NP_Dos jóvenes matemáticos españoles resuelven un - i-Math

Los resultados ya han sido difundidos a través de internet y
expuestos ante expertos en el tema
Dos jóvenes matemáticos españoles resuelven un
problema planteado por John Nash
en los años sesenta

Las técnicas empleadas sorprenden por su sencillez y por su novedoso
enfoque

La conjetura permite conocer aspectos importantes de las
singularidades, uno de los objetos matemáticos más estudiados a
partir del s. XX

Los autores, Javier Fernández de Bobadilla y María Pe Pereira, tienen
menos de 40 años. La investigación ha sido posible gracias a una beca
del Consejo Europeo de Investigación.
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Madrid, 14 de marzo.- El famoso matemático John Nash, cuya vida ha
inspirado la película Una mente maravillosa, enunció a mediados de
los años sesenta –durante uno de los periodos en que su brillantez
matemática dejaba en segundo plano a su enfermedad mental– una
conjetura relacionada con un concepto que los matemáticos llaman
‘singularidad’. Ahora, dos jóvenes matemáticos españoles, Javier
Fernández de Bobadilla y María Pe Pereira, la han resuelto. Su trabajo
está siendo toda una sorpresa para los especialistas en el problema de
Nash. Fernández de Bobadilla y Pe Pereira han demostrado la
conjetura con un abordaje muy novedoso y en sólo tres años de
trabajo.
“Lo importante en este caso ha sido dar con la idea”, explica
Fernández de Bobadilla, investigador del Instituto de Ciencias
Matemáticas (ICMAT), en Madrid. “Hemos resuelto el problema de
Nash con técnicas sorprendentemente sencillas, casi elementales,
aunque por supuesto nos basamos en desarrollos previos de otros
investigadores”.
Él y su colaboradora han publicado su trabajo hace unas semanas en
internet y ya han tenido ocasión de exponerlo ante especialistas del
tema. Como es habitual en matemáticas, la publicación en revistas de
prestigio solo se producirá tras una revisión cuidadosa por
investigadores anónimos, que puede prolongarse más de un año.
El problema de Nash es de matemáticas ‘puras’, es decir, no tiene
aplicaciones fuera de la propia matemática. Al menos, no a corto
plazo: “Ahora entendemos algo importante que antes no entendíamos,
y eso acabará teniendo aplicaciones”, dice Fernández de Bobadilla.
Pero para este investigador de 38 años, receptor de una de las
prestigiosas y escasas becas del Consejo Europeo de Investigación, el
avance del conocimiento es un fin en sí mismo: “Un matemático lanza
una conjetura cuando intuye que algo es cierto pero no lo puede
demostrar; el esfuerzo por demostrar las conjeturas hace avanzar las
matemáticas, y las matemáticas no son sino la forma más rigurosa de
pensamiento”.
Meterse en una ‘singularidad’
¿Qué fue lo que Nash conjeturó a principios de los años sesenta pero
no pudo demostrar? La intuición de este matemático, premio Nobel de
Economía en 1994 y que a sus 82 años sigue en activo en la
Universidad de Princeton, tiene que ver con la comprensión de las
‘singularidades’, un concepto matemático que sí se percibe en el
mundo físico. Los fenómenos en que aparecen cambios instantáneos
de comportamiento tienen singularidades: la formación de tornados en
la atmósfera, cuando un metal se rompe al ser sometido a
temperaturas muy altas o cuando el espacio-tiempo se curva tanto
que se forma un agujero negro.
Pero el tipo de singularidades de las que trata el problema de Nash
proceden de la geometría y se visualizan con un ejemplo más modesto:
si se retuerce completamente un cilindro, el punto entre los dos conos
resultantes es una singularidad. Y es que todas las singularidades se
pueden imaginar a partir de un objeto liso en que una parte se
comprime dando lugar a la singularidad –en el ejemplo anterior, una
de las circunferencias que rodea al cilindro se estaría comprimiendo
en el vértice de los conos–. Este conjunto que se comprime o colapsa
es lo que los matemáticos llaman lugar excepcional.
La pregunta es: ¿Qué puede llegar a saberse de esa singularidad?
¿Sería posible, por ejemplo, hacer correr la película marcha atrás y
deducir cuál es el lugar excepcional que ha sido comprimido para
generarla? Los matemáticos, y en concreto los llamados singularistas,
investigan intensamente en estas cuestiones desde la primera mitad
del siglo XX.
Así, los singularistas han aprendido, por ejemplo, a extraer
información a partir de las posibles trayectorias de las partículas que
atraviesan una singularidad –o, lo que es lo mismo, de los posibles
recorridos de una canica microscópica rodando por la pared interna
del cilindro retorcido–. Estas trayectorias se agrupan en familias
según su comportamiento.
El lugar excepcional y las trayectorias
Lo que propuso Nash fue que existe una determinada relación entre la
forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias que
atraviesan la singularidad. Afirmó que en objetos de dos dimensiones,
es decir, en superficies, hay una correspondencia perfecta entre la
forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias. Nash
también sugirió estudiar esta relación en dimensiones superiores.
En 2003 el húngaro János Kollár, de la Universidad de Princeton
(EEUU), y la japonesa Shihoko Ishii, del Instituto Tecnológico de
Tokio, demostraron que la relación descrita por Nash no se da en
singularidades de objetos de cuatro o más dimensiones.
En cambio los matemáticos españoles han confirmado que sí funciona
en dos dimensiones, y por tanto Nash tenía razón. El artículo en que
explican su resultado se titula simplemente Nash problem for surfaces.
“Desde el punto de vista matemático es un problema muy bonito, con
un enunciado sencillo, y que además ha podido ser entendido con
técnicas relativamente elementales, lo que es una suerte para un
matemático”, dice María Pe Pereira, de 30 años, actualmente en el
Instituto Jussieu de París con una beca postdoctoral de Caja Madrid.
Resolver un problema de camino a otro
El camino hasta la demostración de la conjetura parte del uso de
herramientas nunca aplicadas antes a este problema, procedentes de
la topología –que estudia formas atendiendo al número de agujeros o
de ‘rupturas’ que presenten–. Fernández de Bobadilla trabajaba en un
problema de geometría, y se le ocurrió una forma de resolverlo en el
caso de que la conjetura de Nash fuera cierta. Pero él consideraba
entonces “demasiado optimista” pensar en resolver el problema de
Nash. Al poco tiempo, sin embargo, dio con una técnica que permitía
atacarlo de modo topológico. Con esta base María Pe Pereira solucionó
el problema de Nash para una clase importante de singularidades, y
dio con ideas clave para que, sólo unos meses después, ambos
matemáticos demostraran el caso general.
Ahora que sabe que la conjetura de Nash es correcta, Fernández de
Bobadilla se enfrentará otra vez al problema en que trabajaba
inicialmente. Si efectivamente lo resuelve será casi como matar dos
pájaros de un tiro, o como emprender la búsqueda de un tesoro y
encontrarse otro inesperado –y puede que mayor– por el camino.
Más información:
Javier Fernández de Bobadilla, Instituto de Ciencias Matemáticas
(ICMAT): [email protected]. 608139297
María Pe Pereira, Instituto Jussieu de París: [email protected].
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