expresiones racionales de polinomios

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN HUMACAO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
EXPRESIONES RACIONALES DE POLINOMIOS
Introducción
Las expresiones matemáticas son herramientas fundamentales para el modelaje de
eventos físicos. Las expresiones racionales de polinomios son estructuras matemáticas de
particular importancia en la construcción de modelos. Veamos un ejemplo que ilustra lo
que planteado.
Costo promedio – el costo promedio en la producción de un producto es el costo total en
producir n artículos dividido por el número de artículos.
Suponga que el costo del diseño de un artículo es de $70.00 y el precio de manufactura es
de $30.00. El costo promedio en la producción de n artículos está dado por el modelo
30 n  70
n
Vocabulario
Expresión racional
Polinomios
Operaciones
Factor
Factor Común
Denominador
Numerador
Denominado común
Simplificación
Expresiones Equivalentes
Definición
p( x)
donde p( x), q( x)
q( x)
son polinomios y q( x)  0 . El polinomio p(x) es el numerador de la expresión racional
y q(x) es el denominador.
Una expresión racional de polinomios es una que tiene la forma
x
, el numerador es x , el denominador es x 2  1 y los valores de x
x 1
para los que no está definida la expresión racional son 1 y –1.
Ejemplo:
2
Simplificación

Preparado por la Dra. Evelyn Torres Gallardo
Una expresión racional de polinomios está expresada en su forma más simple si no hay
factores en común entre los polinomios del numerador y del denominador.
Ejemplos
x2 1
está en su forma más simple
x 1
x 2  2x
no está en su forma más simple.
x 2  5x  6
Para simplificarla debemos factorizar el numerador y el denominador. Luego cancelamos
los factores comunes. Pasamos a ilustrar el procedimiento indicado.
x 2  2x
x( x  2)
x


2
( x  2)(x  3)
x3
x  5x  6




exp resionsimp lificada
factorizacion del numerador
y denominador
Expresiones racionales equivalentes
Para el manejo efectivo de expresiones racionales, en particular en la suma y la resta,
algunas veces necesitamos que el numerador ó denominador sea de cierta forma
específica. Mediante este procedimiento de expresiones equivalentes obtenemos una
expresión racional equivalente a la dada pero con el denominador ó numerador deseado.
Ejemplos
La expresión racional
x
2x
es equivalente a cada una de las expresiones
,
x 1
2x  2
x 2  2x
.
x2  x  2
La primera se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por 2.
x
2x
2x


x  1 2( x  1) 2 x  2
La segunda expresión racional se obtuvo multiplicando el numerador y el denominador
por ( x  2) .
x
x( x  2)
x 2  2x

 2
x  1 ( x  1)(x  2) x  x  2
Observación: Toda expresión racional tiene infinitas expresiones racionales
equivalentes.
Suma y resta
Al sumar expresiones racionales de polinomios antes que todo debemos verificar que
todas y cada una de las expresiones tengan el mismo denominador. Luego de que esa
condición se satisface procedemos a sumar y/o restar las expresiones en el numerador y
ese resultado es el numerador de la suma. El denominador de la suma es el denominador
común a todas las expresiones racionales. Pasamos a ilustrar ese procedimiento con
varios ejemplos.
Ejemplo 1: Las expresiones racionales tienen el mismo denominador.
sumamos y restamos
los numeradores
x  3 4 x 2 x  3 ( x  3)  4 x  (2 x  3) x  3  4 x  2 x  3
3x





x 1 x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
denominador comun
Nota: Observe la importancia de ser cuidadoso con la operación de resta ya que al restar
el signo de los coeficientes de cada uno de los términos del numerador que prosigue al
signo de resta cambia.
Ejemplo 2: Las expresiones racionales tiene denominadores distintos.
Para efectuar la suma y/o resta en este caso debemos buscar el denominador común
siguiendo el procedimiento:


Halle la factorización de cada uno de los denominadores
Tome el producto de todos los factores distintos que aparezcan considerando la
potencia más alta.
En nuestro ejemplo tenemos
Denominador primera expresión: x  2
Denominador segunda expresión: x 2  4  ( x  2)(x  2)
Denominador tercera expresión:
x 2  x  6  ( x  2)(x  3)
En este caso el denominador común es ( x  2)(x  2)(x  3) . Luego tenemos
3
3( x  2)(x  3)  2 x( x  3)  x( x  2)
2x
x
 2
 2

x2 x 4 x  x6
( x  2)(x  2)(x  3)
( x  2 )( x  2 )

( x  2 )( x  3)
3x 2  15x  18  2 x 2  6 x  x 2  2 x
2 x 2  19x  18

( x  2)(x  2)(x  3)
( x  2)(x  2)(x  3)
Multiplicación
La multiplicación de expresiones racionales es un procedimiento más sencillo que las
operaciones de suma y de resta. Para multiplicar expresiones racionales multiplicamos
sus respectivos numeradores y sus respectivos denominadores. Veamos un ejemplo.
Ejemplo:
2
 x  2  5x  1  5x  11x  2


 2
x  2x  1
 x  1  x  1 
En los casos en que las expresiones racionales que vamos a multiplicar no esten
simplificadas, es conveniente simplificar antes de efectuar la operación. Veamos un
ejemplo.
Ejemplo
 x 2  x 2  x  6  
 ( x  3)(x  2) 
x2
x 2 ( x  2)
x3  2x 2
 2

  

 2

x 1
 ( x  3)(x  1) x  4 x  3
 x  9  x  1   ( x  3)(x  3) 
División
El proceso de división de expresiones racionales es similar al proceso de multiplicación.
La variante consiste en que multiplicaremos el dividendo por el recíproco del divisor.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo
x
x5
dividendo

x
x4

x 1 x  5
divisor
x 1
x2  x
 2
x  4 x  x  20