TEMA: “Cálculo de las raíces de un polinomio: Factorización”

Factorización
Recuerdo de los casos de factoreo, mediante un ejemplo de cada uno de
ellos:
A continuación detallamos en qué consiste cada uno de los casos, pero sin
embargo, en la clase no lo vamos a hacer, ya que con el ejemplo es
suficiente para que los alumnos recuerden cada uno
 FACTOR COMÚN
Procedimiento:
1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)
2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común
por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor
común.
Ejemplos:
4a 2b  2ab 2
1)
 Factor comun
2ab(2a  b)
3xby  9 xa
2)
 Factor comun
3x(by  3a )
1
Factorización
 FACTOR COMÚN POR GRUPOS
Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus
términos.
Procedimiento
1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan
factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.
2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.
3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.
Ejemplos:
2 xy 2 a  mb  2 xy 2b  ma
 Agrupo
2 xy a  ma  mb  2 xy b
2
2
 Factor Comú n
1)
a (2 xy 2  m)  b(m  2 xy 2 )
 Factor Comú n
(2 xy 2  m)(a  b)  Factor Comú n por Grupos
( x 2  ax )  (bx  ab)
2)

 Factor comun
x ( x  a )  b( x  a )
 Factor comun
( x  a )( x  b)  Factor Comun por Grupo
2
Factorización
 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”
(x + y)2  x 2  2 xy  y 2
Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben
tener un signo negativo adelante.
Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos
fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,
3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces
decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como
el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.
OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:
 Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo,
entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el
mismo signo.
 Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo,
entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos
opuestos.
3
Factorización
Ejemplos:
1)
4 x 2  12 xz  9 z 2



2
9 z  3z
  Es un Trinomio Cuadrado Perfecto
2.2 x.3z  12 xz 

Entonces: 4 x 2  12 xz  9 z 2 = (2 x + 3z ) 2 o( 2 x  3z ) 2
4x2  2x
2)
1
 x3
16

4x6  2x3 

1 1


  Es un Trinomio Cuadrado Perfecto
16 4

1

2.2 x 3 .  x 3 
4

1
1
1
Entonces: 4 x 6   x 3 = (2 x 3 + ) 2 o( 2 x 3  ) 2
16
4
4
4x6 
4
Factorización
 CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Recuerdo: “Cubo de un Binomio”
 x  y3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso:
Luego calculo:
 el triple producto del cuadrado de la primera base por la
segunda
 el triple producto de la primera base por el cuadrado de la
segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,
3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces
decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como
el cubo de un binomio, formado por dichas bases.
OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:
Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.
5
Factorización
Ejemplos:
1)
8a 3  36a 2b  54ab 2  27b 3


3
3

27b  3b
  Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto
2
2
3.(2a ) .( 3b)  36a b 

3.(2a ).( 3b) 2  54ab 2 
Entonces: 8a 3  36a 2b  54ab 2  27b 3 = (2a - 3b) 3
3
8a 3  2a
2)
1 3 3 2 3
x  x  x 1
8
4
2



3

1   1

1 2
3 2   Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto
3.( x ) .( 1)   x 
2
4 
1
3

3. x.( 1) 2  x

2
2
1
3
3
1
Entonces: x 3  x 2  x  1 = ( x - 1) 3
8
4
2
2
3
1 3 1
x  x
8
2
6
Factorización
 DIFERENCIA DE CUADRADOS
Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados
( x  y)( x  y)  x 2  y 2
Procedimiento:
1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y
luego los cuadrados perfectos.
2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz
cuadrada de cada uno)
3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de
binomios conjugados, formado por dichas bases.
Ejemplos:
1)
9 x 2  25 y 2
9 x 2  3x 
Entonces: 9 x 2  25 y 2  (3x  5 y )(3x  5 y )

25 y 2  5 y 
2)
4 6 4 2
x z y
9
4 6 2 3
x  x 
4
2
2
9
3  Entonces: x 6  z 4 y 2   x 3  z 2 y  x 3  z 2 y
3
 3

9

4 2
2
z y z y
7
Factorización
 DIVISIBILIDAD
Este caso consiste en hallar los divisores del polinomio dado. Esto lo
efectuamos mediante la siguiente propiedad.
“Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dicho polinomio es
divisible por (x-a), es decir que, al dividir P(x) por (x-a), el resto de la
división es cero”
Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0
En símbolos:
P(x) (x-a)
0
C(x)
Entonces: P(x)=(x-a)C(x)
Este tipo de división la podemos
realizar con la Regla de Ruffini
Cálculo de las raíces de un polinomio:
 Para calcular la raíces de un polinomio en el cual figura una
sola incógnita, elevada a una potencia, podemos calcular su raíz
igualando a cero y resolviendo esa ecuación.
 Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la
incógnita dos veces (una elevada al cuadrado y otra con
exponente 1, podemos calcular sus raíces aplicando la
resolvente.
8
Factorización
En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos ya saben factorizar
un polinomio de este tipo.
Entonces:
Si P( x)  ax 2  bx  c, y sean x1 , x2 raices de P( x)
entonces podemos escribir a P( x) como:
P( x)  a ( x  x1 )( x  x2 )
 Ahora si nos encontramos con un polinomio de grado mayor
que dos, y la incógnita aparece más de una vez, podemos
calcular sus raíces mediante el Teorema de Gauss, que si bien
no nos asegura exactamente cuáles son sus raíces, nos da un
número finito de raíces posibles.
Teorema de Gauss:
Este teorema nos parece conveniente explicarlo a través de un ejemplo, ya
que el teorema enunciado en forma general nos parece demasiado
complicado para que los alumnos puedan entenderlo.
Si tenemos por ejemplo P( x ) = 2 x 3 - 3x 2 - 8 x - 3
Divisores del té rmino independiente, (-3):  1,  3
Divisores del coeficiente principal, (2):  1,  2
Entonces las posibles raices de P(x) son:
1
3
x1  1, x2   , x3  3, x4  
2
2
9
Factorización
Ahora debemos verifiar cuales son las raices de P( x)
P( 1)  2.( 1) 3  3.( 1) 2  8.( 1)  3  0  x1  1 es raiz
1
1
1
1
1
P(  )  2.(  ) 3  3.(  ) 2  8.(  )  3  0  x2   es raiz
2
2
2
2
2
P(3)  2.33  3.32  8.3  3  0  x3  3 es raiz
Entonces podemos escribir a P(x) como:
1
P( x )  2 x 3  3x 2  8 x  3  2( x  1)( x  )( x  3)
2
10
Factorización
Ejemplos:
1)
x 3  64
Calculo una raiz de P(x)
x 3  64  0
x3
 64
x
x
= 3 64
= 4  Raiz de P(x)
Entonces: x 3  64 es divisible por ( x - 4),
es decir x 3  64 = ( x - 4)C ( x )
C ( x ) es el cociente de dividir x 3  64 por ( x - 4)
Aplico Ruffini para calcular C ( x )
x 3  0 x 2  0 x  64
1 0
4 
1
0
- 64
4 16
4 16
64
0
C ( x )  x 2  4 x  16
R( x )  0
Entonces: x 3  64  ( x  4)( x 2  4 x  16)
11
Factorización
2)
x2  x  6
Busco una raiz de P(x)
x2  x  6  0
x1,2
x1,2
1  ( 1) 2  4.1.( 6)

2.1
1  25

 x1  3, x2  2
2
Entonces: x 2  x  6  ( x  3)( x  2)
12
Factorización
COMBINACIÓN DE LOS CASOS DE FACTOREO
Ejercicio N° 1: Factoriza la siguiente expresión
20 5 3
x b  5x 3b
9
 Factor Comun
4
5x 3b( x 2b 2  1)
9
 Diferencia de cuadrados 
4 2 2 2
x b  xb,
9
3
2
 2

5x 3b xb  1  xb  1
3
 3

Ejercicio N° 2: Factoriza la siguiente expresión
a3  a2  a  1
a
 Agrupo los terminos
3

 a 2   a  1
 Saco factor comun en cada grupo
a 2 (a - 1) + (-1)(a - 1)
 Factor Comun por Grupos
(a - 1)(a 2  1)
 Diferencia de Cuadrados
a - 1a  1a  1
 Multiplico, los factores con igual base
(a  1) 2 (a  1)
13
1 1
Factorización
Ejercicio N° 3: Factoriza la siguiente expresión
x 3 - x 2 y - 2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5
x
 Agrupo terminos
3
 
 
- x 2 y + -2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5

 Saco factor comun en cada grupo
x 2 ( x  y )  2 xy 2 ( x  y )  y 4 ( x  y )
 Saco factor comun ( x - y )
( x  y )( x 2  2 xy 2  y 4 )
 Trinomio Cuadrado Perfecto
( x  y )( x  y ) 2
CÁLCULOS:
Trinomio Cuadrado Perfecto (Calculos)
x 2  2 xy 2  y 4
x2  x 

4
2
y  y   x 2  2 xy 2  y 4  ( x  y ) 2

2 xy 2

14
Factorización
Ejercicio N° 4: Factoriza la siguiente expresión
Una forma de resolverlo:
4 x 3  2 x 2  4 x  2
 Factor Comun (2)
2( 2 x 3  x 2  2 x  1)

 Factor comun por grupos
2  x 2 (2 x  1)  (2 x  1)


2(2 x  1)(  x 2  1)
 Diferencia de cuadrados
2(2 x  1)( x  1)( x  1)
15
Factorización
Otra forma de resolverlo:
4 x 3  2 x 2  4 x  2
 Factor Comun (2)
2( 2 x 3  x 2  2 x  1)
 Divisibilidad (T.Gauss)
2( 2 x 2  x  1)( x  1)
 Resolvente o Gauss
1

2.( 2) x  1 x   ( x  1)

2

1

4 x  1 x   ( x  1)

2
CÁLCULOS:
Divisibilidad (calculos)
2 x 3  x 2  2 x  1
T.Gauss  Posibles Raices:  1,
1
2
2( 1) 3  ( 1) 2  2( 1)  1  0
( 1) es raiz
2 x 3  x 2  2 x  1 es divisible por ( x +1),
es decir  2 x 3  x 2  2 x  1 = ( x  1)C ( x )
C ( x ) es el cociente de dividir  2 x 3  x 2  2 x  1
por ( x +1)
16
Factorización
Aplico Ruffini para calcular C ( x )
 2x3  x2  2x  1
-2
-1

-2
-1
2
1
2 -1
-1
1
0
1
C ( x )  2 x 2  x  1
R( x )  0
Entonces:  2 x 3  x 2  2 x  1  ( x  1)( 2 x 2  x  1)



-1  12  4.( 2).1
1


2
=
  2 x  x  1  2 x    x  1
2.( 2)
2


-1  9
1
=
 x1  , x2  1 
4
2

Resolvente:2 x 2  x  1
x1,2
x1,2
Ejercicio N° 5: Factoriza la siguiente expresión
4 x 4  4 x 2 y 2  4 x 3 y  4 xy 3  y 2 x 2  y 4
 Factor Comun por Grupos
4 x 2 ( x 2 - y 2 ) - 4 xy ( x 2 - y 2 ) + y 2 ( x 2 - y 2 )
 Factor comun ( x 2 - y 2 )
( x 2 - y 2 )(4 x 2 - 4 xy + y 2 )
Diferencia de Cuadrados  Trinomio Cuadrado Perfecto
(x - y)(x + y)(2x - y) 2
17
Factorización
CÁLCULOS:
Trinomio Cuadrado Perfecto
4 x 2 = 2x 


2
2
2
2
y y
  4 x - 4xy + y  (2 x  y )
2.2 x. y  4 xy 


Para recordar:
En el momento de factorizar una expresión debemos tener en cuenta que:
Primero nos fijamos si hay factor común en todos los términos, en caso de
haber, lo extraemos.
Luego Consideramos la cantidad de términos:
 Si hay dos términos puede ser que sea “Diferencia de Cuadrados” o
puede ser que podamos utilizar el caso “Divisibilidad”.
 Si hay tres términos puede ser “Trinomio Cuadrado Perfecto” o
puede ser que podamos aplicar “Divisibilidad”
 Si hay cuatro términos puede ser que sea un “Cuatrinomio Cubo
Perfecto”, podemos intentar “Factor Común por Grupos” o
utilizar “Divisibilidad”.
(Esto en realidad lo recordaríamos más o menos al finalizar o comenzar el
primer ejercicio)
18
Factorización
Ejercitación
La siguiente ejercitación es para que los alumnos realicen de tarea y
luego haríamos la corrección en el pizarrón, haríamos pasar a los alumnos
para que los realicen, y así participar de la clase y poder marcarles lo errores
en forma oral, para que todos escuchen y no vuelvan a cometer esos
errores.
En el ejercicio N° 1 se puede aplicar
 Factor Común por Grupos
 Diferencia de Cuadrados
 Divisibilidad
En el ejercicio N° 2 se puede aplicar
 Factor Común
 Factor Común por Grupos
 Diferencia de Cuadrados
En el ejercicio N° 3 se puede aplicar
 Factor Común
 Cuatrinomio Cubo Perfecto
En el ejercicio N° 4 se puede aplicar
 Factor Común
 Trinomio Cuadrado Perfecto
En el ejercicio N° 5 se puede aplicar
 Factor Común
 Factor Común por Grupos
 Divisibilidad
En el ejercicio N° 6 se puede aplicar
 Factor Común
 Factor Común por Grupos
 Diferencia de Cuadrados
En el ejercicio N° 7 se puede aplicar
 Factor Común
 Diferencia de Cuadrados
19
Factorización
Factorizar los siguientes polinomios
1) x 5  x 3a 2  a 3 x 2  a 5 
1
1
1
1
2) a 3 x 2  a 3 y 2  ax 2  ay 2 
2
8
2
8
1
9
27
27
3) a 7b 4 x  a 5b 3 x 2  a 3b 2 x 3  abx 4 
5
10
20
40
1
2
1
4) a 2 x 4 y 2  ax 3 y 2  x 2 y 2
9
9
9
3
3
3
3
5) x 8  3x 7  x 6  x 3  3x 2  x
2
2
2
2
6) 4a  8a 2  16a 3  32a 4
7) 3x 9 y 7  12 x 7 y 9
20
Factorización
MODO DE EVALUACIÓN
En cuanto a la forma de evaluación del tema, la realizaríamos
mediante un examen.
Dicho examen lo tomaríamos al finalizar el tema, dejando una clase
intermedia, entre la última clase y el examen.
Con esta clase intermedia le daríamos a los alumnos la posibilidad de
consultar sobre alguna inquietud que haya quedado sobre el tema dado.
Claro que no le dedicaríamos una clase completa sino, algunos minutos o
media hora, según las dudas que hayan surgido en los alumnos.
La evaluación o examen consistiría en la resolución de 5 ejercicios (ya que
nos pareció la cantidad más apropiada), cuyos ejercicios estarían
distribuidos de la siguiente manera:
El primer ejercicio para aplicar “Cuatrinomio Cubo Perfecto”
El segundo ejercicio para aplicar “Diferencia de Cuadrados”
El tercer, cuarto y quinto ejercicio para aplicar diversos casos de factoreo, en
un mismo ejercicio, en general dos o tres casos en el mismo.
21
Factorización
MODELO DE EXÁMEN
Fecha: .........................................
Nombre y Apellido:......................................................................
Curso:..................................................
Factorizar hasta su mínima expresión, justificando cada paso que realices
Realizar todos los cálculos en la hoja.
3
1) x 
9 2 27 27
x 

x
4
64 16
2)
36 2 2 2
x y z  100 x 2
81
3)
xy 2  150xy  1875x
4)
ab 3  125a
5)
3x 3  15x 2  24 x  12
22
Factorización
SOLUCIÓN DEL EXÁMEN
3
1) x 
9 2 27 27
x 

x
4
64 16
Caso Aplicado: Cuatrinomio Cubo Perfecto



27
3
3 


64
4

  es un Cuatrinomio Cubo Perfecto
3
9


3. x 2 .      x 2 
 4
4 
2

27
 3
3. x.    
x 
 4
16

3
x3  x
9
27 27
3

Entonces: x  x 2 

x  x 

4
64 16
4
3
3
2)
36 2 2 2
x y z  100 x 2
81
Caso Aplicado: Diferencia de Cuadrados

36 2 2 2 6
x y z  xyz 
81
9
Bases

100 x 2  10 x

36 2 2 2
6
 6

Entonces:
x y z  100 x 2   xyz  10 x  xyz  10 x
9
 9

81
23
Factorización
2
3) xy  150xy  1875x
 xy 2  150 xy  1875x
 Factor Comun
3x ( y 2  50 y  625)
 Factorizacion mediante el
calculo de las raices (resolvente)
3x(y - 25)(y - 25) = 3x(y - 25) 2
Calculos: Resolvente
y 2  50 y  625
Busco una raiz de P(x)
y 2  50 y  625  0
50  ( 50) 2  4.1.( 625)
x1,2 
2.1
50  0
x1,2 
 x1  25, x2  25
2
Entonces: y 2  50 y  625  ( x  25)( x  25)  ( x  25) 2
24
Factorización
4)
Divisibilidad:
ab 3  125a
 Factor Comun
a (b 3  125)
 Divisibilidad
(b  5b  25)( x  5)
2
-5 es raiz de b 3 + 125 entonces es divisible
por (x + 5).
(b 3 + 125)  ( x  5)C ( x )
Aplico Ruffini, para calcular C(x)
donde C(x) es el cociente de dividir
b 3 + 125 por (x + 5)
b 3  0b 2  0b  125
1
0
0
5 
5
- 25 -125
1
5
- 25
C ( x )  x 2  5x  25
R( x )  0
5)
 3x 3  15x 2  24 x  12
 Factor comun

 3 x 3  5x 2  8 x  4


 Divisibilidad
- 3 x - 1 x 2  4 x  4

 Trinomio Cuadrado Perfecto
- 3 x - 1 x  2
2
25
125
0
Factorización
Divisibilidad :
x 3  5x 2  8 x  4
13  51
. 2  81
.  4  1 5  8  4  0
Entonces: x 3  5x 2  8 x  4 es divisible
por ( x - 1), es decir x 3  5x 2  8 x  4 = ( x - 1)C ( x )
C ( x ) es el cociente de dividir x 3  5x 2  8 x  4 por ( x - 1)
Aplico Ruffini para calcular C ( x )
1
-5 8
1
1 -4
6) 1 - 4
4
-4
4
0
C( x)  x 2  4 x  4
R( x )  0
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