Problemas de optimizaci n

IES PADRE FEIJOO
2º BHCS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1.- Halla el número positivo que sumado con su inverso da suma mínima.
2.- De todos los rectángulos que tienen área igual a 16 m2, ¿qué dimensiones tiene el de menor perímetro?
3.- Se desea construir una caja abierta (sin tapa) de base cuadrada y de 108 litros de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que tenga superficie mínima, y por tanto, mínimo coste?
4.- Con una chapa de hojalata cuadrada de lado 60 cm., es preciso hacer un cajón sin tapa que tenga volumen máximo. Se
recortan cuadrados en los ángulos de la hojalata y se dobla ésta para formar el cajón. ¿Cuál debe ser la longitud del lado
de los cuadrados recortados?
5.- A una ventana de 1 m2 de área se le quiere construir un marco. Si el coste del marco es de 12,50 € por cada metro de
altura de ventana, y 8 € por cada metro de anchura. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico?
6.- Calcula la altura que debe tener un cilindro de revolución inscrito en una esfera que tiene 6 m. de diámetro, para que su
volumen sea máximo entre todos los inscritos en ella.
7.- Una empresa conservera necesita construir botes cilíndricos de
dimensión de los botes para que el material utilizado sea mínimo.
16π cm3 de volumen para enlatar sus productos. Halla la
8.- Halla las dimensiones del marco de una ventana de 0,81 m2 de superficie para que su coste sea mínimo, sabiendo que
la madera empleada cuesta 4 € el metro lineal.
9.- Descomponer 44 en dos sumandos, tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del
segundo sea mínimo.
10.- Un jardinero dispone de 120 metros de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes con
vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea la mayor
posible?
11.- Halla la base
x y la altura y de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm. que, al dar una vuelta completa
alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.
12.- Un granjero dispone de 60 m. de valla. Con ella y, aprovechando un muro de piedra "suficientemente largo" que existe
en su propiedad, quiere construir un corral rectangular adosado al muro, de la mayor superficie posible. Explíquese como
debe hacerlo.
13.- De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20 m. ¿Qué base tiene el de área máxima?
14.- De todos los rectángulos de diagonal igual a 1, halla las dimensiones del de área máxima.
15.- Calcula las dimensiones de un prisma recto de base cuadrada, para que el volumen sea máximo, sabiendo que la suma
de todas sus aristas es 120 dm.
16.- Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional
plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcula:
a)
b)
c)
d)
La producción actual de la huerta.
La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
La producción que se obtendría en total de la huerta si se plantan x árboles más.
¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?
Interpreta el resultado.
17.- La empresa Autos S.A. tiene en exclusiva el modelo Centauro. Cada coche le cuesta a la empresa 20000 € y sabe que
en un mes puede vender 6 coches a 25000 € cada uno. Un estudio de marketing le revela que por cada 1000 € de
descuento sobre el precio anterior puede aumentar la venta en 2 coches más al mes. ¿Le conviene hacer estos descuentos
para aumentar la venta mensual de coches? ¿A qué precio deberá vender entonces cada automóvil para maximizar los
beneficios mensuales?
18.- A un vendedor de ordenadores le cuesta 900 € cada modelo de la marca QK . Ha comprobado que, al precio de 1500 €
unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que, por cada 30 € de descuento en el precio, puede vender 3 unidades
más al mes. Hállese a qué precio debe venderlos para obtener el máximo beneficio posible.
19.- Durante 31 días consecutivos las acciones de las compañías
A y B han tenido unas cotizaciones dadas por las
funciones:
C A = 0,02 x − 0,9 x
3
a)
b)
2
+ 7,5 x + 100
y
C B = 0,1 x − 3 x + 100
2
donde
x es el número de días transcurridos.
Halla las cotizaciones máxima y mínima de cada compañía y los días que sean conseguido.
Halla los días en que las respectivas acciones estuvieron en alza (subiendo de precio) y los que estuvieron a la
baja.
20.- El propietario de un edificio tiene alquilados los 52 pisos del mismo a 266 € al mes cada uno. Por cada 7 € que
aumente el alquiler de cada piso, pierde un inquilino y, por tanto, queda el correspondiente piso sin alquilar.
a)
b)
¿Cuál es el alquiler que más beneficios producirá al propietario.
¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario por el alquiler de los pisos?