Problemas de optimizaci n

IES PADRE FEIJOO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1.- Halla el número positivo que sumado con su inverso da suma mínima.
2.- De todos los rectángulos que tienen área igual a 16 m2, ¿qué dimensiones tiene el de menor perímetro?
3.- Se desea construir una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada y de 108 litros de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que tenga superficie mínima, y por tanto, mínimo coste?
4.- Con una chapa de hojalata cuadrada de lado 60 cm., es preciso hacer un cajón sin tapa que tenga volumen máximo.
Se recortan cuadrados en los ángulos de la hojalata y se dobla ésta para formar el cajón. ¿Cuál debe ser la longitud del
lado de los cuadrados recortados?
5.- La base menor de un trapecio rectángulo mide 7 cm., y el lado oblicuo tiene una longitud de 6 cm. Calcula la altura
que haga máxima el área del trapecio.
6.- A una ventana de 1 m2 de área se le quiere construir un marco. Si el coste del marco es de 12,50 € por cada metro
de altura de ventana, y 8 € por cada metro de anchura. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico?
7.- En la pared triangular del ático de un chalet, un carpintero tiene que construir una estantería rectangular, apoyada en
el suelo y cuyas esquinas superiores alcanzan las paredes inclinadas. ¿Qué dimensiones tendrá que dar a la estantería, si
quiere que la superficie de ésta sea la mayor posible? Datos: la pared tiene 6 m. de base y 4 m. de altura.
8.- Calcula la altura que debe tener un cilindro de revolución inscrito en una esfera que tiene 6 m. de diámetro, para que
su volumen sea máximo entre todos los inscritos en ella.
9.- ¿Cuál es la ecuación de la recta que, pasando por el punto
( 1, 2 ) , determina en las regiones positivas de los ejes un
triángulo de área máxima?
10.- Un triángulo isósceles, de 30 cm. de perímetro, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué longitud debe
tener la base para que el volumen del cono sea máximo?
11.- Una empresa conservera necesita construir botes cilíndricos de 16π cm3 de volumen para enlatar sus productos.
Halla la dimensión de los botes para que el material utilizado sea mínimo.
12.- Halla las dimensiones del marco de una ventana de 0,81 m2 de superficie para que su coste sea mínimo, sabiendo
que la madera empleada cuesta 4 € el metro lineal.
13.- A las 10 de la mañana un barco A está 130 millas al Este de otro barco B. El barco A navega hacia el Oeste a
20 nudos y el B hacia el Sur a 30 nudos. ¿A qué hora será mínima la distancia entre ambos barcos?
14.- Descomponer 44 en dos sumandos, tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del
segundo sea mínimo.
15.- Un jardinero dispone de 120 metros de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes con
vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo.
¿Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea la mayor posible?
16.- En un pedestal de 4 m. de altura hay una estatua de 2 m. ¿A qué distancia del pedestal se ve la estatua bajo un
ángulo máximo?
17.- Halla el punto de la parábola
y = x
2
que diste menos del punto
( 0, 2 ) .
18.- A una placa de vidrio rectangular de dimensiones 15 y 10 cm. se ha roto en una esquina un pedazo de forma
triangular, de manera que la longitud disminuye en 5 cm. y la anchura en 3 cm. De la parte restante se quiere formar
una nueva placa rectangular de área máxima. ¿Cuáles serán las dimensiones de la misma?
19.- Halla las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles de 10 cm. de base y 15 cm. de altura.
20.- Se desea construir una caja abierta, de base cuadrada y 864 dm3 de capacidad. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones
para que su superficie sea mínima?
21.- Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes para formar con la primera un cuadrado y
con la segunda un círculo. Hallar la longitud de cada parte para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
22.- De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20 m. ¿Qué base tiene el de área máxima?
23.- Un granjero dispone de 60 m. de valla. Con ella y, aprovechando un muro de piedra "suficientemente largo" que
existe en su propiedad, quiere construir un corral rectangular adosado al muro, de la mayor superficie posible. Explíquese
como debe hacerlo.
24.- De todos los triángulos isósceles de 30 cm. de perímetro. ¿Cuál es el de área máxima?
25.- Un conservero ha de fabricar botes cilíndricos de 1 litro de capacidad para envasar tomate. Determinar las
dimensiones que debe tener un bote para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata.
26.- De todos los conos inscritos en la esfera de radio 3 m. Halla el de mayor volumen.
27.- Descomponer el número 40 en dos partes, tales que el triple del cuadrado de la primera más siete veces el cuadrado
de la segunda sea mínimo.
200 m., se desea acotar una superficie triangular de área máxima.
28.- Aprovechando como hipotenusa una pared de
¿Qué medidas deberán tener los otros lados? (catetos).
29.- Un punto material recorre la parábola
distancia del punto al origen
y = x
2
− 7 . Deducir razonadamente la posición, o posiciones, en que la
( 0, 0 ) es mínima.
30.- De todos los rectángulos de diagonal igual a 1, halla las dimensiones del de área máxima.
31.- Dos postes de 12 y 18 m. de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un cable uniendo un punto del suelo entre
los dos postes con los extremos de éstos. ¿En que posición debe situarse el punto en el suelo para que la longitud total del
cable sea mínima?
32.- Calcula las dimensiones de un prisma recto de base cuadrada, para que el volumen sea máximo, sabiendo que la
suma de todas sus aristas es 120 dm.
33.- ¿Cuál es el área máxima que puede tener un sector circular de 8 metros de perímetro?
34.- Halla la base
x y la altura y de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm. que, al dar una vuelta completa
alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.
35.- Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm. y la altura relativa a este lado de 5 cm. Encuentre un punto
sobre esta altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.
36.- Determina el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.
37.- En una oficina de correos sólo admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea
igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo debe ser de 72 cm. Halla las dimensiones del paralelepípedo
para que el volumen sea máximo.
38.- Se dispone de una barra de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima
superficie interior posible.
a) ¿Qué longitud deben tener los postes?
b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?
39.- Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo a cada uno de los
lados opuestos. Halla las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.
40.- Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada
uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto en papel sea mínimo.
41.- Supongamos que el rendimiento
r = 300 ⋅ t ⋅ ( 1 − t ) , donde 0 ≤ t
a)
b)
c)
r
en
%
de un alumno en un examen de una hora viene dado por
≤ 1 es el tiempo en horas. Se pide:
¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
42.- Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La base menor mide 20 cm y el lado oblicuo mide 40 cm. Halla
razonadamente, el ángulo α que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea
máxima. Calcula esta área máxima.
43.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (correspondiente al lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectángulo
de forma que uno de sus lados está sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales del triángulo.
Calcula las dimensiones (base y altura) del rectángulo para que su área sea máxima.
44.- De entre todos los triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia (hipotenusa = diámetro) de radio 10
cm., se pide hallar el que tiene área máxima.
45.- La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 120.
Halla los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.
46.- Se desea construir una piscina de fondo cuadrado, con 32 m3 de capacidad de manera que la superficie total (de las
paredes más el fondo) sea mínima. ¿Qué dimensiones debe tener la piscina?
47.- Encontrar de entre todos los rectángulos de perímetro 2p el que tiene diagonal mínima.