Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones (II)

IES PADRE FEIJOO
2º BHCS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES
1.- La cafetería de una estación de autobuses permanece abierta desde las 8 hasta las 22 horas. Se ha comprobado que el
porcentaje de fumadores que hay en dicha cafetería viene dado, en función de la hora del día, a través de la expresión:
P(t ) = − A ⋅ t 2 + A ⋅ B ⋅ t
8 ≤ t ≤ 22
a)
b)
Sabiendo que a las 15 horas se alcanza el porcentaje máximo de fumadores con un 67,5%, determina las
constantes A y B. Justifica la respuesta.
Representa gráficamente la evolución del porcentaje de fumadores en dicha cafetería entre las 8 y las 22 horas.
2.- La cantidad de agua recogida el año pasado (en millones de litros) en cierto pantano, como función del instante de tiempo
(en meses) viene dada por la expresión:
f (t ) =
a)
b)
c)
10
( t − 6) 2 + 1
,
0 ≤ t ≤ 12
En qué período de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida?
¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
¿Cuál fue esa cantidad máxima?
3.- Según un estudio sobre la evolución de la población de una especie protegida determinada, podemos establecer el número
de individuos de esta especie durante los próximos años mediante la función:
f (t ) =
a)
b)
c)
donde t es el número de años transcurridos.
Calcula la población actual y la prevista para dentro de nueve años.
Determina los periodos en que la población aumentará y los periodos en que disminuirá.
Estudia si, según esta previsión, la población tenderá a estabilizarse en algún valor y, si es así, determínalo.
4.- Después de
función
50 t + 500
t +1
t
horas de estudio, el rendimiento de cierto estudiante (en una escala de 0 a 100) viene dado por la
r (t ) = 2380t .
t + 4
a)
b)
c)
Calcula el rendimiento a las 4 horas de estudio.
Determina cuándo el rendimiento va en aumento y cuándo va disminuyendo durante las primeras 7 horas de
estudio.
Encuentra en qué momento consigue el estudiante su máximo rendimiento así como el valor de ese rendimiento
máximo.
5.- En la construcción de un túnel, el porcentaje de roca fragmentada o de mala calidad viene dado por el siguiente modelo
matemático. R(x) representa dicho porcentaje cuando la distancia a la boca del túnel es x (en kilómetros). Si en algún tramo
de la perforación el porcentaje supera el 40%, se deberán reforzar las medidas de sostenimiento y seguridad de la estructura.
3
R( x) = x − 4,5 x 2 + 18 x + 15
3
a)
b)
c)
0≤ x≤7
Indica en qué tramos de la perforación el porcentaje crece y en cuáles decrece.
Dibuja la gráfica de la función. ¿Será necesario reforzar las medidas mencionadas?
Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión de la curva.
6.- El rendimiento físico (evaluado en una escala de 0 a 100) de un ciclista durante una prueba de esfuerzo de 15 minutos de
duración queda bien descrito a través de la función:
R(t ) = at 2 + bt + c
0 ≤ t ≤ 15
(a ≠0)
Sabiendo que alcanza el máximo rendimiento de 100 a los 10 minutos y que finaliza la prueba con un rendimiento de 75, se
pide:
a) Determina los coeficientes a , b , c .
b)
Representa la función obtenida.
7.- Una feria ganadera permanece abierta al público desde las 10 hasta las 20 horas. Se ha comprobado que el número de
visitantes diarios queda determinado, como función de la hora del día, a través de la expresión:
N (t ) = − 20 ⋅ ( A − t ) 2 + B
10 ≤ t ≤ 20
Sabiendo que a las 17 horas se alcanza el número máximo de 1500 visitantes, se pide:
a)
b)
Determina las constantes A y B. Justifica la respuesta.
Representa la función obtenida.
8.- El índice de audiencia (evaluado en una escala de 0 a 10) de cierto programa de televisión de 30 minutos de duración se
comporta de acuerdo con la función:
I (t ) = A t 2 + B t + C ,
0 ≤ t ≤ 30 , ( A ≠ 0 )
donde A , B y C son constantes a determinar.
Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar el programa se alcanza el índice de audiencia 10 y que el programa se inicia con
un índice de audiencia 6, se pide:
a)
Determina las constantes A , B y C . Justifica la respuesta.
b)
Representa y comenta la función obtenida.