Soluciones de trigonometría

SOLUCIONES DE TRIGONOMETRÍA
Ejercicio nº 1.Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto
mide 54. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.
Solución:
Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:
  90  B̂  90  54  36
Ĉ  90
Hallamos los lados:
sen B̂ 
tg B̂ 
b
c
b
a
sen 54  


tg 54  
4, 8
c
4, 8
a

4, 8
 5, 93 cm
sen 54 
4,8
a
 3, 49 cm
tg 54 

c
Por tanto:
a  3, 49 cm; Aˆ  36
b  4, 8 cm; Bˆ  54
c  5, 93 cm; Cˆ  90
Ejercicio nº 2.Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más
alto de la torre bajo un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el
ángulo es de 80. Halla la altura de la torre.
Solución:




h 

tg 60 
x  5

tg 80 



h  x  5 tg 60 

h
x
h  x tg 80
x tg 80   x  5 tg 60 
x tg 80   x tg 60   5 tg 60 
x tg 80   x tg 60   5 tg 60 


x tg 80   tg 60   5 tg 60 
x
h
5 tg 60
tg 80  tg 60
5 tg 60 tg 80
tg 80  tg 60
 2, 20 m
 12, 47 m
La torre tiene una altura de 12,47 metros.
Ejercicio nº 3.Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
sen 40  0, 64; cos 40  0, 77; tg 40  084
Solución:
Como 140  180  40 y 220  180  40, entonces:
sen140   sen 40   0, 64
cos140    cos 40   0, 77
tg 140    tg 40   0, 84
sen 220   sen 40   0, 64
cos 220   cos 40   0, 77
tg 220  tg 40   0, 84
Ejercicio nº 4.Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:
Solución:
Hallamosel ángulo B̂ con el teoremade los senos:
a
sen Â

sen B̂ 
b
sen B̂

10
sen105
6 sen105
 0,58
10



6
sen B̂
B̂  35  25' 9"
(Como  es obtuso, B̂ y Ĉ han de ser agudos;solo hay una solución).
Hallamosel ángulo de Ĉ :


Ĉ  180  Â  B̂  39 34' 51"
Calculamos el lado c:
c
senĈ

a
sen Â


c

sen 39 34' 51"


10
sen105

c  6, 6 m
Por tanto:
a  10 m; Aˆ  105
b  6 m; Bˆ  35 25' 9"
c  6, 6 m; Cˆ  39 34' 51"
Ejercicio nº 5.Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla
opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el
triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo
es de 140.¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?
Solución:
El ángulo Ĉ será:


Ĉ  180  25  140  15
Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:
x


100
sen140
sen15
y
100

sen 25  sen15 



x
100 sen140
 248,35 m
sen15
100 sen 25 
y
 163, 29 m
sen15 
Por tanto:
Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m.
Ejercicio nº 6.Completa la siguiente tabla:
Solución:
35 
35  
7
rad 
rad
180
36

2
2 180
rad 

 120 
3
3

2 rad  2 
 120  
2
rad
3
180
 114 35' 30"

Por tanto:
Ejercicio nº 7.a Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:


y  cos  x  
2

b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:
Solución:
a Hacemos una tabla de valores:
La gráfica sería:
b La gráfica corresponde a la función y  cos x.
Ejercicio nº 8.Demuestra la siguiente igualdad:
sen x  cos x   cos2 x
cos x  sen x
 1  sen2 x
Solución:
sen x  cos x   cos 2x  sen x  cos x   sen x  cos x   cos 2x
cos x  sen x cos x  sen x 
cos x  sen x

sen x  cos x 2  cos 2x
cos x  sen x
2
2

sen
2

x  cos2 x  2 sen x cos x  cos 2x

cos 2x
 sen2 x  cos2 x  2 sen x cos x  1 2 sen x cos x  1 sen2x
Ejercicio nº 9.Resuelve la ecuación:

4 cos2 x  1  3 cosx
Solución:
4 cos 2x  1  3 cos x


4 cos2 x  sen2 x  1  3 cos x
4 cos x  4 sen x  1  3 cos x
2
2


4 cos2 x  4 1  cos2 x  1  3 cos x
4 cos x  4  4 cos x  1  3 cos x
2
2
8 cos2 x  3 cos x  5  0
cos x 
3
9  160
16
3

169
16

5
 3  13 
 8
16

 1

 x  51 19' 4"360  k
5
 
cos x 


8
 x  308 40' 56"360 k



cos x  1  x  180   360  k



5
8
1
siendo k  Z
Ejercicio nº 10.Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior
del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué
distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?
Solución:
Como es un triángulo rectángulo, los otros ángulos serán:
Aˆ  90  Bˆ  90  40  50
Cˆ  90
Hallamos los otros lados:
tg 40  
b
a
sen 40  

b
c

tg 40  
3, 5
a
sen 40  

3, 5
c
a

3, 5
 4,17 cm
tg 40 
3, 5
c
 5, 45 cm
sen 40 
Por tanto:
a  4,17 cm; Aˆ  50 
b  3, 5 cm; Bˆ  40 
c  5, 45 cm; Cˆ  90 
Ejercicio nº 11.Si sen x  0,35 y 0 <  < 90 halla sin calcular :

a) sen 180  α


b) cos 180  α

Solución:

b) cos180

     cos
a) sen 180    sen  0,35

Necesitamos saber cuánto vale cos :
sen2  cos2  1  0,352  cos2  1
0,1225  cos2   1  cos2   0,8775
cos  0, 94 (es positiv o,pues 0    90 )


Por tanto: cos 180    cos  0, 94