Actividades para estudiar el conjunto de los Números Racionales.

Departamento de Matemáticas del I.E.S. ASalvador Serrano@.
Curso 2.009 - 2.010 - Tercero de ESO
Actividades para estudiar el conjunto de los Números Racionales.
Nos planteamos como objetivo estudiar el conjunto de los números racionales para conseguir:
o Entender el proceso de construcción de los conjuntos numéricos.
o Manejar con destreza las operaciones con números fraccionarios y potencias de exponente
entero. Es importante que utilices la descomposición factorial como “calculadora mental” para
facilitar los cálculos y las simplificaciones.
o Entender la propiedad de densidad de Q -entre 2 racionales cualesquiera siempre existe otro
racional-, a partir de las representaciones con el Teorema de Thales y el cálculo del valor
medio con la semisuma.
o También tiene interés que practiques con la calculadora la introducción de expresiones
fraccionarias con operadores combinadas, así como con potencias de exponente entero.
Antes de empezar algunos chistes matemáticos:
 TEOREMA : Todos los números enteros son interesantes.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que no; por tanto, existe un mínimo número entero no interesante.
Este número es, obviamente interesante, lo cual contradice el hecho de que no es interesante. Por
reducción al absurdo, la suposición de que existen números no interesantes es falsa.
 Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas?
-No hijo, no estaría bien.
-Bueno, inténtalo de todas formas.
 Los agujeros negros son esos puntos donde Dios se ha equivocado y ha dividido por cero.
Actividades
I.- Ilustra con un cuadro la relación que hay entre los conjuntos numéricos estudiados, después contesta
si son verdaderas o falsas las afirmaciones que encontrarás a continuación.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10 )
11 )
12 )
13 )
14 )
15 )
16 )
17 )
18 )
19 )
20 )
Todos los números enteros son naturales.
Todos los números naturales son enteros.
Hay algunos números racionales que son naturales.
Q
QZ
Los enteros están incluidos en los naturales.
3  Q
Los naturales son una parte de los racionales.
21


3
Todo número racional se puede escribir en forma de fracción.
Los decimales exactos están incluidos en los enteros.
Todos los números periódicos se pueden expresar en forma fraccionaria.
Hay periódicos mixtos que no son racionales.
Todos los números racionales se pueden representar en la recta real de forma exacta.

2,3  Q
El 0 es un número entero.
Hay números racionales que no son ni decimales exactos ni periódicos.
2  
Los números enteros amplían a los naturales.
Los números naturales se definen como cardinales de conjuntos.
Afirmación
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V/F
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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II.- Marca con una X, cuando el número de arriba, pertenezca al conjunto de la izquierda:

6
4
0
4
1,2 2,12
3
5

Z
Q
III.- Representa en una recta los siguientes números racionales.
1)–3
5
3
2)
3) 
67
7
4)
81
27

6 ) 4,3
7)
42
30
8 ) 7,2
IV.- Efectúa las operaciones necesarias para calcular y simplificar el números racional expresado en cada
apartado: (es aconsejable que las expresiones decimales se expresen de forma fraccionaria)
-Comprueba los resultados5 1 7  1
- +  
4  3 12  3
1
2 1 3
1
· + +
4)
4
3 2
8
3
2 5 1 11
 1 1 4 3
+  
3) · - 
4
8
5
10
3 6 4 36


2 1
1
1
3 11
2
4
3 4
4
- 
- 
5) +
6)
1
1
3
1
1
3
3
6 42
3
51
- +
- +
3 2 4
8 6 4
1

3 - 0,83333...
2,5 - 3,2222...
65
3
7

8 ) 1- 2
9)
0,5
4,19999...
378
2) 
1)
3
6  23
2
24
3
4
5
1
71
7)
-3 6 
2
30
3  1 2 3
1 + 5
4 6 3 8

- 3,25 + 2 · 0,3
31
10 )


16
1 + 0,3



11 ) 2,12 + 3,5 - 1,3  1,7
12 ) 3 
2
1 355
 
1 5 4 124
3 
3 2
V.- Diseña un formulario que contenga todas las propiedades de las potencias de exponente entero que
hemos estudiado. Calcula y simplifica las siguientes expresiones racionales utilizando el formulario de
la forma más adecuada. (Comprueba los resultados)
-5
1)
-8
-4 -5
2 ) 3- 1 3- 12  81
3 3
2 2 8
-9 -7
2 2
1
2
4
3
2
8
2 3 2
4 )   ·  ·  
125
3 5 5
27
 1  2
5 )   ·  ·2 4 
2
2 3
4 16
·
7 ) 8 8 2  2 38
45 · 64
8)
 1

   3
2

10 ) 2  2 
4
 1
 
2
-3 -8
3 ) 5- 1 5- 10  1
5 5
-2
2 ·5
-3
5 5 ·7 2
·7
6 ) 52 - 3 
27
2 ·7
5 · 2- 3
2
4
242 · 36  1024
3
182 · 3 · 542
9)
2  3 1
5 3
 511
 1 
    
52 3
4  10  360
1
139
5 
20
-5· 2· 2
81
11 ) 2 3 4 - 13 
16
2 ·9
2
12 ) 3 -2 
1
2
5
 2·
15
3  0,08  1
2
2
 
3
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1
2
1
2
2 
13 )   ·1   ·3 2 
27
3  3
1
2
14 )
4
1
2 3 2
16 )   ·  ·  ·2 3 
3
5
5
75
     
17 )
45 · 49 · 2 -1
126

5
35 · 5 · 2 -2
242 · 364 ·2 9
2
2
18 · 3 · 54

2
3
2
- 4 1
2 4
6
- 

15 ) 3
1 1 3 3 51
17
- +
8 6 4
18 ) 1 
1
3
2  3 · 
2
2

 0,3

4
3
1
2
 
5
1
19 ) 5 - 3   
2
3  1,3
VI.- Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:
1 ) ¿Cuántos números fraccionarios se pueden escribir entre dos cualesquiera? Por ejemplo, entre
1 1
y .
3 2

2 ) Determina a qué conjunto decimal pertenecen los números decimales 2,89 y 2,7? ¿Calcula sus respectivas
fracciones generatrices? ¿Qué conclusiones sacas de los resultados anteriores? ¿Qué podemos decir de los
números decimales de periodo 9? Calcula las fracciones generatrices de los números “periódicos”



3,9, 2,39, y - 1,9 .
3 ) Calcula la suma de infinitos términos:
7
7
7


 ...... Es aconsejable expresarla en forma decimal.
10 100 1000
4 ) Simplificación milagrosa:
16
, se “simplifica quitando el 6 del numerador y denominador”.
64
16 1
¿Es cierta la igualdad
 ? ¿Te convence este proceso para simplificar las fracciones:
64 4
19 26 36 11 72 13
? Explica el proceso correcto para simplificar fracciones.
,
,
,
,
,
95 65 64 110 27 325
Para simplificar la fracción
5 ) Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones de año: 1 mes, 2 meses, …, 12 meses. Indica cuáles
son exactas y cuáles periódicas.
6 ) Determina qué conjunto numérico se necesita para que tengan solución las siguientes ecuaciones:
1) x3 8
2) x5 1
3 ) 3x  2  1
7 ) Calcula el valor medio entre estos pares de números: 0 y 1,
1
1 3 1 5
y 1,
y ,
y .
2
2 4 2 8
a ) ¿Es racional el valor medio entre dos racionales?
b ) ¿Podrías seguir calculando los valores medios entre los obtenidos? ¿Cuántas veces?
c ) ¿Cuántos números racionales hay entre el 0 el 1?, ¿y entre dos cualesquiera?
Indicación: El valor medio de dos números se puede calcular con la semisuma de los dos (la mitad de la suma de los números).
Alcaudete, 22 de octubre de 2009
3