Ecuaciones de Maxwell, ondas, óptica geométrica

UdelaR Facultad de Ciencias
Curso de Física II p/Lic. Física y Matemática
Curso 2010
Ecuaciones de Maxwell. Ondas. Óptica geométrica
1.- Ecuaciones de Maxwell
1.1.- Campos magnéticos inducidos y corriente de
desplazamiento – La figura (b) muestra una situación,
donde aparece una corriente no estacionaria (y n continua)
en la que se violaría la ley de Ampère.
Un campo eléctrico cambiante crea un campo magnético.
Para salvar esta contradicción se introduce la corriente
d E
de desplazamiento i D   0
dt
Se generaliza la ley de Ampère (realizado por Maxwell)

B .d l   0 i  i D )    0 i   0  0
C
d E
dt
1.2.- Ecuaciones de Maxwell – Resumen los principales
resultados de los experimentales del electromagnetismo,
las formularemos para el vacío (suponiendo que no existen
materiales dieléctricos ni magnéticos.
1. Ley de Gauss para la electricidad:
 E .d A 
q encerrada
S
2. Ley de Gauss para el magnetismo:
 B .d A  0
0
(no existen monopolos magnéticos)
S
3. Ley de Faraday:
 E .d l  
C
d B
dt
4. Ley de Ampère modificada:
d
dt
 B .d A
S
 B .d l  
C
Ficha Nº 10

0
i  i D )    0 i   0  0
d E
dt
  0i   0 0
d
dt
 E .d A
S
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2.- Ondas 2.1- Generalidades de ondas- Una onda en movimiento
transporta energía y cantidad de movimiento de un punto del
espacio a otro sin transporte de materia.
En las ondas transversales, como en una cuerda, la
perturbación es perpendicular a la dirección de propagación,
en las ondas longitudinales, como las del sonido, la
perturbación es según la dirección de propagación.
Ecuación de ondas
2
 y ( x, t )
x
2
2

1  y ( x, t )
v
2
t
2
Las ondas armónica verifican que v  f 
v: velocidad de propagación; : longitud de
onda; f: frecuencia
Función de onda: y ( x , t )  A sin kx   t 
A: amplitud; k: número de onda; : frecuencia
angular. El signo de menos (-) se usa
propagación en la dirección +x; el signo de +,
para la propagación en la dirección -x.
Relaciones entre las variables: longitud de
onda  
2
v
 vT
f
2
 2 

T
Formas alternativas de escribir la ecuación de
ondas (suponiendo constante de fase nula):
k 
 
T: periodo
y ( x , t )  A sin  kx   t   A sin
2

 x  vt   sin
t 
 x
2  

T 

Onda plana y esférica:
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2
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3.-
Ondas electromagnéticas En
una
onda
electromagnética, los vectores campo eléctrico y magnético son
perpendiculares entre sí y además a la dirección de propagación.
Sus magnitudes se relacionan por E  cB .
Siendo c la velocidad de propagación de la onda electromagnética e
igual a la velocidad de la luz en el vacío
c
1
 0 0
 299 . 792 . 458 m / s (valor exacto para el SI)
2
Obviamente ambos campos verifican la ecuación de ondas:
 E
x
2
2
  0 0
2
 E
t
 B
2
x
2
2
  0 0
 B
t
2
E ( x , t )  E m sin kx   t ˆj B ( x , t )  E m sin  kx   t kˆ
cuyas soluciones
Transporte de energía y vector de Poynting- El flujo de energía en una onda electromagnética
se puede medir en función de la rapidez con que fluye la energía por unidad de superficie, o
equivalentemente, por la potencia electromagnética por unidad de superficie. El flujo de energía lo
describimos a través del vector de Poynting S : S 
Su módulo vale: S 
dU
dtA

1
0
EB 
1
0c
E
1
0
EB
2
Densidad de energía en una onda electromagnética: u  u E  u B   0 E
2

B
2
0

EB
 0c
Intensidad de una onda electromagnética: Es el promedio en el
tiempo de S (tomado sobre varios ciclos):
I  S PRO  S 
Em Bm
2 0

Em
2
2 0c

1
0
2
0
Em
2

E rms
2
0c
 u PRO c
4.- Óptica geométrica 4.1- Velocidad de la luz –
En el vacío (c): c = 2,99792458 ×108 m/s (exacto).
En otro medio, la velocidad de la luz (v) es menor que en el vacío.
Se define el índice de refracción (n) como: n 
c
v
4.2- Principio de Huygens- Todos los puntos de un frente de onda
pueden considerarse fuentes puntuales en la producción de ondas
esféricas secundarias. Transcurrido el tiempo t, la nueva posición de
un frente de onda es la superficie tangente a las ondas esféricas
secundarias.
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4.3- Ley de reflexión- El rayo reflejado se encuentra en el plano de incidencia y se verifica:
 1   1 (ley de reflexión)
'
4.4- Refracción- Cuando un haz de luz incide sobre una
superficie límite de separación entre dos
medios, parte de la energía se refleja y
parte entra en el segundo medio. El
cambio de dirección en el rayo
transmitido se denomina refracción.
La frecuencia del haz no cambia al
pasar de un medio al otro, y como varía
la velocidad, entonces la longitud de
onda
varía
según:
f 
v1
1

v2
 2 
2
v2
v1
1 
n1
n2
1
El rayo refractado se encuentra en el plano de incidencia y se
verifica:
n1 sin  1  n 2 sin  2 (ley de refracción o de Snell)
Propagación desde un medio 1 de índice n1 mayor al de un medio
2 (n1>n2): al ir aumentando el ángulo de incidencia, crece el
ángulo de refracción hasta que alcanza un ángulo de incidencia
crítico (c) para el cual el ángulo de refracción vale 90º. Para
ángulos de incidencia mayores al crítico, no existe rayo refractado
y todo la energía se refleja (reflexión total interna)
sin  C 
n2
n1
(ángulo crítico reflexión interna total)
4.5-Óptica geométrica- cuando la longitud de onda es muy pequeña comparada con el tamaño
de obstáculos o aberturas que encuentra a su paso, pueden despreciarse los efectos ondulatorios, y
es valida la aproximación de los rayos, en que se considera que la luz se propaga en línea recta.
4.6-Formación de imágenes
Imagen virtual: es la que se ve en un espejo plano. Las imágenes tienen las siguientes
propiedades: no pasa luz por el lugar de la imagen, no se puede enfocar en una pantalla, para verla
se debe mirar en el interior del espejo y siempre es vertical derecha (no invertida).
Imagen real- la luz pasa por el sitio de la imagen, se puede enfocar sobre una pantalla y siempre
está invertida.
 Distancia del objeto al espejo: o (p ó s)
 Distancia de la imagen al espejo: i (q ó s’)
 Altura del objeto: h
 Altura de la imagen: h’

Aumento lateral (o ampliación) m: m 
h'
h
si es positiva: la imagen es derecha (no
invertida), si m  1 la imagen se agranda, si es menor a 1, se reduce.
Convención de signos para la reflexión:
1.- o (p ó s) es positiva si el objeto está del lado del espejo desde donde incide la luz.
2.- i (q ó s’) es positiva si está del lado del espejo desde donde incide la luz.
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4.6.1- Espejos planos- La figura muestra un haz estrecho de
rayos luminosos que procede de una fuente puntual O (objeto) y
se refleja en un espejo plano. Después de la reflexión, los rayos
divergen como si procediesen de
un punto I (imagen), detrás del
plano del espejo. Esta imagen se
denomina virtual debido a que
la luz no procede exactamente
de ella.
Para el espejo plano: i = - o
(se pone signo de menos para explicitar que están de lados
distintos del espejo)
Aumento lateral (o ampliación) m: m 
En el espejo plano la imagen:
h'

h
i
1
o
está a la misma distancia del espejo que el objeto,
tiene el mismo tamaño,
es virtual, está derecha y tiene una inversión en profundidad.
4.6.2- Espejos esféricos- Los espejos
esféricos pueden ser cóncavos con respecto a
la ubicación del objeto (como se muestra en la
figura de la izquierda) o convexos con
respecto a la ubicación del objeto
Los espejos esféricos tienen un radio de
curvatura r (ó R) los cuales tienen la
siguiente convención de signo:
r (ó R) es positivo si el cóncavo (es decir que el centro de curvatura
está del lado desde donde incide el haz)
Se define la distancia focal (f) como f 
r
2
(igual convención de signos
que r)
Ecuación de espejos
esféricos:
1
o

1
i

2

r
1
f
usando
otras nomenclaturas:
1

p
1
s
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1

q

1
s'
2

R

2
R
1
f

1
f
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La localización de la imagen se puede hacer mediante el trazado de rayos:
1.- El rayo paralelo al eje (1), que pasa por el
extremo del objeto, se refleja en el espejo y
pasa por el punto focal (en el caso del espejo
cóncavo) o para que parezca provenir del punto
focal (en el caso del espejo convexo).
2.- El rayo que pasa por el punto focal (2)
(espejo cóncavo) o que lo hace al ser
prolongado (espejo convexo) se refleja para ser
paralelo a su eje.
3.- El rayo que pasa por el centro de
curvatura (3), desde el extremo del objeto, se
refleja hacia atrás en su trayectoria original.
Magnitud
Ubicación objeto
Símbolo
o, p, s
Ubicación imagen
i, q, s’
Altura imagen
Distancia focal
Aumento
h’
f
m, M
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Positivo cuando:
Objeto frente al espejo
(objeto real)
Imagen frente al espejo
(imagen real)
Imagen derecha
Espejo cóncavo
Imagen derecha
Negativo cuando:
Objeto detrás del espejo
(objeto virtual)
Imagen detrás del espejo
(imagen virtual)
Imagen invertida
Espejo convexo
Imagen invertida
6