…..Unidad 2 Geometría Analítica

Geometría Analítica …..Unidad 2
Unidad 2 Lugares Geométricos (Cónicas)
Sección 2.3 La Circunferencia
Definición: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal
manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo a
ese plano. El punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.
Ecuación de la circunferencia: de centro el punto C(h, k) y de radio es:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2 …..(F1)
Ejemplo:
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-2, 3) y radio 4.
Solución: aplicando (F1) nos queda que: (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16, resolviendo
resulta: x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0. Siendo esta ultima la ecuación general de la
circunferencia que tiene la forma x2 + y2 + Dx + EY + F = 0. En donde D = 4, E =
-6 y F = -3.
2. El punto P(3, 4) esta en una circunferencia con centro C(-1, 2). Hallar la
ecuación de la circunferencia.
Solución: aplicamos (F1) para obtener el radio r  (3  1) 2  (4  2) 2  20
obtenido el radio sustituimos en (F1) los valores del centro y el radio, resultando:
( x  1) 2  ( y  2) 2  20.
En ocasiones es dada la ecuación general y puede resultar conveniente llevarla
a la forma centro-radio, una utilidad de esta forma es que nos permite identificar
el centro y el radio de la circunferencia. La manera de llevarlo a la forma centroradio:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
FJDM 1
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es completando cuadrados. Observe que la suma x2 +Dx son los dos primeros
términos del desarrollo de (x – h)2, específicamente Dx = -2hx de aquí tenemos
2
D
 D
que h   , así que el termino que falta para completar cuadrados es   ,
2
2
2
E
igualmente   seria el termino faltante para completar el cuadrado el y2 + Ex.
2
Si sumamos y restamos los términos faltantes para completar cuadrados, se
tiene,
D2
E 2 D2 E 2
2
x  Dx 
 y  Ey 


F
4
4
4
4
2
resolviendo queda:
D 
E
D 2  E 2  4F

x    y   
2 
2
4

2
2
en donde el centro del circulo es el punto
r
 D E
C   ,  , de radio
 2 2
1
D 2  E 2  4F .
2
Si D2 + E2 - 4F > 0, la circunferencia es real.
Si D2 + E2 - 4F < 0, la circunferencia es imaginaria.
Si D2 + E2 - 4F = 0, el radio es cero y la circunferencia estaría representada por
 D E
el punto C   ,  .
 2 2
Ejemplo:
3. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuación general es x2 + y2 – 3x + 5y – 14 = 0.
Solución: para determinar las coordenadas del centro y hallar el radio a partir de
la ecuación general procedemos así:
D2
E2
Sumamos
y
a ambos miembros de la ecuación, resultando:
4
4
x2 – 3x +
(x2 – 3x +
9
25
9
25
+ y2 + 5y +
= 14 + +
, que resolviendo queda:
4
4
4
4
9
25
90
) + (y2 + 5y +
)=
, factorizando resulta:
4
4
4
FJDM 2
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3 2
5
90
3 5
) + (y + )2 =
, de aquí concluimos que el centro es el punto C( , - )
2
2
2 2
4
3 10
y el radio será igual a
.
2
(x -
La ecuación de una circunferencia se puede obtenerse determinando los valores
de tres constante, en la ecuación centro-radio conociendo h, k y r, y en la
ecuación general conociendo D, E y F, como también puede quedar
determinada conociendo tres de sus puntos, como hemos establecido las
expresiones (x – h)2 + (y – k)2 = r2 o x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0, contienen tres
constantes, por lo que es necesario conocerlas para poder determinar la
ecuación de la circunferencia. Como la circunferencia pasa por los tres puntos,
se pueden hallar los coeficientes sustituyendo las coordenadas de los puntos en
lugar de x e y, por ejemplo;
4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5, 3), B(6,2)
y P(3, -1).
Solución: si sustituimos las coordenadas de los tres puntos en la ecuación
general x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0, obtenemos tres ecuaciones lineales en D, E y
F. Las cuales son:
Para el punto A: (5)2 + (3)2 + 5D + 3E + F = 0  25 + 9 + 5D + 3E + F = 0
Para el punto B: (6)2 + (2)2 + 6D + 2E + F = 0  36 + 4 + 6D + 2E + F = 0
Para el punto P: (3)2 + (-1)2 + 3D – E + F = 0  9 + 1 + 3D – E + F = 0
Las cuales podemos escribir así:
5D + 3E + F = - 34
6D + 2E + F = - 40
3D – E + F = -10
resolviendo el sistema tenemos que: D = -8, E = -2 y F = 12, al sustituir estos
valores en la ecuación general queda: x2 + y2 - 8x - 2y + 12 = 0.
5. Hallar la ecuación centro-radio de la circunferencia que pasa por los puntos
A(6,2), B(8,0) y su centro esta en la recta 3x + 7y + 2 = 0.
Solución: si su centro esta en la recta 3x + 7y + 2 = 0 sus coordenadas debe
satisfacer dicha ecuación, por lo tanto 3h + 7k + 2 = 0. Por otro lado la
circunferencia pasa por los puntos A y B, por lo tanto sus coordenadas deben
satisfacer la ecuación centro-radio quedando:
Para el punto A: (6 – h)2 + (2 – k)2 = r2.
Para el punto B: (8 – h)2 + (0 – k)2 = r2.
Quedándonos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, si igualamos
las dos ecuaciones anteriores tenemos:
FJDM 3
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h2 -12h +40 + k2 - 4k = h2 -16h + k2 + 64, simplificando: 4h -4k -24 = 0, donde
h = 6 + k, sustituyendo en 3h + 7k + 2 = 0, queda, 18 + 3k + 7k + 2 = 0, k= -2
 h = 4  r = 2 5 , la ecuación de la circunferencia buscada es:
(x – 4)2 + (y + 2)2 = 20.
Ecuación de la tangente a una circunferencia: 6. Hallar la ecuación de la recta
tangente a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y + 20 = 0, en el punto P(3,5).
Solución: reducimos la ecuación dada a la ecuación centro-radio así:
X2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = -20 +16 + 9 factorizando y simplificando queda,
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25  que el centro de la circunferencia tiene coordenadas
C(4,3) y un radio r = 5. Con los puntos C y P determinamos la pendiente de la
perpendicular a la tangente que pasa por P (ver grafico):
53
1
1
 2  mT  
 , usando la ecuación punto-pendiente de la
34
mcp 2
recta determinamos la ecuación de la tangente así:
y – y1 = m(x – x1)  y – 5 = ½(x – 3)  2y -10 = x – 3  x – 2y + 7 = 0, que
es la ecuación de la recta buscada.
mcp 
7. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-4, 2) y que es
tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0.
Solución: la distancia del punto a la recta tangente nos da el radio por lo que:
r = -4 cos  + 2 sen  - d, reducimos la ecuación general de la tangente a la
ecuación normal y obtenemos:
3 x 4 y 16


de donde cos  = 3/5, sen  = 4/5 y d = -16/5 sustituyendo en la
5
5
5
ecuación para el calculo del radio nos queda:
 12  8  16
|| 4 | 4 , teniendo el radio y el centro, la ecuación de la
r = |
5
circunferencia es (x + 4)2 + (y – 2)2 = 16, o x2 + y2 + 8x – 4y + 4 = 0.
FJDM 4
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8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto A(-2, 1) y sea
tangente a la recta 3x – 2y – 6 = 0 en el punto B(4, 3).
Solución:
la recta que pasa por el centro de la circunferencia, es mediatriz del segmento
AB formado por los dos puntos por los cuales pasa la circunferencia, la ecuación
de la mediatriz es:
3 1 1
 , implica que la pendiente de la
pendiente del segmento AB mab =
42 3
mediatriz mm = -3, las coordenadas del punto medio del segmento AB son:
y  y1 4  2
x 2

1
2
2
x  x1 3  1
y 2

2
2
2
y – 2 = -3(x – 1) o sea 3x + y – 5 = 0, ahora determinaremos la ecuación de la
perpendicular a la tangente que pasa por el centro de la circunferencia:
la pendiente de la tangente es: mt = 3/2 lo cual implica que la pendiente de la
perpendicular es mp = -2/3, esta recta pasa por el punto B, quedando su
ecuación: y – 3 = -2/3(x – 4) o sea: 2x + 3y – 17 = 0, el punto donde se
interceptan esta perpendicular con la mediatriz es el centro de la circunferencia,
quedando ambas ecuaciones para el punto de intersección así:
3h + k – 5 = 0
2h + 3k – 17 = 0
resolviendo este sistema nos queda que: h = -2/7 y
2
k=
41/
7,
por tanto el radio
2
2 
41
1300

será: r 2   4     3   
, la ecuación de la circunferencia pedida es:
7 
7
49

2
2
2 
41
1300

, o 7x2 + 7y2 + 4x – 82y + 55 = 0.
x    y   
7 
7
49

FJDM 5
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Eje radical: el eje radical de dos circunferencias cualesquiera es la perpendicular
a la recta que une sus centros.
Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias no concéntricas C 1 y C2,
en donde:
C1: x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0
C2: x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación general de su eje radical es la recta:
(D1 – D2)x + (E1 – E2)y + F1 – F2 = 0
y la ecuación de la recta que une los dos centros de la circunferencia es:
2(E1 – E2)x – 2(D1 – D2)y + D2E1 – D1E2 = 0
E1  E 2
D1  D2
D  D2
La pendiente del eje radical es 1
, estas pendientes son negativamente
E1  E 2
reciprocas, implica que el eje radical es perpendicular a la recta de los centros.
La pendiente de esta recta es 
9. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias x2 + y2 – 2x - 4y - 20
= 0 y x2 + y2 - 24x + 2y + 129 = 0.
Solución:
(- 2 + 24)x + (-4 – 2)y – 20 – 129 = 0 o sea: 22x – 6y – 149 = 0.
Centro radical: sean tres circunferencias no concéntricas, cada par tiene un eje
radical, generando tres ejes radicales, si las tres circunferencias no tienen una
recta de los centros común, sus tres ejes radicales se cortan en un punto
llamado centro radical.
Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias:
C1: x2 + y2 + 2x – 4y – 6 = 0
C2: x2 + y2 – 4x – 2y = 0
C2: X2 + y2 + 2x + 12y – 36 = 0
Solución: debemos determinar los ejes radicales de C1C2, C2C3 y C3C1.
C1C2: 3x – y – 3 = 0
C2C3: -3x – 7y – 18 = 0
C3C1: 8y + 21 = 0
La intersección de los tres ejes radicales determina el centro radical, por lo que
las coordenadas del mismo las obtenemos resolviendo el sistema de
FJDM 6
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ecuaciones, de aquí que: y = - 21/8 (tercera ecuación), si sustituimos en la
primera ecuación tenemos: 3x + 21/8 – 3 = 0, 24x + 21 – 24 = 0, 24x – 3 = 0
 1 21
X = 1/8. El centro radical tiene coordenadas Cr  , 
8 8 
Lugares geométricos relativos a circunferencias:
10. Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de los cuadrados
de sus distancias a los puntos fijos A(2, 3) y B(-1, -2) es igual a 34.
Solución:
   
  y  3 y PB  x  1
2
2
Condición geométrica: PA  PB  34 en donde:
PA
2
2
2
2
  x  2
  y  2 , sustituyendo en la condición
2
2
2
2
geométrica nos queda: x  2   y  3  x  1   y  2  34, al desarrollar y
simplificar queda: x2 + y2 – x – y – 8 = 0 la cual es la ecuación de una
circunferencia.
2
2
11. Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x, y), cuya relación de distancia a
los puntos fijos A(-1, 3) y B(3, -2) sea a/b.
Solución:
PA a
Condición geométrica:
 , en donde:
PB b
PA  
x  12   y  32
y
PB 
condición geométrica queda:
x  32   y  22 , sustituyendo en la
x  12   y  32 a
 , elevando al cuadrado y
x  32   y  22 b
simplificando, nos queda:
b 2  a 2 x 2  b 2  a 2 y 2  2 b 2  3a 2 x  2 3b 2  2a 2 y  13a 2  10b 2
la cual es una circunferencia.








11. Un punto P(x, y) se mueve de tal manera que la distancia al punto A(2, -2)
es siempre igual a un tercio de su distancia al punto B(4,1). Hallar el lugar
geométrico.
Solución:
PB
Condición geométrica: PA 
, en donde:
3
PA  2  x    2  y  , y
condición geométrica, queda:
2
2  x2   2  y 2
2

PB 
4  x 2  1  y 2
,
sustituyendo
en
la
4  x2  1  y 2
, elevando ambos miembros de la
3
ecuación al cuadrado, desarrollando y simplificando nos queda:
8x2 + 8y2 – 28x + 38y + 55 = 0.
FJDM 7
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12. Un punto P(x, y) se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al
punto A(1, 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta L:
3x + 4y – 1 = 0.
Solución: si PL es la distancia del punto P a la recta L, tenemos que:
 
2
Condición geométrica: PA  2PL , en donde:
PA
 1  x   2  y 
Para determinar la distancia del punto a la recta reducimos la ecuación de la
3x  4 y  1
recta a la forma normal quedando
 0 , en donde la distancia seria:
32  4 2
3x  4 y  1
PL 
, sustituyendo en la condición geométrica, tenemos:
5
1  x 2  2  y 2  2 3x  4 y  1  , desarrollando y simplificando queda:
5


2
5x + 5y2 – 16x – 28y + 27 = 0.
2
2
2
Problemas
Antes de resolver estos problemas lea cuidadosamente este material de apoyo
resuelva y comprenda los ejemplos que aquí aparecen.
I. Hallar la ecuación de la circunferencia
a. De centro C (3,-1) y radio 5.
b. De centro C (0, 5) y radio 5.
c. De centro C (-4, 2) y diámetro 8.
d. De centro C (4, -1) y que pase por el punto A (-1, 3).
e. De centro C (3,-4) y que pase por el origen.
f. De diámetro el segmento que une los puntos A (-3,5), B (7,-3).
g. De centro C (-4, 3) y tangente al eje Y.
h. De centro C (3,-1) y radio 5.
i. De centro el origen y que pase por el punto A (6, 0).
j. Que sea tangente a los dos ejes de coordenada, de radio 8, cuyo
centro este en el primer cuadrante.
k. Que pase por origen de radio 10 y la abscisa de su centro sea -6.
l. De centro C (-2, 3) y que sea tangente a la recta 20x – 21y -42 = 0.
m. De centro el origen y que sea tangente a la recta 8x – 15y – 12 = 0.
n. De centro C (-1, -3) que sea tangente a la recta que une los
puntos A (-2, 4) y B (2, 1).
II. Hallar el centro y el radio de las circunferencias siguientes y determinar si
cada una de ellas es real, imaginaria o se reduce a un punto.
a. x 2  y 2  8x  10y  12  0
b. 3x 2  3 y 2  4x  2 y  6  0
c. x 2  y 2  8x  7 y  0
d. x 2  y 2  0
FJDM 8
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III.
IV.
V.
VI.
VII.
e. 2x 2  2 y 2  x  0
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
a. A (4, 5), B 3, -2) y C (1, -4).
b. A (8 -2), B (6, 2) y C (3, -7).
c. A (1, 1), B (1, 3) y C (9, 2).
d. A (-4, -3), B (-1, -7) y C (0, 0).
Hallar el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya suma de cuadrados
de distancia a los puntos A (-2, -5) y B (3, 4) sea igual a 70.
Hallar el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya relación de distancia a
los puntos fijos A (2, -1) y B (-3, 4) sea igual a -2/3.
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuyo
cuadrado de la distancia al punto fijo A (-2, -5) sea el triple de la
correspondiente a la recta 8x + 15y – 34 = 0.
Hallara las ecuaciones de los tres ejes radicales de la siguientes
circunferencias:
C1: x 2  y 2  3x  2 y  4  0
C2: x 2  y 2  2x  y  6  0
C3: x 2  y 2  1  0
FJDM 9