TEMA 2. Dinámica. Leyes de Newton

Unidad 1: Dinámica
Departamento de Física y Química.
Instituto Ramón y Cajal. Zaragoza
DINÁMICA
¿Qué vamos a estudiar
 Carácter vectorial de la fuerza. Momento de una fuerza.
 Sistemas de fuerzas. Operación con fuerzas expresadas en coordenadas cartesianas.
 Interacción gravitatoria.
 Dinámica. fuerza: causa de cambios en el movimiento.
 Principio de inercia. primer principio de Newton.
 Principio fundamental. segundo principio de Newton.
 Principio e acción y reacción. tercer principio de Newton.
 Momento lineal o cantidad de movimiento. Impulso mecánico.
 Conservación de la cantidad de movimiento
 Utilización de la deformación en muelles para la medida de fuerzas.
 Descripción de situaciones de equilibrio en las que se dibujen las fuerzas de acción y reacción
sobre un cuerpo, distinguiendo quién las ejerce y sobre quién se ejercen.
 Resolución de ejercicios numéricos de aplicación de los principios de la dinámica
Criterios de evaluación
 Obtener la resultante de un sistema de fuerzas por dos procedimientos: gráficamente y mediante
las componentes de las fuerzas.
 Reconocer, a partir de la idea de fuerza como interacción, las fuerzas (peso, normal, fuerza de
rozamiento, fuerza recuperadora,) que actúan sobre un cuerpo en una situación dada.
 Enunciar las leyes de Newton.
 Distinguir entre masa y peso.
 Definir las magnitudes cantidad de movimiento e impulso de una fuerza y establecer la relación
matemática entre ellas.
 Resolver problemas de dinámica en un amplio abanico de situaciones: planos horizontales e
inclinados -con y sin rozamiento-, cuerpos ligados mediante cuerdas, trayectorias circulares, etc.
 Resolver ejercicios relativos a la conservación del momento lineal en sistemas aislados. Utilizar
correctamente las unidades Sistema Internacional.
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INDICE
1. Introducción.
2. Concepto de fuerza.
3. Las fuerzas como causa de la modificación del movimiento: primera ley de Newton.
4. Las fuerzas como resultado de las interacciones: tercera ley de Newton.
5. Definición cuantitativa de fuerza: segunda ley de Newton.
6. Fuerzas a distancia y por contacto.
7. Interacciones en la Naturaleza
7.1. Fuerza gravitatoria o peso.
7.2. La fuerza normal.
7.3. Fuerza debida a los muelles.
7.3. La fuerza de rozamiento.
8. Aplicación de las leyes de Newton
9. Fuerza centrípeta.
10. Momento lineal. Ley de conservación del momento lineal. Impulso.
10.1. Nuevo planteamiento de la segunda ley de Newton
1. INTRODUCCION
Actividad 1
DINAMICA VS CINEMATICA
La cinemática es el estudio del 'cómo' se mueven los objetos, pero no del 'por qué' se mueven. Galileo estudió muchos aspectos de la cinemática con originalidad y profundidad. De una manera clara y consistente,
Galileo mostró como describir el movimiento de los objetos con la ayuda de las matemáticas.
Galileo había escrito: "este no es el momento más adecuado para investigar las causas de los movimientos
naturales...". Cuando Isaac Newton empezó sus estudios sobre el movimiento en la segunda mitad del
siglo XVII, pudo dedicar su atención al estudio de las causas del movimiento debido a que Galileo había ya
descrito el mismo de una forma efectiva. La dinámica es el estudio del 'por qué' un objeto se mueve de una
determinada manera; por ejemplo, por qué comienza a moverse en vez de permanecer en reposo, por qué
su velocidad aumenta, por qué describe una trayectoria curva, etc.
En un saque de falta, un balón de fútbol se lanza hacia arriba y describe una trayectoria curvilínea por
encima de los jugadores. Indica si las siguientes cuestiones pertenecen a la cinemática o a la dinámica.
(a) ¿Cuál será la máxima altura que alcanzará el balón?.
(b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo de nuevo?.
(c) ¿Por qué la trayectoria no es rectilínea?.
(d) ¿Qué velocidad tiene cuando pasa sobre los jugadores?.
(e) ¿Por qué la aceleración es siempre la misma?.
Actividad 2
LA DINAMICA A LO LARGO DE LA HISTORIA
Dos ejemplos que permiten diferenciar los aspectos cinemático y dinámico a lo largo de la historia
son el estudio de la caída libre y el movimiento planetario.
Como vimos en la lección anterior, desde Aristóteles se intenta describir el movimiento de caída de los
cuerpos; posteriormente, su trabajo es revisado por Galileo, el cual lo define como un movimiento
uniformemente variado, a la vez que establece sus ecuaciones. Hasta este momento el estudio se
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restringe a una descripción del movimiento, es decir, se trata de su aspecto cinemático. Con Newton
aparece una nueva pregunta: ¿cuál es la causa de dicho movimiento uniformemente variado?. En este
instante comienza el tratamiento dinámico.
Ya los griegos en el estudio del movimiento de los astros atribuían a éstos un movimiento uniforme y circular alrededor de la Tierra. Con Kepler, unos veinte siglos después, se logran obtener datos lo suficientemente precisos para determinar, siguiendo las ideas de Copérnico, que los planetas describían órbitas
elípticas alrededor del Sol y no del todo uniformes. Galileo, contemporáneo suyo, complementa las ideas
de Kepler, preparando al mundo para la aceptación del sistema heliocéntrico. Hasta aquí todo el estudio de
las trayectorias planetarias se basaba en una mera descripción del movimiento y deducción de sus
ecuaciones. En el siglo XVII, con Newton, la vieja pregunta se sustituye por otra nueva: ¿qué fuerzas
actúan sobre los planetas para explicar las trayectorias observadas?. Este interrogante señala el inicio de
su estudio dinámico.
A partir de la lectura del texto anterior, indica si los científicos que se citan (Aristóteles, Galileo, Newton,
Kepler y Copérnico) realizaron trabajos de cinemática o de dinámica.
En la lección anterior hemos estudiado 'cómo' se mueven los objetos, sin ocuparnos de 'por qué' se
mueven. Abordamos ahora este segundo aspecto para tratar de responder a preguntas como: ¿por qué un
cuerpo lanzado horizontalmente se mueve describiendo una par bola?, ¿por qué un cuerpo cae con
aceleración constante?, ¿por qué se produce el movimiento circular de los planetas?, etc.
La dinámica, que es el objeto de estudio de esta lección, constituye la parte de la Física que se ocupa de
las causas de la modificación del movimiento de los cuerpos.
En este capítulo trataremos cuidadosamente problemas simples para ilustrar los métodos generales de
resolución. Los problemas reales suelen ser más complejos que los casos expuestos, pero los métodos
que deben seguirse para su solución son ampliaciones naturales de los procedimientos que aquí se van a
tratar. Comenzamos recordando los enunciados de las leyes de Nexton.
2. CONCEPTO DE FUERZA
Actividad 3
Existen muchas maneras de hacer fuerza sobre los objetos: empujar, estirar, tirar, exprimir, torcer, levantar,
golpear, etc. Sin embargo, los efectos que producen las fuerzas se pueden clasificar sólo en dos grupos.
Cita ejemplos en los que se ponga de manifiesto los efectos de las fuerzas y clasifícalos en dos grupos.
Actividad 4
(a) Si dos niños están tirando de un juguete con toda la fuerza posible, ¿cómo serán las fuerzas que
ejercen si el juguete no se mueve?.
(b) Si cada uno de dichos niños tirara separadamente de un muelle fijo por un extremo con la misma fuerza
que antes, ¿cómo serían los efectos que observaríamos?.
(c) Vemos que se pueden comparar fuerzas observando los efectos que producen. Con la ayuda de un
muelle, diseña un "medidor de fuerzas". Incluye en el diseño la manera de calibrarlo y la forma de
manejo.
Actividad 5
Razona si los siguientes enunciados contienen toda la información necesaria para conocer sin ningún tipo
de duda la fuerza que se describe en cada caso:
(a) El asno del tio Ricardo empuja el carro con una fuerza de 1500 N.
(b) Myriam trasladó la silla desde la mesa hasta la ventana empujando con una sola mano.
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(c) Al finalizar la clase, Eduardo levanta los libros ejerciendo una fuerza de 720 N que actúa verticalmente
hacia arriba
(d) ¿Qué conclusiones obtienes?.
Actividad 6
LA FUERZA ES UNA MAGNITUD VECTORIAL
Conviene distinguir en física dos clases de magnitudes que llamamos escalares y vectores. Son escalares
aquellas magnitudes como la masa, la temperatura, etc., cuyo valor queda fijado por un número (con su
unidad correspondiente). Por el contrario se llaman vectores a las magnitudes que, como la fuerza,
requieren para su especificación completa no sólo su valor numérico sino también, la dirección y el
sentido en los que manifiestan su significado. Es claro, por ejemplo, que el módulo de una fuerza es un
dato incompleto al que debe añadirse la dirección (orientación en el espacio) y el sentido (hacia adelante
o hacia atrás) en que actúa.
Un vector se representa gráficamente mediante un segmento orientado; en él distinguimos -fig. 1-:
 El módulo, definido por la longitud del segmento AB.
 La dirección, que es la recta que pasa por los puntos A y B.
 El sentido, indicado por la punta de la flecha.
 Los puntos origen (A) y extremo (B).
B
A
FIG. 1
Al escribir, representaremos los vectores con letra negrita (v) o mediante letra normal con un guión o flecha
encima ( v ), mientras que el módulo del vector se representa con el símbolo del vector entre barras ( v ) o
mediante la letra normal.
Actividad 7
Representa las siguientes fuerzas:
(a) de 4 N, dirección y sentido 30º
(b) de 6 N, dirección y sentido 120º
(c) de 3 N, dirección y sentido -135º
(d) de 5 N, dirección y sentido 180º
(e) de 10 N, dirección y sentido 90º
(f) de 8 N, dirección y sentido -90º.
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Actividad 8
¿Qué módulo, dirección y sentido tienen las fuerzas representadas en la fig. 2?. Utiliza, si es preciso, el
semicírculo graduado.
F1
F2
F3
F1
F1
F1
F4
FIG. 2
1N
F1
Actividad 9
(a) ¿Permanecerán en reposo los cuerpos sobre los que actúan los sistemas de fuerzas señalados en la fig.
3?.
(b) ¿Cómo sería la fuerza que podría sustituir a las dos anteriores produciendo el mismo efecto?.
F1
F1
F2
F2
FIG. 3
Actividad 10
FUERZA RESULTANTE
La fuerza resultante, o simplemente resultante, de varias fuerzas es una fuerza única que las puede
sustituir produciendo el mismo efecto que todas las dadas.
(a) Calcula la fuerza resultante de los sistemas representados en la fig. 4.
(b) El caso (iii) es un ejemplo de fuerzas en equilibrio. ¿Cuál es la definición de equilibrio?.
F1
F1
F1
F2
F3
F3
FIG. 4
F2
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Actividad 11
(a) Si un cuerpo en equilibrio se encuentra sometido a la acción de tres fuerzas, tal como indica la fig. 5,
¿cómo debería ser la resultante de F1 y F2 respecto de F3 ?. Dibújala.
(b) ¿Qué relación geométrica guardan F1 y F2 con su resultante
F1
F2
F3
FIG. 5
Actividad 12
Dibuja dos fuerzas concurrentes de 9 y 12 N, respectivamente, que formen un ángulo de 90º. Construye
gráficamente la resultante. Calcula su módulo.
(Respuesta: 15 N).
Actividad 13
En el sistema de fuerzas de la fig. 6: (a) calcula la resultante y su módulo (b) dibuja una fuerza que
equilibre a las anteriores.
15N
5N
10N
FIG. 6
(Respuesta: 13 N).
3N
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Actividad 14
Dos caballos tiran de una barca a lo largo de un canal mediante sendas cuerdas que forman un ángulo de
90º. Los módulos de las fuerzas son, respectivamente, 1000 N y 900 N. Calcula el módulo de la resultante.
(Respuesta: 1345 N).
Actividad 15
Cinco muchachos tiran de otras tantas cuerdas concurrentes contra un hombre muy corpulento, tal como
indica la figura 7.
(a) Halla gráficamente la resultante.
(b) Dibuja la fuerza que debe realizar el forzudo para que se equilibre con las de los muchachos.
60N
80N
120N
30N
FIG. 7
100N
Actividad 16
Indica cómo han de estar dibujadas las fuerzas F1 y F2 para que se cumpla que el módulo de la
resultante de ambas fuerzas sea:
(a) igual a la suma de los módulos de dichas fuerzas
(b) igual a la diferencia de sus módulos
(c) cero
(d) menor que la suma de sus módulos
(e) mayor que la suma de sus módulos.
3. LAS FUERZAS COMO CAUSA DE LA MODIFICACION DEL MOVIMIENTO: PRIMERA LEY DE
NEWTON.
Actividad 17
Considera si es correcto o no el siguiente enunciado:
"Para que un cuerpo permanezca en movimiento es necesario que actúe sobre él una fuerza, y al cesar
ésta, el cuerpo vuelve a su estado natural: el reposo. Por tanto, la fuerza es la causa del movimiento".
Actividad18
EXPLICACION ARISTOTELICA DEL MOVIMIENTO
La idea de fuerza jugó un papel importante en la dinámica de Aristóteles, veinte siglos antes de Newton. En
la Física de Aristóteles había dos tipos de movimiento: movimiento natural y movimiento violento. Por
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ejemplo, el movimiento de una piedra que cae era un movimiento natural (porque se movía hacia su lugar
natural). Por otro lado, el movimiento de una piedra al ser elevada con movimiento uniforme se consideraba
un movimiento violento porque se alejaba de su lugar natural; para mantener este movimiento uniforme
violento se requería una fuerza aplicada continuamente. También era precisa una fuerza para iniciar o
mantener en movimiento un objeto a lo largo de una superficie horizontal, porque lo 'natural' era el estado
de reposo.
Indica cuáles de los siguientes movimientos pueden considerarse 'naturales' y cuáles 'forzados o violentos'.
(a) Caída 'libre' de un cuerpo en el aire.
(b) Lanzamiento de una piedra hacia arriba.
(c) Tirar de un globo hacia abajo mediante una cuerda.
(d) La ascensión del humo.
(e) La rotación de la Luna alrededor de la Tierra.
Actividad 19
Las ideas aristotélicas estaban de acuerdo con muchas observaciones cotidianas. Sin embargo, se
presentaban algunas dificultades. Indica cómo razonaría Aristóteles para dar respuesta a la siguiente
pregunta:
¿Cuál es la fuerza que mantiene en movimiento a una flecha una vez lanzada?.
Actividad 20
Para leer con tranquilidad en casa
CRITICA DE GALILEO
La crítica del concepto aristotélico de fuerza fue realizada por Galileo, quien profundizó en el análisis del
movimiento de los cuerpos, observando que un péndulo puede mantener su movimiento durante mucho
tiempo y que un cuerpo que se desliza por una superficie con un impulso inicial tarda más en detenerse
cuanto más pulida esté la superficie. Reproducimos a continuación algunos pasajes de su obra "Dos
nuevas ciencias", en la que Simplicio representa el punto de vista escolástico y Salviati defiende las ideas
del propio Galileo.
SALVIATI (dirigiéndose a Simplicio): Dí, si tuvieses una superficie de una sustancia tan dura como el acero
y tan lisa y pulimentada como un espejo, que no fuese horizontal, sino algo inclinada, y colocases sobre ella
una bola de bronce perfectamente esférica, ¿qué piensas que pasaría cuando la soltases? ¿No crees tú,
como yo, que se quedaría allí?.
SIMPLICIO: ¿Si la superficie estuviese inclinada?.
SALVIATI: Sí, ya te lo he dicho.
SIMPLICIO: No puedo concebir que se quedase allí. Creo que tendría una gran propensión a moverse
según el declive.
SALVIATI: Ten bien en cuenta lo que dices, Simplicio, pues yo creo que se quedaría allí donde la pusieras.
SIMPLICIO: Si haces tales suposiciones, Salviati, no me admiraré de que llegues a las más absurdas conclusiones.
SALVIATI: ¿Estás pues seguro de que movería libremente según el declive?.
SIMPLICIO: ¿Quién lo duda?.
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SALVIATI: ¿Yesto lo creerías no porque yo te lo digo, pues he intentado persuadirte de pensar lo contrario,
sino por tí mismo, por tu propio juicio natural?.
SIMPLICIO: Ahora veo tu juego; decías que creías esto para probarme y para intentar que pronunciase
aquellas palabras con las cuales condenarme.
SALVIATI: Tienes razón, y ¿qué longitud y con qué velocidad se movería la esfera?. Pero ten en cuenta
que he puesto el ejemplo de una esfera perfectamente redonda y un plano exquisitamente pulimentado, de
tal forma que haya que descartar todos los impedimentos accidentales y externos. También habría que
quitar los impedimentos originados por la resistencia del aire o de cualquier otro obstáculo causal, caso de
que lo hubiera.
SIMPLICIO: Comprendo muy bien lo que quieres decir y te contesto que la esfera continuaría moviéndose
'in infinitum', si el plano fuese lo suficientemente largo, y acelerándose continuamente. Tal es la naturaleza
de los cuerpos pesados que adquieren fuerza con la marcha, y cuanto mayor sea la inclinación será mayor
la velocidad.
De manera similar Salviati obliga a Simplicio a reconocer que si se lanza la esfera por el plano inclinado
hacia arriba, irá perdiendo velocidad hasta pararse. Por último, Salviati plantea el caso intermedio, es decir,
el lanzamiento de la esfera por un plano horizontal y 'exquisitamente pulimentado'.
SALVIATI: Parece entonces que hasta aquí me has explicado bien lo que ocurre a un cuerpo en dos
planos diferentes. Ahora dime: ¿qué le sucederá a este mismo cuerpo sobre una superficie que no tuviese
inclinación ni hacia arriba ni hacia abajo?.
SIMPLICIO: Ahora debes darme algo de tiempo para pensar mi contestación. No habiendo inclinación
hacia abajo no podría tener tendencia natural al movimiento; y no habiendo inclinación hacia arriba no
podría haber resistencia a su movimiento. De donde se deduce su indiferencia tanto para la propulsión
como para la resistencia; por lo tanto pienso que se quedaría naturalmente allí ...
SALVIATI: Yo pienso lo mismo, con tal que se le hubiese dejado con cuidado; pero si se le hubiera dado un
impulso hacia algún lado, ¿qué sucedería?.
SIMPLICIO: Que se movería hacia ese lado.
SALVIATI: Pero, ¿con qué clase de movimiento? ¿continuamente acelerado como en un plano inclinado
hacia abajo o continuamente retardado como en un plano inclinado hacia arriba?.
SIMPLICIO: No puedo descubrir ninguna causa de aceleración ni de retardo si no hay inclinación hacia
abajo ni pendiente hacia arriba.
SALVIATI: Bien, si no hay causa de retardo, menos la habrá para detenerlo; por tanto, ¿qué distancia
recorrerá el cuerpo en movimiento?.
SIMPLICIO: Pues tanta como la superficie ni inclinada ni ascendente.
SALVIATI: Por tanto si ese espacio fuera indefinido, el movimiento sobre él no tendría fin, esto es, sería
perpetuo.
SIMPLICIO: Yo creo que sí, si el cuerpo era de materia duradera.
¿Con cuál de las siguientes afirmaciones estás de acuerdo? ¿Por qué?.
 "La fuerza es la causa del movimiento" (Aristóteles).
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 "La fuerza es la causa de que cambie el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo" (Alumno de 1º
de Bachillerato).
Actividad 21
Dibuja las fuerzas que están actuando sobre el móvil en los siguientes casos:
(a) Un cuerpo avanza según una trayectoria rectilínea con velocidad constante -fig. 9(a)-.
(b) Un cuerpo, que se está moviendo según una trayectoria rectilínea, comienza a frenar -fig. 9(b)-.
(c) Un cuerpo, que se está moviendo sobre una trayectoria rectilínea, comienza a acelerar -fig. 9(c)-.
(a)
(b)
(c)
FIG. 9
Actividad 22
PRIMERA LEY DE NEWTON
En contra de nuestras ideas intuitivas y de las ideas de Aristóteles, Newton propuso que tan 'natural' es
permanecer en reposo como llevar un MRU. Esta proposición constituye la primera ley de Newton, cuyo
enunciado en lenguaje actual es:
Todo objeto permanece en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre
él una fuerza resultante.
Recíprocamente,
si un objeto está en reposo o c n movimiento rectilíneo uniforme, la fuerza resultante que actúa sobre él
debe ser cero.
Se denomina fuerza resultante, o simplemente resultante, de varias fuerzas a una fuerza única que las
puede sustituir produciendo el mismo efecto que todas las dadas.
Actividad 23
(a) ¿Qué explicación daría un aristotélico al hecho de que un ciclista deba seguir pedaleando para moverse
en línea recta con velocidad constante?.
(b) ¿Cómo explicaría Newton, a partir de la 1ª ley, el mismo hecho?.
Actividad 24
Emiliano va encima de un vagón de ferrocarril, el cuál está cubierto de escarcha, por lo que el rozamiento
puede considerarse nulo. Razona qué ocurrirá en los siguientes casos:
(a) el tren arranca bruscamente
(b) el tren frena rápidamente
(c) el tren toma una curva a gran velocidad.
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Actividad 25
Un paracaidista está cayendo en la atmósfera sometido a dos fuerzas verticales: su peso hacia
abajo y la resistencia del aire hacia arriba. Al abrir el paracaídas dichas fuerzas se
equilibran. Justifica razonadamente cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
(a) El paracaidista quedará parado en el aire.
(b) El paracaidista seguirá cayendo con menor velocidad.
(c) El paracaidista seguirá cayendo con la velocidad constante que tenga en el momento de
abrirse el paracaidas.
(d) El paracaidista seguirá cayendo con una aceleración de 9'8 m/s².
Actividad 26
¿Por qué al colocar una baso sobre un papel y tirar con fuerza de éste el baso no se mueve?.
Actividad 27.
Explica los siguiente hechos a la luz de la primera ley de
Newton.
4. LAS FUERZAS COMO RESULTADO DE LAS INTERACCIONES: TERCERA LEY DE NEWTON
Actividad 28
Cuando dos cuerpos A y B interaccionan se ejercen fuerzas mutuamente. Esto significa que el cuerpo A
hace una fuerza sobre el cuerpo B y simultáneamente el B ejerce una fuerza sobre el A. Por ejemplo,
supongamos que una bola de billar golpea a otra que está en reposo y que ambas se mueven después del
choque -fig. 10-. Es evidente que deben existir fuerzas sobre cada una de las bolas porque las dos
modifican sus movimientos.
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 Antes del choque
 En el momento del choque
F AB
F BA
 Después del choque
FIG. 10
¿Cómo se puede demostrar que también se producen fuerzas mutuas en las siguientes situaciones:
(a) Un alumno sostiene un libro con la mano.
(b) Una alumna da con la mano un fuerte golpe sobre la mesa.
Actividad 29
Dibuja las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo en las siguientes interacciones:
(a) Un libro sobre la mano.
(b) Las manos de un alumno empujando la pared sin conseguir derribarla.
(c) Dos imanes que se encuentran próximos.
(d) El balón lanzado por un niño rompiendo el cristal de una ventana.
Actividad 30
TERCERA LEY DE NEWTON
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que un cuerpo, por sí mismo, no puede nunca
experimentar ni ejercer ninguna fuerza. Las fuerzas surgen solamente como resultado de las
interacciones y, por lo tanto, siempre se dan por parejas. Esto fue recogido por Newton en su 3ª
ley, que se enuncia así:
Cuando dos cuerpos interaccionan, las fuerzas que se ejercen el uno al otro son iguales
en módulo y dirección pero de sentido contrario.
Actividad 31
Los pares de fuerzas que aparecen en la 3ª ley de Newton reciben a veces el nombre de fuerzas de
acción-reacción. Estos términos son inadecuados, ya que sugieren un orden de aparición; por el contrario,
ambas son causa simultánea una de la otra. Si dichas fuerzas son iguales y opuestas, ¿por qué se mueven
los cuerpos? ¿Falla la 3ª ley?.
Actividad 32
Una pelota rebota contra el suelo, invirtiendo su velocidad.
(a) ¿Existe en dicho proceso alguna fuerza, además de la atracción gravitatoria, sobre la pelota?
¿Quién ejerce dicha fuerza?.
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(b)¿Cuánto vale la fuerza ejercida por la pelota sobre la Tierra? ¿Por qué?.
(c) ¿Por qué no se acelera la Tierra como consecuencia del choque con la pelota?.
Actividad 33
Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre la caja y el pilar que soporta la caja -fig. 11-.
FIG. 11
Actividad 34
(a) La Tierra atrae a una manzana con una fuerza de 2 N, ¿cuál es la fuerza con que la manzana atrae a la
Tierra?.
(b) Bajo la acción de la fuerza anterior, al dejar la manzana en libertad, ésta se pone en movimiento. ¿Con
qué aceleración?.
(c) Calcula la aceleración que experimenta la Tierra, cuya masa es 6.1024 kg, sometida a la fuerza que
sobre ella ejerce la manzana.
Actividad 35
Si hago una fuerza contra la pared, ésta hace contra mí una fuerza del
mismo módulo, de acuerdo con la 3ª ley de Newton. Sin embargo, yo no
me muevo. ¿A qué es debido?.
Si la fuerza que hace el asno
sobre el hombre es igual a la que hace este sobre el burro
¿Por qué no se mueve ninguno de los dos si están sufriendo
una fuerza?
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Actividad 36
Aplicando la 3ª ley de Newton, explica qué le ocurrirá a un patinador en reposo que dispara un mosquetón.
Actividad 37 Dibuja en el tren todas la fuerzas debidas a la tercera ley de Newton.
5. DEFINICION CUANTITATIVA DE FUERZA: SEGUNDA LEY DE NEWTON
Actividad 38
Hasta ahora, hemos estudiado el comportamiento dinámico de un cuerpo para el que la resultante de las
fuerzas que actúan sobre el mismo es cero. Sabemos, de acuerdo con la 1ª ley, que dicho cuerpo o está
en reposo o se desplaza en línea recta con velocidad constante. Desde este punto de vista, el reposo y el
MRU son equivalentes.
Estudiaremos seguidamente lo que le ocurre a un cuerpo para el que la fuerza resultante es distinta de
cero (decimos en ese caso que hay una fuerza neta actuando sobre el cuerpo).
(a) ¿Cómo crees que será el movimiento originado por una fuerza neta al actuar sobre un cuerpo?.
(b) ¿Qué magnitud cinemática (posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, ...) expresa mejor cuándo
se produce una modificación del movimiento?.
(c) Propón, a título de hipótesis, qué relación existir entre la fuerza neta aplicada a un cuerpo y la
aceleración producida al mismo.
Actividad 39
Cuaderno de prácticas como pequeñas investigaciones nº 2. Dinámica del movimiento.
Investigaciones 10, 11, 13 y 13
En dichas investigaciones se propone que analicéis la relación que existe entre la fuerza aplicada y la
aceleración producida. En la investigación 10, una masa m que se mueve en una superficie horizontal es
empujada por otra masa m1 que desciende una altura h y transmite una tensión T a la masa m mediante
una cuerda y una polea.
En la investigación 11, la masa m desciende por un plano inclinado con aceleración a, debido a la
actuación de una fuerza F, componente horizontal del peso.
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En la investigación 12 y 13, la masa m que se mueve por e carril de aire sufre la acción de dos fuerzas: la
debida a la tensión que transmite m1 que desciende o asciende verticalmente y se encuentra unida a m
mediante una cuerda y, por la fuerza debida a la componente horizontal del peso.
VER CUADERNO DE PRÁCTICAS COMO PEQUEÑAS INVESTIGACIONES.
Actividad 40. ¿Qué es esto de la masa?
(a) Tal como hemos ido demostrando, existe uan relación directa entre la fuerza aplicada a un móvil y la
aceleración producida. Ahora vamos a intentar darle un significado a la constante que aparece en la
relación Fneta = cte . a. Supongamos que aplicamos la misma fuerza F a los cuerpos indicados en la
siguiente tabla. Complétala con las palabras grande, pequeña o nula.
Cuerpo 1
Cuerpo 2
____________________________________________________
Constante
grande
pequeña
Aceleración
____________________________________________________
(b) ¿Cuál es el significado de la constante mencionada?.
Actividad 41
SEGUNDA LEY DE NEWTON
La relación obtenida corresponde a la 2ª ley de Newton. Actualmente, se enuncia como sigue:
La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo material es proporcional, y en la misma dirección y sentido, que
la aceleración del cuerpo.
Nótese que la 2ª ley es una definición operativa de fuerza. Matemáticamente, esta ley se expresa:
Fneta = m a
donde la constante de proporcionalidad m recibe el nombre de masa inerte.
Su expresión vectorial es Fneta  m a donde la aceleración tiene la misma dirección y sentido que la
fuerza resultante que actúa sobre m.
La unidad de fuerza en el SI es el newton, simbolizado por la letra 'N' y definido a partir de la 2ª ley de
Newton, siempre que asignemos a la masa la unidad kilogramo (kg):
1 N = 1 kg . 1 m/s² = 1 kg.m/s²
El 'newton' es la fuerza necesaria para producir a una masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s².
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Actividad 42. Completa la siguiente tabla:
________________________________________________________
Fneta(N) masa(kg) aceleración (m/s²)
________________________________________________________
A 1
1
1 abajo
B 24 oeste
2
12 oeste
C
3
8 afuera
D 3'6 derecha
12
E 30 este
10
________________________________________________________
Actividad 43
Utilizando la gráfica de la fig. 12, elabora otra en la que se represente la fuerza neta frente al tiempo.
Supón que se trata de un cuerpo de 500 g de masa.
v (m/s)
5
2
5
10
20
25
30
FIG. 12
t(s)
Actividad 44
¿Existe una fuerza neta actuando cuando un cuerpo:
(a) se mueve con rapidez constante sobre una circunferencia
(b) que se está moviendo en línea recta va disminuyendo su rapidez
(c) se mueve con rapidez constante sobre una línea recta?. Razona la respuesta.
Actividad 45
Un automóvil, que marcha a 72 km/h, frena y se detiene en 50 s. Si su masa es de 1 T, halla la fuerza que
lo ha detenido.
(Respuesta: -400 N).
Actividad 46
Halla el tiempo que ha estado actuando una fuerza de 120 N sobre un cuerpo de 10 kg de masa si éste
alcanza una velocidad de 20 m/s partiendo del reposo.
(Respuesta: 1'67 s).
Actividad 47
Los siguientes esquemas -fig. 13- corresponden a movimientos rectilíneos.
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(a) Calcula la aceleración en cada caso.
(b) Dibuja la fuerza neta que actúa sobre el coche en los tres casos.
vo = 2 m/s
v = 6 m/s
t=0s
t = 30 s
(A)
vo = 3 m/s
v = 1 m/s
(B)
t=0s
vo = 2 m/s
t=2s
v = 2 m/s
(C)
t=0s
t = 15 s
FIG. 13
6.- FUERZAS DE CONTACTO Y DE ACCION A DISTANCIA
LAS FUERZAS SIEMPRE REQUIEREN UN AGENTE
La aplicación de las leyes de la dinámica comienza con la elección del objeto cuya aceleración debe
determinarse y sobre el que actuarán algunas fuerzas. Aunque esto parece simple, es muy importante
identificar claramente tanto el cuerpo que se mueve como las fuerzas que actúan sobre el mismo.
Como es bien sabido, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son debidas necesariamente a agentes
externos y una de nuestras primeras decisiones debe ser determinar qué fuerzas son esas.
En primer lugar, existen fuerzas externas que se ejercen sobre un cuerpo en cualquier punto donde el
cuerpo establece un contacto; son las llamadas fuerzas de contacto. Un ejemplo de este tipo de fuerzas lo
constituye las que existen en los puntos en que el aire toca a los cuerpos, aunque normalmente las fuerzas
de resistencia del aire son despreciables para velocidades pequeñas y cuerpos pesados.
En segundo lugar, existen fuerzas externas de acción a distancia, es deci , fuerzas que actúan a través del
espacio que existe entre el cuerpo cuyo movimiento se analiza y el agente de la fuerza.
Propón ejemplos de fuerzas de contacto y de acción a distancia.
Actividad 48
Un cuerpo que descansa sobre una mesa horizontal es arrastrado mediante una cuerda ligera que actúa
horizontalmente.
(a) Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
(b) Clasifícalas en fuerzas de contacto y de acción a distancia.
(c) ¿Cómo se modifican las respuestas dadas según que la mesa sea lisa o rugosa?.
(d) De acuerdo con la 3ª ley de Newton, las fuerzas actúan siempre por pares. ¿Cuáles son los pares
en este caso?. Dibújalos.
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7. INTERACCIONES EN LA NATURALEZA
7.1. Fuerza gravitatoria o peso
Actividad 49
Indica si estás o no de acuerdo, desde el punto de vista de la Física, con las siguientes afirmaciones,
extraidas del lenguaje cotidiano:
 "Estas navidades he engordado 5 kilos".
 "Durante el embarazo llegué a pesar 70 kilogramos"
 "Me acabo de pesar y he comprobado que mi masa se mantiene invariable: 112 kilogramos".
Actividad 50
PESO VS MASA
El término peso se usa normalmente en la conversación diaria como si significara lo mismo que masa. Esto
es totalmente incorrecto; en Física se define el peso de un cuerpo como la medida de la fuerza gravitatoria
sobre el mismo. Tu peso es la fuerza de atracción que el planeta ejerce sobre ti, ya estés de pie, sentado o
en cualquier otra circunstancia. Sólo en el espacio interestelar, muy lejos de las estrellas y los planetas, no
pesarías nada en absoluto. Tu masa, sin embargo, nunca puede ser nula.
Actividad 51
LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
Hacia el año 150 a.C. los griegos conocían la forma y dimensiones de la Tierra y la distancia de ésta a la
Luna. También sabían de la existencia de cuerpos celestes (Sol, Luna, Venus, Júpiter, Marte, Saturno y
Mercurio) que se mueven respecto a las estrellas fijas. Estos cuerpos fueron denominados planetas, que en
griego significa 'errantes'. Sin embargo, no pudieron avanzar mucho más. Concluyeron que el universo, que
para ellos no iba más allá del Sistema Solar, era una esfera de varios millones de km de diámetro en cuyo
centro se encontraba la Tierra y a su alrededor los planetas en órbitas circulares. Tales ideas, que apenas
progresaron en los siguientes 1500 años, quedaron plasmadas en las obras de Claudio Ptolomeo (siglo II
a.C.). Este astrónomo alejandrino propuso como modelo del universo el llamado sistema geocéntrico, en el
que la Tierra ocupa el centro.
La construcción de un nuevo modelo del Sistema Solar fue iniciada por Nicolás Copérnico (1473-1543),
quien afirmó que era el Sol, y no la Tierra, el astro situado en el centro del universo. Surge así el modelo
denominado sistema heliocéntrico, en el que la Tierra y los demás planetas giran alrededor del Sol en
circunferencias perfectas. Copérnico sufrió una gran oposición por su teoría, sobre todo por parte de la
Iglesia católica. Sin embargo, el sistema heliocéntrico, aunque tampoco es un modelo exacto, proporciona
predicciones más acordes con las observaciones y simplifica los cálculos matemáticos.
Fue hacia 1600 cuando se construyó, gracias a las excelentes observaciones registradas por Tycho Brahe
(1546- 1601), el primer modelo exacto del Sistema Solar. A partir de esta información, Johannes Kepler
(1572-1630) enunció sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas. Finalmente, Isaac Newton
(1642-1727) explicó la causa por la que los planetas se mueven de acuerdo con las leyes de Kepler y
generalizó el comportamiento del Sistema Solar a todos los cuerpos del universo enunciando la ley de
gravitación universal. Esta ley establece que:
Todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre ellas.
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Así, si dos cuerpos de masas m1 y m2 están separados una distancia r, la fuerza de atracción entre ambos
está dada por:
m1 m2
F = G ───────
r²
donde G = 6'67.10-11 N.m²/kg² es la llamada constante de gravitación universal.
Para el caso particular de la Tierra y un cuerpo situado en su superficie, dicha ley se expresa:
MT m
F = G ─────── = m g
RT²
MT
con g = G ─────
RT²
Fíjate que g es una constante cuyo valor se puede calcular a partir de la constante de gravitación universal
y de los valores de la masa y radio de la Tierra. Se admite para g un valor de 9'8 N/kg (ó m/s²). Dicha
magnitud puede ser considerada como la aceleración que experimentan todos los cuerpos en la superficie
de la Tierra.
La fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae a un cuerpo situado en su superficie recibe el nombre de peso
(P). Su módulo se calcula mediante la expresión:
P=mg
(con g = 9'8 N/kg)
Date cuenta que el módulo del peso de un cuerpo y su masa están relacionados entre sí; son
directamente proporcionales.
Actividad 52
(a) La única fuerza que actúa sobre un cuerpo que cae libremente, si prescindimos del rozamiento con el
aire, es el peso. Aplicando la 2ª ley de Newton, calcula la aceleración de dicho cuerpo.
(b) Todos los objetos caen con la misma aceleración, independientemente de su masa, tal como afirmaba
Galileo. ¿Cómo lo explicarías?.
Actividad 53
Calcula la fuerza gravitatoria con que se atraen un chico de 40 kg de masa y una chica de 75 kg cuando se
encuentran a una distancia de 1 m. ¿Cuál es el peso de estos chicos?.
(Respuesta: 2.10-7 N; 392 y 735 N).
Actividad 54
(a) Calcula la fuerza gravitatoria con que se atraen la Tierra (de masa 6.1024 kg) y el Sol (cuya masa es
2.1030 kg) si están separados una distancia de 1'5.1011 m.
(b) Compara tu peso con la fuerza obtenida en el apartado anterior.
(Respuesta: 3'6.1022 N).
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Actividad 55
Un astronauta está en órbita alrededor de la Tierra en una nave espacial. La aceleración debida a la
gravedad a esta distancia es la mitad de la que hay en la superficie de la Tierra. ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son correctas?.
(a) El peso del astronauta es cero.
(b) La masa del astronauta es cero.
(c) El peso del astronauta es la mitad de su valor original.
(d) La masa del astronauta es la mitad de su valor original.
(e) El peso del astronauta permanece igual.
(f) La masa del astronauta permanece igual.
7.2. La fuerza normal
Actividad 56
Dibuja todas las fuerzas que actúan sobre los cuerpos mostrados en la fig. 14.
FIG. 14
Actividad 57
LA FUERZA NORMAL
La fuerza normal, o simplemente normal, se presenta siempre que haya dos cuerpos con superficies en
contacto. La dirección de esta fuerza es perpendicular a dichas superficies (recuerda que en Geometría
'normal' es sinónimo de 'perpendicular'). El sentido y el módulo de la normal dependen de las condiciones
dinámicas en que se encuentren los cuerpos en contacto.
7.3. Fuerza ejercida por los muelles. Ley de Hooke
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE UN MUELLE DESDE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO
Supongamos un muelle en su posición de equilibrio. Muelle relajado (1). Si alargamos el muelle
mediante una fuerza externa hasta la posición A, el muelle responde con una fuerza opuesta a la
que genera el estiramiento y proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio.
Así, se cumple que si he estirado el muelle una distancia x desde la posición de equilibrio (2), la
fuerza debida a la Ley de Hooke o fuerza ejercida por el muelle es F = -Kx; indicando el signo
menos que dicha fuerza actúa en sentido contrario al desplazamiento y proporcional a la
distancia separada de la posición de equilibrio. La constante de proporcionalidad K se denomina
constante elástica del muelle y sus unidades son N/m.
Como la fuerza es igual a la masa por la aceleración (2ª ley de Newton), se cumple que
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K
x , es decir, la aceleración que lleva el
m
extremos del muelle es proporcional a la fuerza aplicada o a la distancia x de estiramiento, con
signo cambiado
F = -Kx y
F =m.a;
-Kx = ma; a=-Kx/m;
a
x=0
(1)
F = - Kx
x=A
A
(2)
V=0
a = - (K/m)x
(3)
V
a = 0; F = 0
x= - A
F = -Kx
(4)
-A
V=0
a = (K/m)x
V
a= 0 F=0
Actividad 58
Una masa de 50 g se encuentra unida al extremo de un muelle de 1 m de longitud y constante K=50 N/m
se encuentra en equilibrio y en posición horizontal. Mediante una fuerza F se desplaza de su posición de
equilibrio una distancia 20 cm.
a) Determina la fuerza que actúa en dicho punto de máximo estiramiento.
Seguidamente se deja en libertad.
b) Determina la aceleración que alcanza la masa m cuando pasa por los puntos 10 cm a un lado y a otro
de la posición de equilibrio.
c) ¿Qué velocidad llevará la masa m en los puntos de máximo estiramiento del muelle?
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Actividad 59
Un muelle tiene 1 m de longitud en su posición de equilibrio vertical. Se coloca en su extremo una masa
de 500 g a consecuencia de lo cual se estira 50 cm. Determina la constante K del muelle.
Método utilizado para la determinación de las constantes K de los muelles
Δy
-mg
mg
7.4. La fuerza de rozamiento
Actividad 60
¿Qué efectos producirá la fuerza de rozamiento en el movimiento de un cuerpo de masa m sobre el que
actúa una fuerza F en una pista horizontal?. Discute los casos F > Froz, F = Froz y F < Froz.
Actividad 61
ROZAMIENTOS ESTATICO Y CINETICO
Las fuerzas de rozamiento están presentes en casi todos los fenómenos físicos que tienen lugar sobre la
Tierra. Se distingue entre dos tipos de rozamiento: cinético y estático, según que los cuerpos en contacto
estén o no en movimiento relativo.
Imaginemos un cuerpo que descansa sobre una mesa horizontal. El peso del cuerpo hace que éste
presione contra la mesa; como las partículas de la mesa poseen una gran resistencia a la compresión, la
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mesa ejercerá una fuerza hacia arriba, perpendicular a la superficie de contacto, sobre el cuerpo. De igual
modo, el cuerpo ejerce una fuerza hacia abajo sobre la mesa.
Apliquemos ahora al cuerpo una fuerza horizontal de módulo F. Si el valor de F es pequeño, el cuerpo no
se mueve; se concluye entonces que la mesa ejerce una fuerza horizontal igual y opuesta a la fuerza
exterior aplicada; aquélla recibe el nombre de fuerza de rozamiento estático, representada por fre.
(Naturalmente, el cuerpo ejerce una fuerza de rozamiento igual y opuesta sobre la mesa, tendiendo a
arrastrarla en el sentido de la fuerza exterior aplicada).
Si se aumenta lentamente el valor de F, llegar un momento en el que el cuerpo estará a punto de moverse.
En ese instante, la fuerza de rozamiento estático alcanza su máximo valor, que resulta ser proporcional a
la fuerza normal entre las superficies, esto es,
(fre)max = μe N
donde μe, llamado coeficiente de rozamiento estático, depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto.
Antes de que se alcance esta situación límite, se cumplirá evidentemente que:
fre < μe N
Si seguimos aumentando el módulo F de la fuerza exterior aplicada, la fuerza de rozamiento estático no
puede evitar el movimiento del cuerpo. Entonces, cuando el cuerpo se desliza sobre la superficie de la
mesa, se puede imaginar que se separan fragmentos microscópicos de las superficies en contacto, lo que
trae como consecuencia la aparición de una fuerza de rozamiento cinético que se opone al movimiento.
Tanto el rozamiento cinético como el estático son fenómenos complicados que aún hoy no están
completamente entendidos
Experimentalmente, resulta que la fuerza de rozamiento cinético, simbolizada por Frc, presenta las
siguientes características:
 Depende de la naturaleza de las superficies en contacto.
 Es directamente proporcional a la fuerza normal que se ejercen entre sí ambos cuerpos.
 En muchos casos de interés, es independiente del área de la superficie de contacto y de la
velocidad relativa con que se mueven los dos cuerpos.
 Siempre se cumple que μc es menor que μe.
Matemáticamente, estos factores se resumen en :
Frc = μc N
donde μc, que se denomina coeficiente de rozamiento cinético, depende de la naturaleza de las superficies
puestas en contacto.
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Sin interacciones en x. F rozamiento cero
Actúa una Fx; no se mueve: Fre = F1x
F1x
Fre
Actúa una Fx mayor; no se mueve: Fre = F2x
F2x
Fre
Actúa una Fx mayor; no se mueve: Fre = F3x; instante anterior al movimiento Fre máx = μe N
F3x
Fre
Fre máx > Frc; μe > μc
Comienza a moverse: actúa F4x, ligeramente menor que la fuerza de rozamiento estática; Frc = μc N
F4x > Frc ;
F4x - Frc =m.a
F4x
Frc
Sigue el movimiento: actúa F5x mayor que F4x pero Frc se mantiene invariable ; Frc = μc N
F5x > Frc ;
F5x - Frc =m.a2
F5x
Frc
Froz
Fre máx
Frc
Fre = Faplicada
Faplicada
Actividad 62
¿Cómo medirías experimentalmente los valores de los coeficientes de rozamiento estático y cinético?.
Cuaderno de prácticas de laboratorio como pequeñas investigaciones.
Investigación 14
Actividad 63
Sobre el suelo de la caja de un camión descansan varios objetos.
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(a) Si el camión acelera, ¿qué fuerza actúa sobre estos objetos para que también aceleren?.
(b) ¿Por qué se deslizan si la aceleración del camión es demasiado grande?.
Actividad 64
Un cuerpo de 10 kg de masa descansa sobre una superficie horizontal rugosa, de coeficiente μc = 0'8. Se
le aplica una fuerza horizontal de 200 N de módulo.
(a) Calcula la aceleración del cuerpo.
(b) ¿Cuál es su rapidez después de un desplazamiento de 1 km?.
Respuesta: (a) 12'2 m/s²; (b) 156 m/s).
Actividad 65
(a) Demuestra que cuando un cuerpo que está moviéndose con rapidez constante se detiene a causa del
rozamiento, su aceleración es -μc g.
(b) Un cuerpo de 500 g de masa, que se mueve con una rapidez de 3 m/s sobre un superficie horizontal
rugosa de μc = 0'2, se detiene a causa del rozamiento. Calcula el tiempo invertido en detenerse.
(Respuesta: (b) 1'5 s).
Actividad 66
(a) Aplicamos una fuerza de 5 N a un cuerpo de 5 kg de masa. La aceleración alcanzada no es de 1 m/s²,
sino de 0'75 m/s². ¿No se cumple la 2ª ley de Newton?. ¿Por qué?.
(b) Calcula el valor de la fuerza de rozamiento cinético.
(Respuesta: (b) 1'25 N).
Actividad 67
Se lanza una piedra al aire, hacia arriba. Sale de la mano del muchacho de la figura, pasa por el puntos A,
llega hasta el punto B y cae hacia abajo pasando nuevamente por el punto A. Dibuja la fuerza resultante
que actúa sobre la piedra.
B
C
A
FIG. 15
Piedra subiendo
Piedra en el
punto más alto
Piedra bajando
Actividad 68
Un cuerpo de 10 kg de masa descansa sobre un plano horizontal con rozamiento. Le aplicamos una fuerza
horizontal de 200 N. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0'8, calcula:
(a) la aceleración
(b) la velocidad después de un desplazamiento de 1 km.
(Respuesta: (a) 12'2 m/s²; (b) 155'9 m/s).
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Actividad 69
Se ejercen las fuerzas F1 y F2 sobre un cuerpo de 20 kg de masa que descansa sobre una superficie
horizontal con rozamiento, tal como indica la fig. 16. Calcula la velocidad y el desplazamiento en 10 s si el
cuerpo parte del reposo.
F1=100N
F2= 45N
μc=0,25
FIG. 16
(Respuesta: 48 m/s; 240 m).
Actividad 70
Un cuerpo de 500 g de masa lleva una velocidad de 3 m/s y se detiene por causa del rozamiento. Calcula
el tiempo que invierte en detenerse si el coeficiente de rozamiento cinético es 0'2.
(Respuesta: 1'53 s).
Actividad 71
En el punto A del esquema de la fig. 17 está situado un cuerpo de 20 kg de masa; tiramos de él con una
fuerza de 245 N hasta que llegamos al punto B, instante en el que la fuerza deja de actuar.
(a) Calcula la aceleración en el tramo AB y la velocidad en el punto B.
(b) ¿Se detendrá el cuerpo? ¿Por qué?.
F=245 N
A
μc=0,5
FIG. 17
B
F=0 N
(Respuesta: (a) 7'35 m/s², 38'3 m/s).
Actividad 72
Se ejercen las fuerzas F1 y F2 sobre un cuerpo de 12 kg de masa que se encuentra en reposo sobre una
superficie horizontal con rozamiento, tal como indica la fig. 18. Calcula la velocidad y el desplazamiento al
cabo de 0'5 min.
F2=98 N
F1=98 N
μc=0,25
FIG. 18
(Respuesta: 58'8 m/s, 882 m).
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Actividad 73
Calcula la fuerza neta que ha de actuar sobre un cuerpo de 400 g de masa para que adquiera una
aceleración de 7 m/s² si suponemos que el coeficiente de rozamiento cinético es 0'3.
(Respuesta: 3'98 N).
Actividad 74
Un cuerpo se está moviendo con una velocidad de 8 m/s y, por efecto del rozamiento, se detiene en 5 s.
Calcula el valor del coeficiente de rozamiento cinético.
(Respuesta: 0'16).
Actividad 75
Un cuerpo de 3 kg de masa, sobre el que están actuando las fuerzas indicadas en el esquema de la fig. 19,
se mueve con una aceleración de 4 m/s². ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento cinético?.
F1=20 N
F2=4 N
F1=13 N
μc=0,25
FIG. 19
(Respuesta: 0'58).
8 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON
8. 1 ALGORITMO GENERAL DE RESOLUCION DE PROBLEMAS DE DINAMICA
Actividad 76
PRESENTACION DEL ALGORITMO
El método general de resolución de problemas, que debe interpretarse en sentido amplio, consta de las
siguientes etapas:
Analizar cuidadosamente la situación planteada y dibujar un esquema claro.
2. Aislar el cuerpo y representar en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre el mismo. Si en el
problema intervienen más de un cuerpo, dicho diagrama se debe dibujar para cada uno de ellos por separado.
3. Elegir el sistema de referencia apropiado para cada cuerpo y aplicar la 2ª ley de Newton en forma de
componentes:
[Fneta]x = m ax
Fneta  m a
<==>
[Fneta]y = m ay
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4. Resolver algebraicamente ('con letricas') las ecuaciones resultantes, utilizando toda la información
adicional disponible. En particular, se debe hacer uso de las restricciones o ligaduras que tenga el
movimiento de cuerpos. Generalmente, serán incógnitas las componentes de la aceleración y algunas
fuerzas. Una vez resueltas las ecuaciones, se puede proceder a la aplicación numérica.
5. Analizar rigurosamente los resultados, comprobando si corresponden a previsiones razonables. Particularmente, conviene determinar si la solución obtenida predice los resultados que corresponderían a
situaciones límite.
Como ejemplo de aplicación del algoritmo propuesto, calcula la aceleración del cuerpo de la actividad
anterior.
Actividad 77
(a) Determina la aceleración de un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie lisa inclinada un
ángulo θ con la horizontal.
(b) Analiza los casos extremos correspondientes a θ = 0º y θ = 90º.
(Respuesta: (a) g sen θ).
Actividad 78
Sobre una mesa pulida tenemos dos bloques de masas m1 y m2 conectados por una cuerda ligera y uno
de ellos es impulsado por una fuerza horizontal de módulo F.
(a) Calcula las aceleraciones de los bloques y la tensión de la cuerda.
(b) Analiza los resultados obtenidos.
(Respuesta: (a) a = F/(m1+m2); T = m1 F/(m1+m2) ).
Actividad 79
NUESTRAS CUERDAS SON IDEALES
En la actividad anterior ha aparecido una situación muy común: una cuerda que conecta dos puntos posee
una tensión de módulo constante en toda su longitud, la cual actúa en la dirección de la cuerda en
cualquier punto. Esta aproximación es válida cuando:
 la masa de la cuerda es despreciable y
 no existen fuerzas tangenciales sobre la cuerda entre sus dos extremos.
En algunas aplicaciones prácticas estas condiciones no se cumplen y debe realizarse un análisis más
completo; pero esto cae fuera del alcance de este curso.
De los extremos de una cuerda ligera que pasa por una polea sin rozamiento cuelgan dos cuerpos de 2 y 6
kg de masa.
(a) ¿Se cumplen las condiciones requeridas para que el módulo de la tensión de la cuerda sea constante?.
(b) Calcula la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda.
(Respuesta: (b) 4'9 m/s², 29'4 N).
Actividad 80
Un bloque de masa m2 cuelga de una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento y está conectado a
otro bloque, de masa m1, situado sobre una mesa pulida -fig. 20-.
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(a) Determina la aceleración de cada uno de los bloques y la tensión de la cuerda.
(b) Analiza los casos m2>>m1 y m2<<m1.
(c) Realiza la aplicación numérica: m1 = 9 kg; m2 = 6 kg.
m1
m2
FIG. 20
(Respuesta: (a) a = m2 g/(m1+m2), T = m1 m2 g/(m1+m2)).
Actividad 81
La señorita Ramona, de 80 kg de masa, descansa sobre una balanza de resorte (como las que suele
haber en los baños domésticos) en el interior de un ascensor. ¿Cuál es la lectura de la balanza cuando el
ascensor:
(a) se mueve hacia arriba con una aceleración de 2 m/s²
(b) se mueve hacia abajo con una aceleración de 1 m/s²
(c) se mueve con rapidez constante?.
(Respuesta: (a) 944 N; (b) 704 N; (c) 784 N).
Actividad 82
Desde la base de un plano inclinado liso de ángulo θ, se lanza hacia arriba un bloque de masa m con una
rapidez vo -fig. 21-. El bloque se detiene cuando ha ascendido una altura h respecto a la horizontal.
(a) Calcula el valor de vo sabiendo que θ = 37º, h = 2 m y m = 1 kg.
(b) ¿Cómo se modifica el resultado anterior en función de la masa del bloque?.
v=0
v0
h
FIG. 21
θ
(Respuesta: (a) 6'3 m/s).
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Actividad 83
Dos bloques están conectados mediante una cuerda ligera, como indica la fig 22. El plano inclinado y la
polea carecen de rozamiento. Calcula la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda para θ = 30º,
m1 = 20 kg y m2 = 15 kg.
m1
m2
θ
FIG 22
(Respuesta: 1'4 m/s², 126 N).
Actividad 84
Un cuadro de 2 kg de masa está soportado por dos cuerdas, tal como indica la fig. 23. Halla las tensiones
de las cuerdas.
60º
30º
FIG 23
(Respuesta: 9'8 y 17'0 N).
Actividad 85
Un cuerpo de 120 kg de masa se mantiene en equilibrio suspendido de dos cuerdas -fig. 7.24-. Calcula las
tensiones de las cuerdas.
FIG 24
(Respuesta: 2352'0 y 2036'4 N).
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Actividad 86
(a) En el esquema de la fig. 25 calcula el módulo de la fuerza F necesaria para que el bloque que cuelga
ascienda con una aceleración de 2 m/s².
(b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?.
m 1 =25 kg
F
μc=0,2
m
FIG. 25
(Respuesta: (a) 335 N; (b) 236 N).
Actividad 87
Un bloque de masa m = 2 kg inicia su movimiento hacia arriba sobre un plano inclinado rugoso de θ = 45º
con una rapidez de 15 m/s. El coeficiente de rozamiento cinético es μc = 0'4.
(a) Calcula la aceleración del bloque.
(b) ¿Cuál es el desplazamiento del bloque sobre el plano inclinado hasta que se detiene?.
(c) Después de estar momentáneamente en reposo, el bloque inicia el descenso. ¿Qué rapidez
tendrá al volver a la base del plano inclinado?.
(Respuesta: (a) -9'7 m/s²; (b) 11'6 m; (c) 9'8 m/s).
Actividad 88
Dos bloques, de masas m1 = 5 kg y m2 = 10 kg, están conectados mediante una cuerda ligera, como indica
la fig. 26. El plano inclinado es rugoso, con μc = 0'5, siendo despreciable el rozamiento de la polea. El
plano inclinado forma un ángulo θ = 37º con la horizontal.
(a) Deduce razonadamente el sentido de movimiento del sistema.
(b) Calcula la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda.
m1
m2
θ
FIG. 26
(Respuesta: (b) 3'27 m/s², 65'3 N).
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9. FUERZA CENTRIPETA
EL MOVIMIENTO CIRCULAR Y LA FUERZA CENTRIPETA
Cuando una partícula se mueve con rapidez constante v en una circunferencia de radio R, posee una
aceleración centrípeta, de módulo v²/R, dirigida hacia el centro de la circunferencia. De acuerdo con la 2ª
ley de Newton, existirá una fuerza asociada a dicha aceleración; recibe el nombre de fuerza centrípeta y su
módulo está dado por:
v²
fc = m aN = m ──── .
R
Si la rapidez de la partícula es variable existirá, además de la aceleración centrípeta, una aceleración
tangencial. En este caso, la fuerza resultante tiene dos componentes: tangencial y normal o centrípeta.
Actividad 87
Una bola sujeta a una cuerda se mueve en una circunferencia vertical. Sean vs y vi las rapideces de la bola
en los puntos superior e inferior de la trayectoria, respectivamente.
(a) Calcula la tensión de la cuerda en dichos puntos.
(b) ¿Qué condición debe cumplir vs para que la cuerda no se destense?.
Actividad 88
Una piedra de 3 kg de masa, atada a una cuerda, gira en una circunferencia horizontal de 2 m de radio -fig.
27-. La cuerda forma un ángulo θ = 30º con la vertical.
(a) Determina, en módulo, dirección y sentido, la fuerza resultante sobre la piedra.
(b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?.
(c) Calcula la rapidez de la piedra.
FIG. 27
(Respuesta: (b) 34 N; (c) 3'4 m/s).
Actividad 89
Una moneda de masa m descansa sin deslizarse en el borde exterior de un disco de radio R que gira con
una velocidad angular constante w.
(a) ¿Existe una fuerza neta sobre la moneda? ¿Por qué la moneda no se desliza?.
(b) Calcula el módulo de la fuerza neta sobre la moneda si m = 3 g, R = 15'2 cm y w = 33 rev/min.
(Respuesta: (b) 5'56.10-3 N).
Actividad 90
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Un coche de 2000 kg de masa toma un curva sin peralte que tiene un radio de 100 m. La fuerza de
rozamiento máxima que la carretera puede ejercer sobre el coche es de 72000 N.
(a) ¿A qué rapidez máxima -en km/h- puede el coche tomar la curva sin peligro de deslizamiento?.
(b) ¿Cómo se modifica el resultado anterior si la carretera tiene encima una fina capa de hielo?.
(Respuesta: (a) 216 km/h).
10. MOMENTO LINEAL
A lo largo de la historia han sido varios los intentos de definir una magnitud que fuese una medida de
la «cantidad de movimiento» de un cuerpo. Para el filósofo Rene Descartes (1596-1650) la cantidad
de movimiento estaba relacionada con el producto de la cantidad de materia por la rapidez, aunque
él identificaba la cantidad de materia con el volumen más que con la masa.
El pensador alemán G. W. Leibniz (1646-1716) introdujo la noción de vis viva (equivalente a nuestra
actual energía cinética), definida como el producto de la masa por el cuadrado de la rapidez, como
una magnitud característica de la cantidad de movimiento.
Al igual que sus predecesores, Newton pensaba que el movimiento de un cuerpo debe caracterizarse por
algo más que por su rapidez. Un autobús escolar y una mosca que se muevan a la misma velocidad se
comportan de manera bastante diferente cuando ejercemos una fuerza sobre ellos para modificar sus
movimientos. El genio de Newton fue capaz de resolver la controversia entre los partidarios de Descartes
y Leibniz, introduciendo la magnitud que se define
a continuación.
El momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula se
define como el producto de su masa por su velocidad:
p=m.v
Es una magnitud vectorial de la misma dirección y sentido que la
velocidad, que depende del sistema de referencia elegido.
Se trata de un concepto físico muy interesante porque combina los
dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula:
su masa y su velocidad. Suministra más información que la
velocidad, como puede demostrarse sencillamente. Por ejemplo,
El gran matemático Gottfried
es más fácil poner en marcha o detener un camión vacío que
Leibniz (1646-1716).
uno lleno, aun si la velocidad fuese la misma en cada caso, ya
que el momento lineal del primero es menor Derivando con
respecto al tiempo los dos miembros de la ecuación (16), se obtiene:
Derivando con respecto al tiempo los dos miembros de la ecuación (16), se obtiene:
dp
dv
dp
m
 m.a  F ; F 
dt
dt
dt
cuyo significado físico es evidente:
La fuerza neta sobre una partícula es igual al ritmo de variación del momento lineal
Newton enunció su 2.a ley haciendo uso de la idea actual de momento lineal: «La variación del
movimiento es proporcional a la fuerza motora a que se le somete; y se realiza en la direc ción de la
recta en la que actúa».
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La ecuación anterior proporciona, pues, otra expresión matemática para la 2. a ley. De la misma se
deduce que para que varíe el momento lineal de una partícula tiene que actuar una fuerza neta. Por
lo tanto,
Si la fuerza neta que actúa sobre una partícula es cero, su momento lineal permanece
constante.
La constancia del momento lineal hay que entenderla en módulo, dirección y sentido, pues, no lo
olvidemos, se trata de una magnitud vectorial. Esta consecuencia se conoce como ley de
conservación del momento lineal para una partícula.
dp
dp
; si F  0, se cumple que
=0 de lo que se deduce que p  cte
dt
dt
p i  p f ; si se conserva como vector, tambien so módulo pi  p f y dirección y sentido.
F
Este teorema no aporta nada nuevo respecto a la información proporcionada por las leyes
de Newton.
Impulso de una fuerza
Los problemas de dinámica para una partícula se resuelven aplicando la 2. a ley de Newton, ya sea
como ecuación F  m.a ya sea como ecuación F 
dp
.
dt
A partir de la expresión de la segunda Ley; F  m.a , si multiplico ambos términos por Δt;
v  v0
t  m (v  v 0 )  p  p 0
t
al producto F.Δt se denomina impulso I de una fuerza
F .t  m.a.t  m
I  p  p0   p
El impulso neto que actúa sobre un cuerpo: Fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo, es
igual al incremento experimentado por la cantidad de movimiento o momento lineal.
De la relación que existe entre momento lineal e impulso, deducimos que las unidades de ambas
magnitudes son equivalentes, es decir: kg.m.s -1 = N.s
Físicamente, la ecuación anterior nos permite calcular la variación del momento lineal de una
partícula cuando se produce un cambio, también infinitesimal, en el tiempo.
Las ecuaciones anteriores establecen que el impulso de una fuerza es igual a la variación del
momento lineal de una partícula.
Dado que el impulso consiste básicamente en el producto de una fuerza por el tiempo, una fuerza
muy intensa que actúe durante un intervalo breve de tiempo puede producir un cambio en el momento
lineal comparable al de una fuerza débil actuando durante un intervalo de tiempo grande. (Por esta
razón el héroe de la película de espadachines siempre cae sobre un montón de paja en lugar de
hacerlo sobre el duro suelo).
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Actividad 91
Calcula la variación de la cantidad de movimiento que experimenta una locomotora de 15 toneladas que
viaja inicialmente a 72 km/h y queda en reposo al cabo de 80s. Calcula la fuerza que ha actuado,
suponiendo que es constante.
Actividad 92
Un proyectil de 4 kg que se mueve a una velocidad de 500m/s, se incrusta en un vehículo inicialmente en
reposo: Calcula la velocidad que adquirirá el vehículo con el proyectil incrustado.
Actividad 93
Un cañón de 500 kg tiene en su interior un proyectil de 15 kg, encontrándose el sistema inicialmente en
reposo. Posteriormente el cañón dispara horizontalmente el proyectil con una velocidad de 400 m/s.
Calcula la velocidad que adquirirá el cañón, utilizando el principio de conservación del momento lineal.
Actividad 94
Suponiendo que el proceso de disparo del ejercicio anterior dura una milésima de segundo y conociendo la
velocidad adquirida por el cañón y el proyectil, calcula la fuerza media que ha actuado sobre ambos
cuerpos.
Actividad 95
Un cuerpo de 10 kg se lanza a una velocidad de 40 m/s contra otro de 90 kg inicialmente en reposo, de
manera que queda incrustado en él. Calcular la velocidad final que adquieren ambos cuerpos juntos. Aplica
el principio de conservación del momento lineal.
Actividad 96
Un cuerpo de 5 kg se lanza con una velocidad de 10 m/s contra otro de 20 kg inicialmente en reposo. Tras
el impacto, el primero rebota con una velocidad de 6 m/s en sentido contrario al inicial. Calcular la
velocidad adquirida por el otro cuerpo.
Actividad 97
Un cañón de 800 kg dispara un proyectil de 20 kg con una velocidad de 500 m/s formando un ángulo de
30º con la horizontal. Calcular la velocidad horizontal de retroceso del cañón.
Calcular pro el mismo procedimiento la velocidad vertical de retroceso del cañón, que se manifestaría si la
tierra es suficientemente blanda.
Actividad 98
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Un astronauta que lleva una mochila propulsora que puede emitir gas, a razón de 0,10 kg s-1 a una
velocidad de 2000 m.s-1 se está alejando de la nave espacial a 4,0 m.s-1 . La masa del astronauta incluido
el equipo es 125 kg.
Actividad 99
¿Por qué las partes frontal y posterior de un coche tienen que ser fácilmente deformables?
Actividad 100
Una bola de plastilina y una pelota de goma de la misma masa se lanzan contra una pared. La pelota
rebota y la plastilina se queda pegada.
a) ¿Han experimentado ambos objetos el mismo cambio de cantidad de movimiento?
b) ¿Han ejercido el mismo impulso sobre la pared?
Actividad 101
¿Cuál es la velocidad de un automóvil de 1.000 kg que tiene la misma cantidad de movimiento que
un camión de 2,00 toneladas que circula a 60,0 km/h?
Actividad 102
Una pelota de tenis de 58 g de masa se saca con una velocidad de 45 m s 1. Si la raqueta ha estado en
contacto con la pelota durante 4,0 m s, ¿qué fuerza media ha hecho?
Actividad 103
Se dispara una bala de 20,0 g con un rifle que tiene un cañón de 80,0 cm. La velocidad de la bala al salir
del rifle es de 200 m/s'. Calcula:
a) la cantidad de movimiento de la bala antes del disparo;
b) la cantidad de movimiento de la bala después del disparo;
c) el impulso aplicado a la bala al ser disparada;
d) la fuerza media que actúa sobre la bala en el recorrido por el cañón.
Actividad 104
Un objeto que tiene una gran masa choca con otro de masa pequeña. Indica cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera:
a) la fuerza ejercida por el objeto de masa grande es mayor que la fuerza ejercida por el objeto de masa
pequeña;
b) el objeto de masa grande experimenta un cambio mayor de cantidad de movimiento que el de masa
pequeña;
c) el objeto de masa grande ejerce un impulso mayor que el de masa pequeña;
d) el objeto de masa pequeña experimenta una variación mayor de velocidad.
Actividad 105
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Una pistola de 1 kg dispara una bala de 10 g. La bala sale de la pistola con una velocidad de 500 ms-1
Calcula:
a) la cantidad de movimiento inicial del sistema pistola-bala antes del disparo;
b) la cantidad de movimiento de la bala inmediatamente después del disparo;
c) la velocidad de retroceso de la pistola inmediatamente después del disparo.
Actividad 105
Fernando y María están quietos cada uno sobre un monopatín que puede moverse sin fricción. Fernando
lleva un pelota de 200 g y se la lanza a María con una velocidad de 40 m s-1. Las masas de Fernando y
María (incluyendo los monopatines) son de 35 kg y 30 kg, respectivamente.
a) ¿Qué velocidad tendrá Fernando después de lanzar la pelota?
b) ¿Qué velocidad tendrá María después de recibir la pelota?
c) ¿Qué hubiese sucedido si María y Fernando hubieran estado sobre el mismo monopatín?
Actividad 106
Un carro de 150 g de masa choca frontal-mente a una velocidad de 3 m s-1 contra otro carro de 100 g que
está en reposo. Como consecuencia del choque, los carros quedan unidos. ¿Cuál es la velocidad de
ambos carros después del choque?
Actividad 107
Se golpea una pelota de fútbol de 0,43 kg de masa a una velocidad de 26 m s ', La velocidad del pie
antes del impacto es de 18 m s-1 y de 13 m s-1 tras el impacto. Si el tiempo de impacto es de 8,0 x 10-3 s.
a) ¿Qué fuerza media actuó sobre la pelota?
b) ¿Cuál fue la masa efectiva del lanzador?
Actividad 108
Un soldado se ha quedado aislado en medio de un lago helado. El soldado lleva una ametralladora que
dispara balas de 13 g de masa a 800 m s -1 ¿Qué velocidad tendrá el soldado después de haber
disparado 100 balas? La masa inicial del soldado con la ametralladora y las balas es de 80 kg.
Actividad 109
En un cruce, un automóvil de 1.000 kg que va a 90 km h-1 en dirección este, choca con un camión de
2.000 kg que va a 72 km h-1, en dirección norte. Como consecuencia del impacto, ambos vehículos
quedan unidos.
a) Haz un esquema que muestre la dirección y el sentido de la velocidad de ambos vehículos,
inmediatamente después del choque.
b) A partir del esquema, calcula el módulo y la dirección de la velocidad de ambos vehículos,
inmediatamente después del choque.
Actividad 110
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Dos bolas de igual radio y de masas de 50 g y 30 g se mueven sin fricción sobre una superficie horizontal
con celeridades de 3,0 m/s y 6,0 m/s', respectivamente. Calcula el módulo de la cantidad de movimiento
del sistema formado por las dos bolas:
a) si se mueven en la misma dirección y el mismo sentido;
b) si se mueven en la misma dirección pero en sentido contrario;
c) si se mueven en direcciones perpendiculares.
Actividad 111
En el caso b) las dos bolas chocan. Después del choque, la bola más ligera retrocede con una celeridad
de 8 m/s ¿Qué celeridad tiene la otra bola?
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