COLEGIO MAIPO Guía de Aprendizaje Nº 7 “Productos Notables”

PUNTAJE
TOTAL
Subsector / Módulo: Matemática-Eje Álgebra
Profesor (a):Ana María Hernández Ríos
Guía de Aprendizaje
Nº 7
“Productos Notables”
PUNTAJE
OBTENIDO
COLEGIO MAIPO
74
Nombres y
Apellidos:
Calificación
Curso:
1º Medio__
Fecha:
Contenidos: Productos Notables
Objetivo: Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias.
Instrucciones:
 La guía de aprendizaje tiene 74 ejercicios.
 Realiza los ejercicios en tu cuaderno y anota los resultados en la guía, para la
evaluación debes entregar el cuaderno y la guía.
Productos Notables
La frase Producto Notable, en Matemáticas, se refiere al resultado de una multiplicación
(producto) que se hace con mucha frecuencia (notable). En Álgebra tenemos varios productos
notables, como por ejemplo la multiplicación un binomio cualquiera por sí mismo, o lo que es lo
mismo, el elevar al cuadrado un binomio cualquiera; lo que da como producto el Trinomio
Cuadrado Perfecto. Algunos productos notables son la multiplicación de dos binomios
conjugados (suma y diferencia), que da como producto una diferencia de cuadrados; la
multiplicación de dos binomios que tienen un término en común, queda como producto un
trinomio cuadrado imperfecto; entre otros.
En resumen tenemos:
Binomio al Cuadrado
(a±b)2
=
a2 ± 2ab+b2
Trinomio cuadrado perfecto
Binomios conjugados
(a+b)(a-b)
=
a2 - b2
Diferencia de Cuadrados.
x2+(a+b)x+ab
Trinomio Cuadrado Imperfecto
Binomios con un término común
(x+a)(x+b)=
Binomio al cubo.
(a±b)3
=
a3±3a2b+3ab2±b3
Trinomio al Cuadrado
(a+b+c)2
=
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(a+b)(a2 – ab + b2 )=
a 3 + b3
Suma de cubos
(a-b)(a2 + ab + b2 ) =
a3 - b3
Diferencia de cubos
CUADRADO DE UN BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual a un trinomio (trinomio cuadrado perfecto) cuyos
términos son:
I.
1º
Cuadrado del primer término
2º
Doble del producto de ambos términos
3º
Cuadrado del segundo término
Completa la siguiente tabla:
a
b
2
3
6
4
2
5
4
2
a+b
(a + b)²
a²
2·a·b
b²
a² + b²
a² + 2ab + b²
Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a
(a + b)² es a² + 2ab + b²
II. Construye ahora la siguiente tabla:
a
b a-b
5
2
4
1
2
4
1
3
(a - b)²
a²
2·a·b
b²
a² + b²
a² - 2ab + b²
Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a
(a - b)² es a² - 2ab + b²
III. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios:
1. (x + 5)²
2. (x - 7)²
3. (a + 1)²
4. (m + 21)²
5. (x - 2)²
6. (x - 18)²
7. (p + 5q)²
8. (x - 3y)²
9. (2x + 6)²
10. (3x - 5)²
11. (6x - 8y)²
12. (0,2x - 3)²
13. (5a - 0,3)²
14. ( 3 x - 5)²
4
15.
3 
2
 a  b
4 
3
2
IV. Determina el área del cuadrado cuyo lado mide:
[Recuerde que el área del cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado: A□ = (lado)2 ]
1) x + 12
2) 2x - 1
3) 0,3x + 2
4)
2
x y
5
CUADRADO DE UN TRINOMIO
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los
términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos.
a  b  c2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc
(a  b  c  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2  2ab  2ac  2ad  2bc  2bd  2cd
EJEMPLO:
Efectuar  2 x  3 y  5 z 
2
SOLUCIÓN: 2 x  3 y  5z 2  2 x 2  3 y 2   5z 2  22 x 3 y   22 x  5z   23 y  5z 
 4 x 2  9 y 2  25z 2  12xy  20xz  30yz
EJEMPLO:
2
1

 x y  z

Efectuar  3 5
SOLUCIÓN:
2
2
2
2
2
1

1   2 
 1  2   1 
2 
2
 x  y  z    x    y    z   2 x  y   2 x  z   2 y  z 
5
3

3  5 
 3  5   3 
5 
1
4 2
4
2
4
 x2 
y  z 2  xy  xz  yz
9
25
15
3
5
EJERCICIOS:
1.  a  2b  3c 
2
2. (a  2b  3c) 2
3. (a  2b  3c) 2
4. (a  2b  3c) 2
5. (a  2b  3c) 2
6. (a  2b  3c) 2
PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA
El Producto de un binomio suma por su diferencia (producto de binomios conjugados)
es igual a la diferencia de los cuadrados de cada término.
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
EJEMPLO:
Efectuar (x – a)(x + a)
SOLUCIÓN: (x – a)(x + a) = x·(x + a) – a·(x + a) = x2 + ax – ax – a2 = x2 – a2
EJEMPLO:
Efectuar (2x + 3y) (2x – 3y)
SOLUCIÓN: (2x + 3y)(2x – 3y) = 2x(2x–3y)+3y(2x–3y) = 4x2-6xy+6xy–9y2 =
4x2 – 9y2
Por simple inspección, podemos determinar directamente el resultado de los siguientes
productos de binomios conjugados:
EJEMPLO:
n1
m
m
n1
Efectuar (5a  3a )(3a  5a )
SOLUCIÓN:
(5a n1  3a m )(3a m  5a n1 ) , aplicando la propiedad conmutativa de la adición, tenemos que
(5a n1  3a m )  (3a m  5a n1 ) , en cambio (3a m  5a n1 ) es distinto de (5a n1  3a m ) . Por
eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del
n1
m
m
n1
m 2
n1 2
2m
2 n 2
sustraendo: (5a  3a )(3a  5a )  (3a )  (5a )  9a  25a
EJERCICIOS:
1. (3x - 8z)(3x + 8z)
2. (5a2b + 7a3b2) (5a2b - 7a3b2)
3. (2an - 4bm) (2an + 4bm)
4. (12a2 + 17a3) (12a2 - 17a3)
5. (7x2 + 5bx3) (5bx3 – 7x2)
6. (a2 + 7) (7 - a2)
PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN
Multiplicar dos binomios con un término común es igual a un trinomio (trinomio cuadrado
imperfecto) cuyos términos son:
1º
Cuadrado del término común
2º
La suma de los términos no comunes por el término común
3º
El producto de los términos no comunes
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a·b
EJERCICIOS:
1. (x-4)(x+3)
2. (x+4)(x+3)
3. (x-4)(x-3)
4. (x+4)(x-3)
5. (x-14)(x+10)
6. (x-8)(x+7)
7. (x+9)(x-8)
8. (x-9)(x-7)
9. (x-18)(x+2)
10. (x+12)(x+3)
11. (x2-4)(x2-9)
12. (x2-8)(x2-10)
13. (x2-8)(x2+10)
14. (x2-4)(x2+20)
15. (x2+5)(x2+9)
16. (x3+14)(x3-9)
17. (2x-4)(2x-5)
18. (2x+4)(2x+5)
19. (2x-4)(2x+5)
20. (2x+4)(2x-5)
21. (3x-7)(3x-5)
22. (3x+7)(3x-5)
23. (3x-7)(3x+5)
24. (3x+7)(3x+5)
25. (3x-7)(8-3x)
26. (6-x)(2+x)
27. (x+4)(5+x)
28. (2x5+14)(2x5-5)
x
2
x
2
x
3
x
3
29. (  5)(  1)
30. (  5)(  1)
Binomio al cubo.
El cubo del binomio es igual a un polinomio de cuatro términos, que son:
1º
El cubo del primer término
2º
El triple del producto del cuadrado del primero por el segundo término
3º
El triple del producto del primero por el cuadrado del segundo término
4º
El cubo del segundo término
(a±b)3
EJERCICIOS:
1. (x + 3)3
2. (x - 4)3
3. (2x - 3y) 3
4.
(a2 - 2a)3
5.
(3a3b – 5ab2) 3
6. (4a2 – 3b2) 3
7. (3an – 5b2n) 3
8. (3a3+x – 5) 3
=
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Suma y Diferencia de cubos
(a + b)(a2 – ab + b2 )
=
a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2)
=
a3 - b3
EJERCICIOS:
1. (x + 3)(x2 – 3x + 9)=
2. (x – 4)( x2 + 4x + 16)=
3. (2x - 3y)(4 x2 + 6xy + 9y2)=
Autor: Profesor Carlos Moreno