Partiendo del ejercicio anterior, sobre encontrar el perímetro de la circunferencia, según el radio de la misma; surge una pregunta: ¿Si se pone un punto cualquiera sobre la circunferencia ese punto va a ser vértice de algún polígono? Para decir si es o no punto de una circunferencia, el grupo oráculo tiene 2 construcciones con las cuales bajo los siguientes argumentos matemáticos, demostraremos que un punto cualquiera no va a ser un vértice. Construcción 1 Partimos del triángulo regular, inscrito en una circunferencia. Construimos un cuadrado, teniendo como vértice inicial un vértice del triangulo ya construido A partir de este momento trazamos el segmento distancia entre un vértice del triangulo diferente al inicial, y el vértice del cuadrado mas cercano La idea trata principalmente de construir las figuras de dobles de lados del cuadrado, como el octágono, dieciséisagono, así sucesivamente, hasta que alguno de esos polígonos construidos por el cuadrado, llegue a ser vértice del triángulo o no lo sean Trazamos la distancia del vértice del triángulo al vértice más cercano al octágono Trazamos las distancias como los pasos anteriores del dieciseiságono, y del treintaydoságono En este punto decimos que nunca un vértice de las figuras construidas por el doble de lados de un cuadrado llega a ser el vértice de un triángulo, lo limita pero jamás llegan a ser un mismo punto, y por eso decimos que un punto cualquiera en una circunferencia, no siempre va a ser un vértice de algún polígono por la inconmensurabilidad de Construcción 2 Esta construcción se hace para sustentar el echo de porque nunca van a ser el mismo vértice Partimos del cuadrado, trazamos su diagonal, y suponemos que existe una medida común entre el lado del cuadrado y su diagonal llamémosla hi, y hagámosla sin un tamaño definido. Como hi mide el lado del cuadrado y la diagonal, podemos escribir estos como múltiplos de hi: m *hi y n *hi. Ahora cortamos la diagonal con un lado y decimos que hi mide también el corte restante de la diagonal ya que se escribe como m * hi- n* hi = hi (m-n) A partir del punto creado por el corte del lado y su diagonal trazamos un cuadrado con lado hi(m-n) Hi me mide también la diagonal del nuevo cuadrado, porque el lado restante del cuadrado original es igual a un lado del cuadrado pequeño, y por la misma razón que hi me mide el lado del cuadrado pequeño, me mide también la diagonal del lado pequeño, repitiéndose este proceso hasta llegar a la contradicción de que algún día no importa que tan pequeña sea esa supuesta medida común, va a ser mayor que uno de los lados del cuadrado