ALGEBRA

ALGEBRA
TEMA: PRODUCTOS NOTABLES
1. Concepto.- Un producto notable es el
resultado de una multiplicación de
polinomios de forma conocida.
2. Principales Productos Notables:
2.1 Diferencia de cuadrados:
a  ba  b  a 2  b 2
“La suma multiplicada por la diferencia de
dos cantidades es igual a la diferencia de
sus cuadrados”. Ejemplos:
1) (a+5)(a-5)=a2-52=a2-25
2) (2+x)(2-x)=22-x2=4-x2
3) (x3+1)(x3-1)=(x3)2-12=x6-1
4) (p4-1)(p4+1)=(p4)2-12=p8-1
Efectuar los productos:
1) (x2+3)(x2-3)=
.......................................
2) (an+6)(an-6) =
.......................................
3) (2p5- 3 )(2p5+ 3 )= ..........................
m m
4) (6+ )( -6)= ....................................
2 2
2.2 Trinomio cuadrado perfecto.
(a  b) 2  a 2  2ab  b2 
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
“El cuadrado de un binomio es igual
al cuadrado del primer término más el
doble producto del primero por el
segundo más el cuadrado del
segundo término”.
NOTA:
En la segunda fórmula cuando el
binomio es una diferencia, el término
central tiene signo negativo.
Ejemplos:
1) (a+4)2=a2+2(a)(4)+42=a2+8a+16
2) (9-b)2=92-2(9)(b)+b2=81-18b+b2
3) (7x3+1)2=(7x3)2+2(7x3)(1)+12=
49x6+14x3+1
2 )2= 5 2 – 2( 5 )( 2 )+ 2 2=
5-2 10 +2=7-2 10
4. ( 5 -
Efectuar abreviadamente:
1) (a+2b)2 =
...................................................
2) (3x-4y)2=
...................................................
3) (x 2 + y2)2= ............................................
2.3 Cubo de una suma:
a  b3  a 3  3a 2b  3ab2  b 3
“El cubo de una suma es igual al cubo del
primer término, más el triple de cuadrado del
primero por el segundo, más el triple del
primero por el cuadrado del segundo, más el
cubo del segundo término”. Ejemplos:
1) (a+3)3=a3+3(a)2(3)+3(a)(3)2+33=
a3+9a2+27a+27
2) (5+x2)3=53+3(5)2(x2)+3(5)(x2)2+(x2)3=
25+75x2+15x4+x6
Realizar las potencias:
1) (x+2)3=
.........................................................
2) ( 2 +1)3=...................................................
2.4 Cubo de una diferencia
a  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3
El desarrollo es similar al cubo de una suma,
con la única diferencia que los signos son
alternadamente positivos y negativos.
Ejemplos:
1) (n-4)3=n3-3(n)2(4)+3(n)(4)2-43=
n3-12n2+48n-64
2) ( 3 -1)3= 3 3-3( 3 2)(1)+3( 3 )(1)2-13=
3 3 -9+3 3 -1=6 3 -10
Efectuar:
1) (ax-c)3 =
........................................................
2) ( 5 -x)3 =
.....................................................
2.5 Producto de dos binomios con un
término
común
x  ax  b  x 2  a  bx  ab
El producto es un trinomio que contiene el
cuadrado de término común más la suma de
los términos no comunes por el término
repetido, más el producto de los términos no
comunes. Ejemplo:
1) (x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+(2)(3)= x2+5x+6
2) (a-5)(a-4)=a2+(-5-4)a+(-5)(-4)= a2-9a+20
3) (t3-9)(t3+5)=(t3)2+(-9+5)(t3)+(-9)(+5)= t6-4t345
Realizar los productos:
1) (y+8)(y-2) =
.................................................
2) (2xn-1)(2xn-5)=
...........................................
3) (4+p3)(p36)=...............................................
2.6 Suma de dos cubos
a  ba 2  ab  b 2   a 3  b 3
El primer miembro es el producto de un
binomio suma por un trinomio que contiene:
el cuadrado de primer término, menos el
producto de ambos términos más el
cuadrado del segundo término del binomio;
el segundo miembro representa la suma de
los cubos de los términos del binomio.
Ejemplo:
1) (x+3)(x2-x.3+32)=x3+33=x3+27
2) (5+n)(52-5.n+n2)=53+n3=125+n3
Realizar:
1) (a+2)(a2-a.2+2 2)=
.......................................
2) (6+w)(62-6.w+w2)= .....................................
2.7 Diferencia de cubos
a  ba 2  ab  b 2   a 3  b3
El primer miembro es el producto de un
binomio diferencia por un trinomio que
contiene: el cuadrado de primer término,
más el producto de ambos términos, más el
cuadrado del segundo término del binomio;
el segundo miembro representa la diferencia
de los cubos de los términos del binomio.
Ejemplos:
1) (a-1)(a2+a.1+12)=a3-13=a3-1
2) (4-c)(42+4.c+c2)=43-c3=64-c3
Efectuar abreviadamente:
1) (x
3)(x2+x.3+32)=............................................
2
2
3) ( 3  2 )( 3  3 2  2 )=
.............
.................................................................
...
2.8 Equivalencias de Legendre
a  b2  a  b2  2a 2  b 2 
“El cuadrado de la suma de dos cantidades,
más el cuadrado de su diferencia es igual al
doble de la suma de los cuadrados de dichas
cantidades”.
Ejemplos:
1) (x+2)2+(x-2)2=2(x2+22)=2(x2+4)
2) (3x+1)2+(3x-1)2=2((3x)2+12)= 2(9x2+1)
a  b2  a  b2  4ab
“El cuadrado de la suma de dos cantidades,
disminuido en el cuadrado de su diferencia
es igual al cuádruplo del producto de dichas
cantidades”.
Ejemplos:
1) (a+7)2-(a-7)2=4(a.7)=28a
2) (2m+3p)2-(2m-3p)2 =4(2m.3p)=24mp
Desarrollar:
1) ( 5  2 )2+( 5  2 )2 = .......................
.......................................................................
...
4) (x + x-1)2 – (x – x-1)2 = ...............................
.......................................................................
...
PROBLEMAS
1. Realizar:
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8) (a-b)+b16
2. Efectuar: (a2+2)-2a(a2+2)+2a
17. Para x  N se define:
3. Simplificar:
P=(x-1)(x+2)+(x-3)(x+6)-2(x+1)2
 x, si x es par
p ( x)  
x  3 / 2, si x es impar
4. Si: A=(a+b)(a2+ab+b2)
B=(a-b)(a2-ab+b2)
Halar AB:
Calcular x en: p(x)+p(x+1)=13
18. Simplificar: (x– x–1)3+(x+x–1)(x2+x–2+2)
5. Sabiendo que x0, reducir:
 x  1

1 
 2x 2 


4
19. Determinar
2
el
valor
numérico
de:
S  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )
sabiendo que:
a  5  3, b  5  3, c  4  2 3,
d  4  2 3, a  b  c  d  2 p
6. Efectuar:
E  3 x  x 2  y 3 .3 x  x 2  y 3
7. ¿A qué es igual la expresión adjunta?
 x  y 2  4 x
; si x<y
20. Calcular el valor de: P(x+y)2+x2+4y2-(x–
y)2
si: x  1  2 2  2 3, y  2  3  2
21. El valor numérico de: f(x)=x3–3x2+3x-1
en x=1,001 es:
8. Hallar el valor absoluto de:
R=(3x+2)(9x2+6)(3x-2)-(9x2+1)2
9. Restar: 9x2+(4x+1)2 de: (5x+4/5)2
10. Al simplificar:
(x+1)2(x2+2x-1)-(x-1)2(x2-2x-1)1/3
22. Calcular: S=(x–2+y–2)–1 asumiendo que
xy=2; x+y=3 2
23. Realizar:
4 x  1x  1



x  1 4 x  1 x4  x2  1
asumiendo x > 0
11. La suma de 2 números es 10 y su
producto es 22. Hallar la suma de sus
cubos.
24. Si: x3=1 / x1; calcular: E 
12. Si la suma de dos números es 7 y su
producto es 3. Calcular la suma de sus
cuadrados.
25. Simplificar:
(n+1)(n–2)(n2–n+1)–(n2– n– 4)(n2– n+3)
13. Si: a * b   a  b 
 2 
2
2
a b

 ,
 2 
entonces: (a+x)*(a+x) es igual a:
14. Conociendo que la media aritmética y la
media geométrica de dos números son
respectivamente 3 y 4, calcular la suma
de sus cuadrados.
15. Si: x+x–1=3. Calcular E=x2+x–2.
16. Si: a>b>0, realizar:
2b2  2ab 
a2  b2 2  2ab2
x8  x 4
x6  1
CLAVE DE RESPUESTAS
1. a16
14. 4
2. a4+4
15. 7
3. –22
16. (a+b)2
6 6
4. a -b
17. 7
5. (x4+1)/2x2
18. 2(x3+3x-1 )
6. y
19. 1319. 25
7. y – x
21. 0,000 000 001
8. 25
22. 5/2
9. –9/25
23. x6–1
10. 2x
24. 1
11. 340
25. 10
12. 1
13. a2+2ax+x2
.