RACIONALES.
Se llama sistema de los números racionales al
conjunto:
Q={
a
tal que, a, b  Z ; b  0 }
b
Provisto de dos operaciones totalmente
definidas, llamadas adición (+) y
multiplicación (x), con sus propiedades,
dos relaciones, una de igualdad y otra de
orden menor que ( < ) con sus
propiedades.
ADICION DE NUMEROS RACIONALES.
*: Q x Q
(

a c
, )
b d
Q
a c
+
;
b d
b, d ≠ 0
PROPIEDADES.
1.- CLAUSURA
2.- CONMUTATIVA
3.- ASOCIATIVA
4.- ELEMENTO NEUTRO
5.- EXISTENCIA DEL ELEMENTO
INVERSO ADITIVO.
MULTIPLICACION CON
RACIONALES.
Es una operación interna en Q.
(
a c
, )
b d
PROPIEDADES.
Cumple con:
1.- Clausura
2.- Conmutativa
3.- Asociativa
NUMEROS
a c
.
; b, d ≠ 0
b d
1
4.- Elemento identidad (1)
5.- Inverso multiplicativo.
IGUALDAD
DE
NUMEROS
RACIONALES.
1. DICOTOMIA.
Dados dos números racionales cualesquiera,
resulta que: estos son iguales o diferentes.
2.- REFLEXIVA
Todo numero racional es igual a sí mismo.
3.- SIMETRICA.
Si un primer número racional es igual a un
segundo numero racional, entonces el
segundo es igual al primero.
4.- TRANSITIVA.
Si un primer número racional es igual a un
segundo número racional, y este es igual a un
tercero, entonces el primero será igual
siempre al tercero.
5.- ADICION
Si
a c
a e c e
= , entonces +
= +
b d
b f d f
6.- MULTIPLICACION.
En forma similar al anterior.
RELACION DE ORDEN EN Q.
Sean b > 0, d > 0
a
c
<
si y solo si
b d
ad < bc
PROPIEDADES.
1.- TRICOTOMIA
Dados
dos
números
racionales
cualesquiera, resulta que: estos son
iguales o el primero es menor que el
segundo o el segundo es menor que el
primero.
2.- TRANSITIVA
Si un primer número racional es menor que
un segundo numero racional, y este es menor
que un tercero, entonces, el segundo será
menor que el tercero.
3.- ORDEN ADICION.
Si
a c
a e c e
< , entonces +
<
+
b d
b f d f
4.- ORDEN MULTIPLICACION.
En forma similar al anterior
5.- ARQUIMEDES.
DENSIDAD
EN
LOS
NUMEROS
RACIONALES.
Dados dos números racionales diferentes,
siempre existe otro número racional que se
encuentra entre los dos números racionales
dados.
Nota: esta propiedad no se cumple en los
Naturales, ni Enteros.
expresión
a
, donde “a” y “b”
b
son números enteros , b  0, además “a” no
es múltiplo de “b”
3 7
5
27 1000 1425
;
;  ;
;
;
5 11
12
7
17
11
son
fracciones:
6.- BUENA ORDENACION
Todo conjunto de dos o más números
racionales, contiene un elemento mínimo.
f=
Son fracciones:
No
a c
e
Si < , existe
tal que:
b d
f
a e
c e
.
<
.
b f
d f
FRACCIONES
Una fracción es aquella
numérica:
PÁG. 2
- Toda fracción es diferente de un valor
entero.
a: indica el número de partes que se ha
tomado de esa unidad de referencia.
b: indica el número de partes en que se ha
dividido una unidad o un todo.
5
;
3
9

e
21
;
;
;
5 12
0
3
REPRESENTACION GRAFICA Y
FRACCIONES EQUIVALENTES.
Dos o más fracciones son equivalentes si
expresan la misma parte de un todo , aun
cuando sus términos sean diferentes.
1
2
2
4
Al conjunto de todas las fracciones
equivalentes a una fracción dada se
denomina clase de equivalencia.
Ejemplos.
Clase
1  1 2 3 4

,
, ... 
 , ,
 2   
2 4 6 8

El conjunto numérico que toma todas las
clases de equivalencia (incluyendo enteros)
es el conjunto de los números racionales
por
, donde.
PÁG.


1   2  3  4 
 1 ,   ,   ,   ,   , ... 
 2  3 5  5 


CLASIFICACION DE FRACCIONES
1) POR LA COMPARACION DE SUS
TÉRMINOS
a) PROPIAS.-
2
,
3
5 12
,
,
7 17
7
15
98
12
,
,
,
12 41 121
7
4) POR SUS DIVISORES COMUNES
ENTRE SUS TERMINOS
a)
REDUCTIBLES
1)
24
;<1
35
b) IMPROPIAS.- Donde el numerador es
mayor al denominador.
Ejemplos
2)
b)
IRREDUCTIBLES.-
37
2
5
7
37 ; Fracción mixta
FRACCION DE FRACCION
Se llama así a las partes que se
considera de una fracción que se ha
dividido en partes iguales.
1
13
345
,
,
,
10 100 1000
n
denominador  10 , n 
DECIMAL.-
POR
EL
GRUPO
DE
FRACCIONES
a) HOMOGENEAS.- Dos o más
fracciones
son
homogéneas
cuando poseen igual denominador.
5
,
8
c)
38 2  19 19


140 2  70 70
5
27
105
,
,
12 113 991
3
13 17
,
,
11 15 12
2)
12 3  4 3 1

 
24 4  6 6 2
20 18 1700 125
,
,
,
>1
11 13
57
11
2) POR SU DENOMINADOR.
a) ORDINARIA O COMUN.-
b)
3
6 15
,
8
8
HETEROGÉNEAS.-
Así
3
1
de
indica que la fracción
5
2
1
se ha dividido en 5 partes iguales de
2
los que se consideran 3.
NUMEROS DECIMALES
0.625
1) NUMERO DECIMAL EXACTO
7
7
 2  0.28
25 5
27
27
2)
 3
 0.675
40 2  5
1)
REGLA 1.- El número de cifras decimales
de un decimal exacta estará dada por el
mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el
denominador de la fracción irreductible.
2)
NUMERO
DECIMAL
INEXACTO O ILIMITADO
a) NUMERO
DECIMAL
PERIÓDICA PURA.-
10
 0.909090...  0.90
11
6
2)  0.857185718571...  0.8571
7
1)
REGLA 2.- El número de cifras del
periodo está dado por el menor número de
nueves que contiene al denominador como
factor.
Si el denominador es el producto de varios
factores primos, el número de cifras del
periodo está dado por el M.C.M. de los
menores de nueves que contienen a dichos
factores primos.
c) NUMERO DECIMAL INEXACTO
PERIODICO MIXTO.- Una fracción
irreductible dará origen a un decimal
inexacto periódico mixto cuando se
descompone el denominador en sus
factores primos, se encuentran potencias
de 2 y/o 5 y además otro factor
necesariamente diferente.
7
7
1)
 2
 0.15909090 ...
44 2 11
= 0.1590
95
95
2)
 2
 0.64189189189 ...
148 2  37
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FRACCION GENERATRIZ.- Convertir
una expresión decimal en una fracción, es
encontrar su fracción generatriz que dio
origen a la expresión decimal mencionada.
Dicha fracción generatriz debe ser
irreductible.
1.- FRACCION GENERATRIZ DE UN
NUMERO DECIMAL EXACTO.
Ejemplo.- Hallar la fracción generatriz de
0.175
SOLUCION
0.175 =
175
7
=
1000 40
En general:
E.abc...l 
Eabc...l
; k decimales.
10k
2.- FRACCION GENERATRIZ DE UN
NUMERO DECIMAL PERIODICA
MIXTA.
Ejemplo.-
0.151515... 
15 5

99 33
3.- FRACCION GENERATRIZ DE UN
NUMERO
DECIMAL
PERIODICA
MIXTA.
Ejemplo.:
0.21689689689 ... 
= 0.64189
21689  21 21668

99900
99900
5417

24975
PROPIEDAD
REGLA 3: La cantidad de cifras no
periódicas de la parte no decimal está dado
por la REGLA 1 y el número de cifras
decimales de la parte periódica está dado
por la REGLA 2.
a c
  k; k  Z , b = d
b d
a/b y c/d son fracciones propias e
irreducibles.