MATEMATICA_A.URREA_GUIA_1-1_MEDIO

Colegio Alberto Blest Gana
“Jóvenes emprendedores para el siglo XXI”
Coordinación Académica
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SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemática
NOMBRE GUIA N°1: Conjunto de Números Racionales y Ecuaciones
NIVEL: 1º medio
PROFESOR(A): Alejandra Urrea Manns
OBJETIVOS GUIA DE APRENDIZAJE:








Identificar los números enteros y racionales y sus características.
Representar racionales en la recta numérica.
Resolver adiciones, sustracciones y multiplicaciones, divisiones en los racionales.
Verificar las propiedades de los racionales.
Transformar decimales periódicos y semiperiódicos a fracción.
Aproximar racionales a través del redondeo.
Aplicar las propiedades de las potencias de base racional y exponente entero en diferentes contextos.
Resolver problemas que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero.
NÚMEROS RACIONALES
Definición: Número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción. Todas las fracciones equivalentes
entre sí expresan el mismo número racional. Es decir, todo número que se pueda poner en forma de fracción se dice que es un
número racional.
Ejemplos:
-3 es un número entero y racional porque se puede poner en forma de fracción, así:
3
1
Es un número racional puesto que está expresado en forma de Fracción, y además como la división es exacta y da 3, también es
un número natural o entero positivo.
Podemos clasificar los números racionales de la siguiente forma:
Suma y resta de fracciones
Al sumar y restar fracciones podemos encontrarnos con dos situaciones diferentes. Que las fracciones posean igual denominador
o que tengan denominadores diferentes.
Denominador común
Para sumar fracciones con el mismo denominador mantenemos el denominador común y sumamos o restamos los numeradores.
Ejemplos
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Denominadores distintos
En este caso primero tenemos que buscar fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador, para ello calculamos el
mínimo común múltiplo (m.c.m). de los denominadores y una vez obtenidas las fracciones equivalentes operamos como en el
caso anterior.
Ejemplos
Multiplicación y división de fracciones
Dos de las operaciones más comunes con fracciones son la multiplicación y la división. A continuación te mostramos cómo
realizarlas.
Multiplicación de fracciones
Seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1: Se multiplican todos los numeradores y el resultado se pone como numerador.
Paso 2: Posteriormente multiplicamos todos los denominadores y el resultado se pone como denominador.
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División de fracciones
Para dividir dos fracciones, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1: Se multiplican el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se pone como
numerador.
Paso 2: A continuación se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado se pone como
denominador.
3 7 3 8 24 6
   

4 8 4 7 28 7
5 9 5 8 40
   
9 8 9 9 81
Potencias
Para elevar una fracción a una potencia de exponente natural elevamos el numerador y denominador a dicho exponente:
Ejemplo:
En el caso de un exponente entero negativo, veremos que:
Esta expresión se deduce de las siguientes propiedades:
Por un lado sabemos que:
Recordamos las propiedades de las potencias:
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Ejemplos
Operaciones combinadas
Para realizar operaciones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, debemos realizarlas en el siguiente orden:
Efectuar las operaciones
1° que hay en el interior de los paréntesis.
2. Realizar las multiplicaciones, las divisiones y simplificar si es posible los resultados intermedios.
3. Realizar las sumas, restas y simplificar el resultado obtenido, si es posible
Ejemplos:
Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos y las
zanahorias en resto. ¿Cuánto ocupan las zanahorias?
1
del huerto
4
2
Parte sembrada de puerros: el huerto
5
Parte sembrada de patatas:
1 2 13
 
4 5 20
13
7

Lo que queda por sembrar es: 1 
, que se siembran de zanahorias.
20 20
Total sembrado por patatas y puerros:
Expresión decimal de una fracción
Para pasar de fracción a decimal sólo hay que efectuar la división del numerador entre el denominador. La puedes hacer con una
calculadora pero, ¡ten cuidado!, pues las calculadoras aproximan los datos al no dar más de 10 cifras.
Nos podremos encontrar
Número entero
27
3
9
Decimal exacto
197
 4,925
40
Decimal periódico puro
4
 0,36363636 ...
11
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Las cifras decimales forman un grupo llamado periodo que se repite indefinidamente. Se escribe
0, 36
Decimal periódico mixto
87
 1,318181818 ...
66
Existe un primer grupo de cifras decimales que no se repiten de forma periódica, pero a partir de una de ellas se forma un periodo
como en el caso anterior que se repite indefinidamente. Se escribe
1,318
EJERCICIOS
I.- Ordena de mayor a menor los siguientes números y haz la suma de ellos:
1) 4,75 + 1,84 +
3
+ 2,25 + 6, 6 + 0,186 =
4
2) -2,8 + -2,56 + 0,3 +
4,67 + 0,27 + 0,185 =
II.- Transforma las siguientes fracciones a número decimal y reconócelos:
1
5
3
8
7
9
3
7
22
7
3
1
9
III.- Calcula:
1)
2 1
 
3 2
5) 2
1
1
3
 3 1 
4
2
5
2)
5 9
 
7 14
3)
5 7
3
 1 
9 12 4
6)
2 1
 
3 2
7) 
2 7
 
5 10
4)
9 1
1 
8
4
8) 
9 11


24 12
IV.- Transforma a decimal o fracción y calcula:
 1 1   1

4
  3

1)  0,4  0,7        0,5  2)  0,8    0,8    0,75 
 5 4  2

5
  4

V.- Problemas:
1) La suma entre tres números es 4
1
1
7
. El primer sumando es 1 , el tercer sumando es 2 . ¿Cuál el segundo sumando?
2
5
10
3
litros de agua mineral se ha ocupado la mitad ¿Cuánta agua queda en la botella?
4
2
3
3) Un terreno de 400 m2; están construidos,
del resto están plantadas de pasto y los m2 que quedan están pavimentados.
5
8
¿Cuántos m2 están pavimentados?
2) De una botella de
Creo que me he ganado un descanso... y
¿cuándo la otra guía? ... ¡¡Nos Vemos!!
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ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple
para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas
a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el
miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y
se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso
multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la
igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad
dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
EJERCICIOS DE ECUACIONES ENTERAS Y FRACCIONARIAS. Resuelve las siguientes ecuaciones:
1)
x 1  3
2)
2x  3  7
3)
2 x  3x  5
4)
7 x  11x  20
5)
3x  4 x  5  6  8 x
6)
2 x  7  4 x  5  5 x  2  3x
7)
2( x  1)  10
8)
5( x  2)  15
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9)
5  ( x  1)  2
10) 11x  2(2 x  3)  7
11)
x2
4
3
12)
x 1 x

3
2
13)
x3 x 4

1
2
3
14)
2x  3 x 1 x  3


5
2
4
15)
x  (2 x  1) x  3( x  2) x  2(3  x) 1



3
5
5
3
Respuestas
1. x  2
2.
x 5
3.
x 1
x2
10.
x
8.
x  1
9.
14.
x 1
15.
x 0
4.
13
7
x 5
11.
5.
x  10
x
1
7
6.
12.
x  2
x 1
7.
13.
x
x4
7
5
APLICACIONES DE Nº ENTEROS Y POTENCIAS
1.- Hoy a las diez de la mañana el termómetro marcaba 10º C. Dos horas después la temperatura subió 5º C y 7 horas después la
temperatura bajó 9º C. ¿Qué temperatura marcó el termómetro a las 7 de la tarde.
2.- El resultado de 49 ‫׃‬
4  6  3.15  6 es:
3.- Los números ordenados de mayor a menor
25 , - 16 , - 9 , - 3 , 3 0 , 15,-1000
4.- Al resolver 16
‫ ׃‬-2 - -4 + 2 + 5 • -1 resulta:
5.- El diámetro del Sol es de 1.392.000 km., al expresarlo en notación científica resulta:
6.- El peso promedio de una mosca es de 0,000073 kg., escrito en notación científica seria:
3
2
7.-   =
3
8.-
4
9.-
602  102 + 4 3 =
50

 4 48  4 3
10.- El resultado de 0,0000000000036: 12.000.000.000 en notación científica es:
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5
11.-
7
 3  3
    
5 5
12.- ¿Cuál es el valor de: 14 + ̄5 – 7 =
13.- ¿Cuál es el valor de
-7 + 3 · ( - 2 - 7 ) = ?
14.- El decimal correspondiente a
16
es:
5
15.- En un juego, Pamela tiene 180puntos a favor ( + 180 ) y 130 en contra ( - 130). ¿Qué puntaje tiene Pamela en el juego?
16.- El ejercicio
8
 10 9   7
       , tiene como resultado:
 12 12   12 12 
17.- La masa de una semilla de orquídea es de aproximadamente 0,0000000085 gramos. Escrito en notación científica, 8,5 · 10
¿Cuál es el valor de n?
18.- Si ( x – 1 ) + ( x – 2 ) = 1, entonces el valor de x es :
19.- ¿A qué fracción es igual el decimal 0,05?
20)
5 15

=
3 6
n