Guia 2 Racionales

Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
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 CONTENIDO 6 : CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES.
NOCIONES : 1) Definir el conjunto de los números racionales.
2) Describir las propiedades de los números racionales.
JUSTIFICACIÓN : En el mundo de los números naturales y enteros nos dimos cuenta del
comportamiento de las operaciones básicas. Además apreciamos las limitaciones pues no todos
los casos permitían obtener resultados enteros. Las mismas leyes y propiedades que se
aplicaron en los conjuntos de en números naturales y enteros preparan la comprensión para
conjuntos numéricos mas amplios.

Escribe una experiencia de vida
en la que hayas utilizado
fracciones
El conjunto de los
números racionales se designa por la letra Q., y
corresponde a la definición de un número entero dividido por otro.
 p

Q= 
/ p, q  Z , q  0 
 q

Las propiedades en el conjunto de los números racionales son las siguientes :
a) es infinito,
b) no tiene primer ni último elemento.
c) entre dos números racionales,
a
b
+
2
c
d
.
a
c
y
siempre existe otro número racional, por ejemplo
b
c
Es decir , el conjunto es DENSO.
d) está ordenado por la relación “menor o igual”
e) se cumple la propiedad de tricotomía. (Entre dos números , se puede comparar con una
sola de las siguientes relaciones : “mayor” , “menor” o “igual”.)
FORMAS DE EXPRESAR UN RACIONAL.
Existen tres formas de expresar un número racional :
a)
b)
c)
p
tal que
q
a
=a:b
b
q0
Ej. :
ar
/ b  r = 100
br
( forma de racional fraccionario )
3
= 3 : 4 = 0,75
4
Ej. :
( forma de racional decimal )
3 3  25
75
=
=
= 75 % (racional porcentual )
4 4  25 100
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FORMAS DE UN RACIONAL DECIMAL.
Existen tres formas de expresar un racional decimal :
a) racional finito o exacto
a
b) b
tal que
Ejemplo :
a:b  c
con resto cero
2
 0,4
5
b) racional infinito periódico
2
= 2 : 3 = 0,666...
3
c) racional infinito semiperiódico
5
= 5 : 6 = 0,8333...
6
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE
FRACCIONES
Si
y
EJERCICIOS.
a
b
a
b
c
d
=
>
c
d
ad
entonces
ad
entonces
= b c
> b c
27. Señala si las siguientes parejas de racionales son iguales :
-2
-6
2
4
a)
y
b)
y
9
3
7
3
c)
-2
8
y
5
20
28. Indica el signo > , < o = que corresponda en las siguientes parejas de racionales :
a)

2
1
y
7
6
b)
5
y
8
-

4
7
c)
4
y
9
12
27
-
29. Encuentra el valor de x en las siguientes igualdades :
a)
4
x
=
8
2
30. Encuentra :
a)
b)
20
5
=
16
x
2
1
de
de 12
3
2
31.Intercala cinco decimales entre :
-
a ) 0, 4 y 0,5
-
c)
-
13
x
=
26
2
b)
d)
1
3
=
2
x
5
1
de
de 108
6
9
_
b) 1,23 y 1, 2
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 CONTENIDO 7 : OPERACIONES EN Q.
NOCIÓN : Propiedades de las operaciones en el sistema ( Q, +, · )
En Q se definen las dos siguientes operaciones :
ADICION;
Cumple las mismas propiedades de los
números enteros :
MULTIPLICACION
Además de las propiedades en los números
enteros, cumple
i) elemento inverso ( recíproco ) ,
i) cerrada,
ii) asociativa,
iii) elemento neutro ,
iv) elemento inverso ( opuesto)
v) conmutativa,
-1

a
a
 a
 a
 Q ; !    Q /   
 b
 b
b
b
Resuelve los siguientes ejercicios
1
4
5
+
+
=
3
3
3
33.
3

34.
5
5
+

12
6
-
1
3
5
+
+
=
9
8
3
35.
5
3
4
10
36.
1 1
1
- 
 =
2 8
10
=
37.
1
1
1
=
 -  2
8
10
¿Qué deduces de los ejercicios 36 y 37 ?
38.
40.
 11
 -5
2   2
3
+
+
-  =





3   9
4
 6
2
9 
39.
0, 5  2, 6 =
41.
1, 37  1,056 =
-
3
=
2
1
( a cada número racional se multiplica por su
recíproco el resultado es uno)
EJERCICIOS.
32.
1
42.
Verifica la asociatividad de la multiplicación en Q con los siguientes elementos :
0,3 ; 1,2 ; 4,5
43.
Verifica la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición en Q con el
siguiente ejercicio :
3,2  ( 5,1 + 0,8 )
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REFLEXIÓN :
¿ Tú crees que era necesario
atiborrar de números la recta
numérica, o era posible dejar sólo
los números enteros ?
ACCIÓN :
Ahora, es necesario entender, que habrán nuevos conocimientos
que te permitirán “ crecer “ y que en conjunto con la
experiencia ya reflexionada, te permitirá ir conformando
fuertemente tu estructura interior.
44. PROBLEMA INGENIOSO PARA MATEMÁTICOS . Tarde en la noche Michael
Jordan se detuvo afuera de la casa encantada llevando un número infinito de balones
numerados 1,2,3,....
A las 11:30 pm (esto es , a las 12 -
1
) lanzó los balones
2
1,2,.... ,10 por la ventana, pero alguien (quién sabe quién) lanzó el balón 1 hacia fuera.
1
) , Jordan lanzó los balones 11, 12 , ...., 20 y
4
1
1
salió de la casa el balón 2 . A las 11:52
pm ( esto es, a las 12 ) , Jordan lanzó
2
8
A las 11:45 pm (esto es a las 12 -
los balones 21, 22 , ... 30 y salió de la casa el balón 3. Jordan continuó este patrón,
lanzando 10 balones nuevos cada vez y siempre el balón con el número más bajo que aún
estaba en la casa salía volando.
a) ¿ Cuántos había en la casa justo después de las (12 las (12 -
1
16
) pm? ¿ Cuántos después de
1
) pm?
32
n
 1
b) ¿ Cuántos balones había en la casa justo después de las (12 -   ) pm?
2
c) ¿ Cuándo salió el balón 9?
d) ¿ Es cierto que el número de balones dentro de la casa crecía y crecía conforme se
acercaba la medianoche?
e) ¿ Cuántos balones había en la casa a la medianoche?
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. CONTENIDO 8 : PROBABILIDADES.
NOCIÓN : Concepto y cálculo de probabilidades.
CONCEPTOS :
La palabra probabilidad permite cuantificar la posibilidad de que ocurra un evento.
Los eventos que tienen distintos resultados a pesar de suceder en las mismas
condiciones y circunstancias, se llaman fenómenos aleatorios o estocásticos. Es decir su
resultado, que depende del azar, se sabe una vez realizado el evento.
En un experimento aleatorio no es posible predecir el resultado aún cuando se realice
en las mismas circunstancias.
Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles.
Probabilidad es el número a que tiende a estabilizarse la frecuencia de cada suceso.
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD A PRIORI
El cuociente entre la cantidad de casos favorables que tiene un evento A y el espacio
muestral ( número de casos posibles ) es la probabilidad a priori.
P
(
A
)

n
u
m
n
u
e
m
r o
e
d
r o
e
c
d
e
a
c
s
a
o
s
s
o
f a
s
p
v
o
o
s
r a
i b
b
l e
l e
s
s
Ejemplo 1 : En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas. ¿ Cuál es la probabilidad de
sacar una bola azul ?
P(azul) =
casos favorables 0
 0
universo
7
Es decir, hay ninguna probabilidad de sacar una bola azul. ( Probabilidad imposible )
Ejemplo 2 : En una bolsa hay 15 bolas verdes ¿ Cuál es la probabilidad de sacar una verde ?
P(verde) =
casos favorables 15

1
universo
15
Probabilidad segura.
Por lo tanto, todas las probabilidad estarán entre 0 y 1.
EJERCICIOS :
43. ¿ Cuál es la probabilidad de sacar un cuatro al lanzar un dado ?
44.
¿ Cuál es la probabilidad de sacar un as desde un juego de naipes españoles ?
45. ¿ Cuál es la probabilidad de sacar una bolilla roja de una caja que contiene 5 bolillas
rojas, 18 azules y 7 negras ?
46. En un equipo de fútbol están en el campo de juego : 5 delanteros, 3 medio campistas, 2
zagueros y el guardavallas. Se lastima uno de los jugadores,¿ cuál es la probabilidad de
que sea un delantero o un zaguero el que se lesione ?
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47. Al lanzar tres monedas al aire, cuál es la probabilidad de sacar dos caras ?
48. Al tirar dos dados, ¿ cuál es la probabilidad de obtener como suma siete ?
49. Juan y Pedro tienen dos dados. Juan tira primero y obtiene ocho puntos. ¿ Cuál es la
probabilidad que tiene Pedro para ganar ?
50. De un mazo de 52 cartas se puede tomar 1 carta. ¿ Cuál es la probabilidad para que ésta
sea un mono ?
51. En una caja hay 12 bolas negras y 8 bolas verdes.
a) sacar una bola negra
¿ Qué probabilidad hay de
b) sacar una bola verde
52. Hay 16 monedas de $ 100.; 22 monedas de $ 50 y 12 de $ 10. Al sacar una moneda ¿ cuál es
la probabilidad de sacar una moneda de $100?
53. ¿ Cuál es la probabilidad de que existan alumnos que se llamen Luis en tu curso ?