Derivados del Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras
Uno de los teoremas más conocidos y útiles en Geometría es el Teorema de Pitágoras,
llamado así por el matemático griego Pitágoras. Este teorema se enuncia así:
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.”
C AT ET O
H I PO T E N U S A
c
a
c 2  a 2  b 2  hipotenesa
a 2  c 2  b 2  cateto
C AT ET O
b
Con estas fórmulas podemos calcular el valor de los catetos o el de la hipotenusa.
Ejemplos. Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes casos.
3,2 cm
x
8 cm
4,1 cm
x
5 cm
12 cm
37
20
20 cm
x cm
x
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
1. Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm,
respectivamente.
2. Los lados de un triángulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.
3. Determinar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los
catetos miden 6 cm y 3 cm respectivamente.
4. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de sus
catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.
5. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado si su lado mide 12 cm?
6. Hallar el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que la medida del ancho es 15
cm y la medida de la diagonal es 20 cm.
7. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto mide cada
uno de sus lados?
Además, del teorema de Pitágoras tenemos el recíproco del Teorema de <Pitágoras que
dice:
“Si la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo, es igual al cuadrado
de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”.
Las siguientes propiedades nos permiten saber la clasificación de un triángulo según la
medida de sus ángulos, conociendo sólo la medida de sus lados:
Si a, b y c representan las medidas de los lados de un triángulo, tal que c
es la mayor medida, se cumple que:
 Si c 2  a 2  b 2 entonces el Δ es rectángulo.
 Si c 2  a 2  b 2 entonces el Δ es acutángulo.
 Si c 2  a 2  b 2 entonces el Δ es obtusángulo.
Ejemplo. Indique en cada caso si las medidas de los lados corresponden a un triángulo
acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
a)
4 cm, 5 cm, 2 cm.
b)
5 cm, 4 cm, 6 cm.
c)
15 cm, 9 cm, 12 cm.
Práctica. Indique en cada caso si las medidas de los siguientes lados corresponden a un
triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo:
a) 31, 40, 53
______________________
b) 41, 38, 52
______________________
c) 18, 30, 24
______________________
d) 50, 48, 14
______________________
e) 7, 8, 9
______________________
f) 10, 26, 24
______________________
g) 10,
h)
2,
3 , 12 ______________________
3, 1
______________________
Triángulos Especiales
Llamamos triángulos especiales a dos triángulos rectángulos que poseen los ángulos de la
siguiente manera: en uno los ángulos miden 45º - 45º - 90º y en el otro 30º - 60º - 90º.
Estos triángulos nacen como consecuencia de ciertas propiedades que se cumplen en los
triángulos equiláteros y en los cuadrados.
Triángulo rectángulo isósceles
En el triángulo cuyos ángulos miden 45º - 45º - 90º,
la longitud de la hipotenusa es 2 multiplicado
por la longitud de un cateto.
Nota: observe que este triángulo es isósceles,
por lo tanto sus dos catetos miden igual.
45º
l 2
l
45º
l
Triángulo semiequilátero
En el triángulo cuyos ángulos miden 30º - 60º - 90º ,
la longitud del cateto mayor es 3 multiplicado
por la longitud del cateto menor y la longitud de la
hipotenusa es la longitud del cateto
menor multiplicado por dos.
30º
2l
l 3
60º
l
Ejemplos. Calcule el valor de “x” y “y”.
30º
y
10
x
60º
60º
30º
y
x
12
60º
7
y
45º
45º
45º
x
3
30º
x
8
x
x
y
45º
y
45º
45º
5
y
Derivados del Teorema de Pitágoras
Ya hemos estudiado el Teorema de Pitágoras y su
aplicación a los triángulos rectángulos. Ahora veremos
que en un triángulo rectángulo, al trazar la altura sobre la
hipotenusa, se cumplen algunos teoremas importantes
conocidos como Derivados del Teorema de Pitágoras. A
continuación estudiaremos cada uno de estos teoremas
y sus aplicaciones.
C
h
B
D
A
TEOREMA 1. En todo triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa define dos
triángulos rectángulos semejantes entre sí, y semejantes al triángulo rectángulo original.
TEOREMA 2. En todo triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa es MEDIA
proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
h2 = x • y
h
x
y
Ejemplo.
En el triángulo rectángulo adjunto, trazamos la altura sobre la hipotenusa. Calcular las
medidas respectivas de los segmentos a y b.
h2  a  b
9 cm
122  9  b
15 c m
b
144  9  b
12 c m
144
b
9
16  b
a
Observemos que la medida de la hipotenusa es 9 cm + 16 cm = 25 cm. Entonces, para
hallar la medida del cateto a, empleamos nuevamente el Teorema de Pitágoras.
252  a 2  152
625  a 2  225
625  225  a 2
400  a 2
400  a
20  a
TEOREMA 3. En todo triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual al producto
de la hipotenusa por la altura trazada sobre ella.
a
a•b = c•h
b
h
c
Ejemplo
En el ejemplo del Teorema 2 teníamos el triángulo
que se encuentra a la derecha.
Observemos que
9 cm
15 • 20 = (16+9) • 12
15 cm
16 cm
12 cm
300 = 25 • 12
20 cm
300 = 300
Según la figura presentada en la parte inferior de la página, al segmento BD se le llama
proyección del cateto BC sobre la hipotenusa AB. Además, al segmento AD se le llama
proyección del cateto AC sobre la hipotenusa AB.
Si BD = x es la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa AB y AD = y es la
proyección del cateto AC sobre la hipotenusa AB, entonces podremos enunciar el tercer
teorema como sigue.
TEOREMA 4. En todo triángulo rectángulo, la medida de un cateto es MEDIA proporcional
entre la medida de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
C
BC2 = AB • x
y
h
AC2 = AB • y
y
A
x
D
B
Fórmula de Herón
Permite determinar el área de un triángulo cuando se conocen, únicamente, las longitudes
de sus lados.
Si las medidas respectivas de los lados de un triángulo cualquiera, las representamos por
a, b, y c, podemos hallar su área aplicando la fórmula
A  s(s  a)(s  b)(s  c)
a
b
A R EA
Donde s representa al semiperímetro del triángulo.
s
c
perímetro
2
Ejemplo
Según los datos de la figura adjunta. ¿Cuál es el área
del triángulo?
10 m
6 m
Solución
1. Aplicando la fórmula tradicional
A = base • altura
2
A = 6 • 8 = 24
2
A = 24 m2
2. Aplicando la fórmula de Herón
A  s(s  a)(s  b)(s  c)
s = (10+8+6)
2
s = 12
A = √ 12 • (12-10) • (12-8) • (12-6)
A = √12 • 2 • 4 • 6
A = √576
A = 24 m2
8 m