productos y cocientes notables

PRODUCTOS NOTABLES VS FACTORIZACIÓN
PRODUCTOS NOTABLES
Son productos entre expresiones algebraicas que pueden ser generalizados y cuyo desarrollo se
puede hacer por simple inspección.
BINOMIO AL CUADRADO
A.
El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer término
mas el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.
a  b2  a 2  2ab  b 2
Ejemplo:
3x
3
 2y2
  3x 
2
3 2
    
 2 3x 3 2 y 2  2 y 2
2
 9 x 6  123x 3 y 2  4 y 4
 y  62  y 2  2 y 6  62  y 2  12y  36
B.
El cuadrado de la resta de dos términos algebraicos es igual al cuadrado del primer
término
menos el duplo del producto del primer término por el segundo más el segundo al cuadrado.
a  b2  a 2  2ab  b 2
Ejemplo:
x  52  x 2  2x5  52  x 2  10x  25
2x 2 y 3  12  2x 2 y 3 2  22x 2 y 3 1  12  4x 4 y 6  4x 2 y 3  1
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ALGEBRAICOS
El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo término.
a  ba  b  a 2  b 2
Ejemplo:
x  7x  7  x2  72  x 2  49
3x  93x  9  3x   9  9x
2
2
2 2
2
4
 81
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA x  a x  b
El producto de dos binomios de esta forma es igual al cuadrado del término común más la suma de
los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no
comunes.
x  ax  b  x 2  a  b  ab
Ejemplo:
x  5x  6  x 2  5  6x  5.6  x 2  11x  30
x  3x  2  x 2   3   2x   3 2  x 2  5x  6
x  5x  4  x 2  5   4x  5 4  x 2  x  20
x  7x  5  x 2   7  5x   75  x 2  2x  35
BINOMIO AL CUBO
A.
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del
cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
a  b3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
Ejemplo:
x  53  x3  3x2 5  3x52  53  x3  15x2  3x25  125  x3  15x 2  75x  125
2 x 3  5 y 3  2 x 3 3  32 x 3 2 5 y   32 x 3 5 y 2  5 y 3
 8 x 9  34 x 6 5 y   32 x 3 25y 2   125y 3 
 8 x 9  60x 6 y  150x 3 y 2  125y 3
b.
El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple
del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el
cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
a  b3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
Ejemplo:
 y  33  y 3  3 y 2 3  3 y 32  33
2
 y 3  9 y   3 y 9  27
 y 3  9 y 2  27 y  27
5a
2
 2b 5


3
125x  3 25a
6
   35a  2b   35a 2b   2b 
2b   35a 4b   8b
3
 5a 2
4
5
2 2
2
5
10
 125x  150a 4 b 5  60a 2 b10  8b15
6
2
15
5 2
5 3

FACTORIZACION
La factorización es expresar un término algebraico como el producto de otros términos
llamados factores. En el caso de números reales utilizamos los números primos que,
al multiplicarlos resulta el termino original. Por ejemplo, el número 20 se factoriza en
números primos de la siguiente manera 2x2x5, y a² se factoriza a x a. Cuando se
2
factoriza un polinomio como x  5x  6 su resultado es
x  3x  2 .
FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
FACTOR COMUN
Se determinar el factor común es extraer el divisor común de los coeficientes y la parte
literal con menor exponente común de un polinomio.
Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que
resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.
Ejemplos
8a 2 b  4ab2
3by  9 ya
 Fact orcom un
 Fact orcomun
4ab( 2a  b)
3 y (b  3a )
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
x2  2xy  y 2  x  y 
2
Se identifican los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo
adelante.
Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán los términos de la
factorización.
Luego calculo el doble producto de los términos de las raíces; y luego nos fijamos si se
verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,
Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio
Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por
dichos términos que surgen de las raíces.
Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las raíces
del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.
Si el doble producto que aparece en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las
raíces del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.
Ejemplos:
1.
4 x 2  12xz  9 z 2



9 z 2  3z
  Es un T rinomioCuadrado P erfect o
2.2 x.3 z  12xz 


2
Ent onces: 4 x  12xz  9 z 2 = ( 2 x + 3 z ) 2
4x 2  2x
2.
1
 x3
16

4x6  2x3 

1
1


  Es un T rinomioCuadrado P erfect o
16
4

3 1
3
2.2 x .  x 
4

1
1
Ent onces: 4 x 6 
 x 3 = (2 x 3 + ) 2
16
4
4x6 
CUBO PERFECTO
x3  3x2 y  3xy2  y3  x  y 
3
Se identifican los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán los términos de la factorización.
Luego calculo:
El triple producto del cuadrado del primer término de la factorización por el segundo.
El triple producto de la primer término de la factorización por el cuadrado de la
segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el polinomio dado,
Si estos cálculos figuran en el polinomio dado, entonces decimos que es un Cubo
Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas raíces.
Las raíces que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.
Ejemplos:
1.
8a 3  36a 2 b  54ab2  27b 3


3
3

 27b  3b
  Es un Cubo P erfect o
3.(2a ) 2 .(3b)  36a 2 b 

3.(2a ).(3b) 2  54ab2 
Ent onces: 8a 3  36a 2 b  54ab2  27b 3 = ( 2a - 3b)3
3
8a 3  2 a
2.
1 3
3
3
x  x2 
x 1
8
4
2
3
1 3
1
x 
x
8
2
 1  1
1
3
3.( x ) 2 .(1)  
2
4
1
3
3. x.(1) 2 
x
2
2
1
3
Ent onces: x 3 
8
4
3





  Es un Cubo P erfect o
2
x 




3
1
x2 
x  1 = ( x - 1) 3
2
2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
x2  y 2  ( x  y)(x  y)
Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados
perfectos.
Calculo los términos de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada
uno)
Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados,
formado por dichos términos.
Ejemplos:
1.
9 x 2  25 y 2
9 x 2  3x 

2
2
 Entonces: 9 x  25 y  ( 3x  5 y )( 3x  5 y )
2
25 y  5 y 

2.
4 6
x  z4 y2
9
4 6
2 3
x 
x 
4 6
2 3
 2

4
2
9
3
x  z 2 y  x 3  z 2 y
 Entonces: x  z y  




9
3
3
z4 y2  z2 y 

TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA
x2  ax  b
Se le calcula la raíz cuadrado al primer término.
Se buscan dos números que multiplicados den el tercer termino y sumados el segundo
termino del trinomio
x2  cx  d  x2  a  bx  ab  x  ax  b
Ejemplos:
x2  11x  30  x2  5  6x  5.6  x  5x  6
x2  5x  6  x2   3   2x   3 2  x  3x  2
x2  x  20  x2  5   4x  5 4  x  5x  4
x 2  2 x  35  x  7x  5
SUMA DE CUBOS

a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2

El procedimiento de factorización en este caso es:
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.
El primer factor de la solución es un binomio conformado por la suma de las raíces
cubicas.
El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz
cubica de primer término menos el producto de las raíces cúbicas de los dos términos
más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.
Ejemplo:
3
Factorizar x  1
Aplicando el caso de factorización

x 3  1  x  1 x  x1  1
RESTA DE CUBOS

a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2

2

x  1  x  1 x  x  1
3
Se obtiene como resultado:
2
2


El procedimiento de factorización en este caso es:
Se extrae la raíz cúbica de los términos del binomio.
El primer factor de la solución es un binomio conformado por la resta de las raíces
cubicas.
El segundo factor de la solución es un trinomio conformado por: El cuadrado de la raíz
cubica de primer término más el producto de las raíces cúbicas de los dos términos
más el cuadrado de la raíz cubica del segundo término.
Ejemplo:
3
Factorizar x  1
Aplicando el caso de factorización
Se obtiene como resultado:

x 3  1  x  1 x  x1  1
2

2

x 3  1  x  1 x 2  x  1

TRINOMIO DE LA FORMA
ax2  bx  c
Este trinomio se diferencia de los anteriores casos en que el primer término puede
tener coeficiente diferente de 1.
Se factoriza de la siguiente manera:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, dejando indicado el
producto en el segundo término. Convirtiéndolo así en un trinomio de la forma:
x2  ax  b
Se cambian posición los coeficientes del producto del segundo término.
Se factoriza el trinomio utilizando el caso del trinomio de la forma x  ax  b
Se extrae factor común de cada uno de los binomios de la factorización.
Se divide por el coeficiente por el cual se multiplico en el primer paso, y se simplifica.
2
Ejemplo:
2
2
Factorizar 6 x  x  2 6 x  x  2
2
Se obtiene como resultado: 6x  x  2  3x  2(2x  1)