\chapter{Medida de pequeñas longitudes}

P1 MEDIDA DE DENSIDADES
Objetivos
Utilización del calibre
Determinación de la densidad de un sólido.
Material
Tapón troncocónico de neopreno.
Balanza de precisión.
Calibre.
Probeta graduada.
Teoría
La densidad de un material homogéneo se define como el cociente entre su masa m y su volumen V:
m
 ,
(1)
V
y es una propiedad que sólo depende de la naturaleza del material, independientemente de su
cantidad. En esta práctica vamos a determinar la densidad de un sólido.
Mediante una balanza de precisión obtendremos la masa del tapón de neopreno.
Un método para determinar su volumen consiste en medir su altura h, junto con sus diámetros
menor d y mayor D (ver figura); seguidamente se aplica la fórmula del volumen de un cilindro
troncocónico:
h 2

V 
d  D 2  dD  .
(2)
12
Antes de la medición con el calibre, comprobaremos si tiene error de cero y, en caso afirmativo,
haremos la corrección correspondiente en las medidas.
Otra forma de obtener el volumen del tapón consiste en medir el volumen que desplaza al
sumergirlo en un líquido.
Método de medida
Determina la masa del tapón m con la balanza.
Usa el calibre para medir los diámetros d y D, así como la altura h del tapón.
Repite este proceso tres veces, como mínimo, y toma el valor medio.
Llena la probeta con agua del grifo hasta un cierto nivel. A continuación, deja caer el tapón de
neopreno dentro de la probeta con agua, procurando que no salpique, y mide el volumen desalojado,
V’.
Resultados
Obtén la densidad del neopreno a partir de la ecuación (1), la masa m y (i) el volumen V o (ii) el
volumen V’, según los dos métodos citados.
Expresa ambos valores de la densidad con sus respectivos errores.
Cuestiones
C1. Deduce la expresión del volumen de un cilindro troncocónico en función de su altura y de sus
diámetros mayor y menor, ecuación (1).
C2. ¿Cuál de los dos métodos que has empleado para obtener la densidad del neopreno es más
preciso?
C3. Discute los errores sistemáticos que pueden intervenir cuando se estima el volumen del tapón a
partir de la ecuación (2).
P2 ESTUDIO ESTÁTICO Y DINÁMICO DEL MUELLE (Ley de Hooke)
Objetivos
Verificar la relación entre esfuerzo y deformación del muelle (caso estático).
Verificar la relación entre el período de las oscilaciones y la masa que cuelga (caso dinámico).
Determinación de la constante del muelle.
Determinación de la aceleración de la gravedad.
Material
Soporte para colgar el muelle.
Muelle.
Gancho (con tuerquecilla) para colgar los pesos.
Pesos (tuercas).
Balanza de precisión.
Cronómetro.
Regla.
Teoría
1. Caso estático.
La Ley de Hooke establece la relación entre la fuerza F ejercida sobre un muelle y la deformación
Δy de éste cuando no se le deja oscilar:
F  K y ,
(1)
donde K es la llamada constante del muelle, que caracteriza su capacidad elástica y de recuperación.
Si llamamos l 0 a la longitud natural del muelle y l 0 a su longitud cuando cuelga el gancho (con
tuerquecilla) de masa M 0 , tendremos que:
(2)
M 0 g  K l0  l0  ;
y si llamamos l a la longitud que adquiere el muelle cuando, además, se le cuelga una masa M t (la
de un conjunto de tuercas), entonces tendremos:
(3)
(M 0  M t ) g  K l  l0  .
Agrupando y ordenando términos, se obtiene la siguiente relación lineal entre la longitud l del
muelle alargado y la masa M t del conjunto de tuercas que colgamos de él:
l
g
M t  l0 .
K
(4)
2. Caso dinámico.
Por otro lado, el período de oscilación T de un muelle ideal (sin masa) viene determinado por su
constante K de elasticidad y por la masa m que cuelga de él:
(5)
T  2 m .
K
Teniendo en cuenta que el muelle realmente tiene masa, m  , podemos escribir:
m   m
,
(6)
T  2
K
donde   1 nos dice en qué medida afecta la masa m  del muelle al período de las oscilaciones. A
partir de la ecuación (6) obtenemos:
 m
T2
1

m

.
(7)
K
4 2 K
En esta práctica vamos a verificar las relaciones lineales (4) y (7) y, a partir de ellas,
determinaremos las constantes K y g.
Método de medida
Determina las masas m  (muelle) y M 0 (gancho con tuerquecilla) con la balanza.
Mide con la regla las longitudes l 0 (muelle relajado) y l 0 (con gancho y tuerquecilla). Como de
costumbre, haz varias mediciones y toma el promedio.
Ve añadiendo tuercas a la masa que cuelga y en cada paso anota la masa del conjunto de tuercas
M t y la longitud l que adquiere el muelle. Deberás usar al menos cinco pasos.
Para cada uno de los pasos anteriores, pon el muelle a oscilar sobre la vertical y mide el período
T  t de oscilación contando el tiempo t que tarda en completar n oscilaciones ( n  40 ).
n
Resultados
Representa l frente a M t . Ajusta una recta ( y  ax  b ) a tus datos por el método de mínimos
g
cuadrados y calcula la pendiente a1 
y la ordenada en el origen b1  l0 .
K
T2
Representa
frente a m  M 0  M t . Con un ajuste por mínimos cuadrados se obtiene una recta
4 2
 m
1
de pendiente a 2 
y ordenada en el origen b2 
.
K
K
A partir de estos datos puedes obtener α, K y g.
Nota: en esta práctica, excepcionalmente, haremos los ajustes por mínimos cuadrados sin ayuda de
ningún programa informático, ni propio ni comercial.