UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR Facultad de Ciencias Aplicadas Instituto de Ciencias Ambientales

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DE PILAR
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR
Facultad de Ciencias Aplicadas
Instituto de Ciencias Ambientales
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MATEMÁTICA Primer Curso
Lic. Roberto Riveros E.
Introducción:
La matemática del griego mathematiké, terminación femenina de mathematikós,
"matemático". Es una disciplina basada en el método científico deductivo, consistente
en un estudio a priori, partiendo de premisas que no requieren ningún género de
confirmación experimental por ser de por sí evidentes, que estudia los entes abstractos,
sus propiedades y las relaciones existentes entre ellos.
Se dice tradicionalmente que tuvo su cuna en Grecia algunos siglos antes de
Jesucristo, pero investigaciones recientes aseguran que los incas y los chinos disponían
con anterioridad de cultura matemática. Sea como fuese, los helenos le dieron gran
impulso, en general en las ramas de la geometría y la astronomía.
Desde aquella época y la aparición de la teoría de conjuntos y el álgebra de las
estructuras, grandes talentos han trabajado para proporcionar a cada una de las
disciplinas científicas, según sus necesidades, el gran instrumento de trabajo que es la
matemática. El físico, el ingeniero y el economista precisan del eficaz aparato
matemático para realizar sus estudios. No extrañará, pues, dado el progreso de todo el
conocimiento humano, que sea la disciplina que más ha evolucionado en los últimos
cien años. Por todo ello, pudiera imaginarse que la matemática no es mas que una
ciencia auxiliar o instrumental; pero tal concepto distaría considerablemente de la
realidad. La matemática constituye un saber en sí, capaz de las más audaces
concepciones a que puede atreverse el intelecto del hombre, y que, apoyándose solo en
sí misma, se eleva a regiones que no puede soñar ni siquiera la poesía. Precisamente por
su amplitud, fantasía y multivalencia incomparables, se ha convertido en el lenguaje
mas racional e inteligible con que pueden expresarse las demás ciencias.
En los últimos tiempos la matemática ha experimentado una mutación: la
aparición de nuevas ideas, conceptos y métodos de razonamientos ha dado lugar a lo
que se llama matemática moderna. Se comprende fácilmente que así sea si se tiene en
cuenta que esta ciencia es como un edificio que cada generación reconstruye según
nuevos planos y con cimientos y materiales nuevos, en vez de continuar aumentando su
altura con sus aportaciones.
La ciencia, como búsqueda humana, no puede oír mas respuesta que la formulada en
cierto modo en tonos humanos. El ser humano primitivo se irguió frente a las montañas
y gritó contra un peñasco; el eco le devolvió su propia voz y él creyó que se trataba de
un espíritu puro. El científico actual está de pie calculando frente al infinito, los
números vuelven hacia él – y él cree en el Gran Matemático.
RICHARD HUGHES
CLAUDIO PTOLOMEO (100 - 175 D.C.)
El más sobresaliente de los astrónomos de la época helenística.
Nacido en Egipto, confluencia de dos cultura oriente y occidente,
influyó igualmente sobre ambas. Su sistema geocéntrico dominó
la astronomía durante 14 siglos hasta la aparición de Copérnico.
Aunque es mas conocido por estos trabajos, fue uno de los
fundadores de la trigonometría. Su obra principal, El Almagesto,
en que se abordan cuestiones científicas, se utilizó en las
universidades hasta el siglo XVIII.
Todos los hombres que han demostrado valer algo han sido los principales artífices de
su educación
CIENCIAS
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PILAR - ÑEEMBUCÚ
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2
ÁLGEBRA
l álgebra es la parte de las matemáticas que, partiendo de axiomas, estudia
las leyes de composición y las relaciones que dotan de estructura a los
conjuntos.
El álgebra es aplicable tanto al campo de los números reales como
al de los números complejos y permite la resolución de ecuaciones mediante el uso de
variables literales, que simbolizan cantidades numéricas. Además, y aparte de otras
numerosas aplicaciones, permite sintetizar en expresiones relativamente sencillas
(fórmulas) complejos métodos de cálculo.
La cuna del álgebra puede situarse en la civilización hindú, donde aparecieron
los rudimentos de esa ciencia y fue el pueblo árabe que tenía un intercambio comercial
con la India, allá por el año 750, el que tomó esos conocimientos, los sistematizó, les
aplicó el razonamiento deductivo de la matemática griega, y de esa combinación resultó
el Algebra que, a través de distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir,
que puede considerarse a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal
punto es así, que el vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra
“alchebr”, que significa “reducción”, “suma”.
Con las invasiones musulmanas a Italia y España llegó el Álgebra a nuestra
cultura occidental.
En la edad media el álgebra hizo progresos considerables, merced a Gerber en
Francia y a Leonardo de Pisa, en Italia. Éste fue uno de los que más divulgó los
conocimientos algebraicos en Europa, que en esos tiempos se limitaba a la resolución de
ecuaciones de 1° y 2° grados.
A Italia le cupo la gloria de contribuir con la resolución de ecuaciones de 3er
grado, Tartaglia (nacido en Brescia, en 1500) llegó a resolver las ecuaciones de 3er
grado.
Es interesante recordar a titulo de curiosidad histórica, que Tartaglia aceptó el
desafío de resolver 30 problemas en un tiempo inferior a 40 días, y que él, mediante
ecuaciones de 3er grado, logró resolver en 2 horas.
Cardano con la ayuda de su alumno Ferrari, llegó a establecer la expresión
general de la solución de ecuaciones de 4° grado.
Francisco Viete (1549 – 1603) fue el creador del álgebra moderna. Se ocupó de
la resolución numérica de ecuaciones de grado superior al 4°, ideó la representación de
las incógnitas mediante letras, y reglamentó para estos símbolos las operaciones ya
utilizadas con los números.
LA ESCUELA DE BAGDAD (SIGLO IX AL XII)
Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del álgebra. A fines del siglo VIII
floreció la escuela de Bagdad, a la que pertenecías Al Juarismi, Al Batani y Omar
Cayan. Al Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de álgebra, y le dio
nombre a esta ciencia. Al Batani, sirio (858 – 929), aplicó el álgebra a problemas
astronómicos. Y Omar Cayan, persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en
“Rubayac”, escribió un tratado de álgebra.
Si no puedes sobresalir con tu talento, hazlo con tu esfuerzo
ECUACIONES
3
La representación de números reales mediante símbolos hace posible el
planteamiento de problemas de la vida real que requieren, para su solución, encontrar
valores específicos de estos símbolos (incógnitas) que satisfacen una relación de
igualdad. Estas relaciones de igualdad se llaman ecuaciones y los números reales que las
satisfacen son soluciones de las mismas.
Basado en la relación de orden que tiene el conjunto de los números reales
también se plantean expresiones simbólicas que se llaman desigualdades (o
inecuaciones).
EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es una combinación de números, letras y operaciones.
A las letras se les denomina parte literal.
IGUALDAD: Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen
el mismo valor. Ejemplo:
a = b + c ; 3x2 + 15 = 4
ECUACIÓN: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas
llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de
las incógnitas. Ej. :
5x + 2 = 17
IDENTIDAD: Es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras
que entran en ella. Ej.:
(a - b) 2 = (a - b) . (a - b)
MIEMBROS: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la
expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro
a la expresión que está a la derecha. Ejemplo:
3
x
5

1er .miembro
=
2x3
2 do .miembro
TÉRMINOS: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el
signo más (+) o menos (-) o la cantidad que está sola en un miembro. Ejemplo:
2
x
 5abcdef

y  m
terminos
AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES: Si con cantidades
iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.
7 + 3 = 12 - 2 
2 (7 + 3) = 2(12 - 2)

7  3 12  2

2
2
Para trabajar adecuadamente en álgebra es necesario atender a algunas reglas de juego
que nos ayudan a entender cualquier enunciado matemático.
La persistencia es hermana gemela de la excelencia. Una es cuestión de
calidad; la otra, de tiempo.
Primera condición: Las expresiones algebraicas están formadas por los términos. Por
ejemplo en la expresión:
4
5x4 + 2x2 – 3x2 + ½ x
El primer término es 5x4
El segundo término es 2x3
El tercer término es -3x2
El cuarto término es ½ x
Segunda condición: Un término está separado de otro término por el signo más (+) o por
el signo menos (-).
5
x 4  2
x3  3
x 2  1
/ 2x
termino
término
término
término
Tercera condición: Un término está formado por constantes y variables multiplicadas
entre sí. Estos números y letras se llaman factores.
5 
x4
2 
x3
3 
x2
factor factor
factor factor
factor factor
1
/ 2 x
factor factor
El factor numérico se llama coeficiente numérico o simplemente coeficiente del
término.
5 x4
coeficiente
2 x2
3 x2
coeficiente
coeficiente
½ x
coeficiente
El signo del término se considera del coeficiente.
Cuarta condición: El contenido de un signo de agrupación (paréntesis) se considera
como un solo factor.
(x2  y 2 )


coeficiente
7
factor
Quinta condición: Un término en el que no aparezca número, tiene como coeficiente el
uno (1).
x5  tiene coeficiente 1,
3x2  tiene coeficiente 3
TRANSPOSICIÓN DE TERMINOS: consiste en cambiar los términos de una
ecuación de un miembro a otro.
REGLA: cualquier término de una ecuación puede pasar de un miembro a otro
cambiándole el signo.
Resolvamos la ecuación x + 15 = 23
Para resolver la ecuación, debemos hallar o despejar el valor
x + 15 = 23
de la x
Para ello, es necesario restar 15 del primer miembro y como
se trata de mantener la igualdad también lo hacemos en el x + 15 - 15 = 23 – 15
segundo miembro
Resolvamos esta operación, y tenemos:
x=8
No se pierde nada cuando uno se deshace de sus defectos
Aplicación de la regla de la transposición de términos:
5
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
x + 15 = 23
x+a=b
x = 23 - 15
x=b-a
x=8
x=b-a
Ejemplo3:
Ejemplo 4:
2 x = 22
x
Ejemplo 5:
ax=m
22
2
x = 11
Ejemplo 6:
x
4
5
x
z
d
x
m
a
x=4.5
x=z.d
x
m
a
x = 20
x=z.d
EJERCICIOS DE TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS
De los siguientes ejercicios, transponer cada uno de los términos al otro miembro de la
ecuación.
1)
a+b=x–y
2)
a=x-b
3)
b-n=m+z
4)
x= a-b-c
5)
a.b=x.y
6)
x.y=m.n
7)
ab
y
x
8) 3x - b = 2y + c
DESPEJE DE TÉRMINOS: Consiste en dejar un solo término en el primer miembro de
una ecuación.
Esta operación es muy utilizada en la resolución de problemas de matemática y de
física.
Despejar la x de la ecuación:
Ejemplo 1

xy=ab
x
ab
y
Ejemplo 2
Ejemplo 3


a b

y x
x + a –b = m + n
x=m+n–x+b
x
b. y
a
La felicidad es una actitud: o nos hacemos desdichados, o nos hacemos felices y
fuertes. La cantidad de trabajo es la misma.
6
EJERCICIOS DE DESPEJE DE TÉRMINOS
De los siguientes ejercicios, despejar cada uno de los términos.
9)
x
 a.b
y
10)
x. y
 b.c.
a
12)
a.b
mn
x
14)
a.b  x. y
 2z  c
m.n
15)
2a  b
ym
x
16)
x  y am

2b
n
17)
2x  1
1

ab
3m  s
18)
2 x  y ab

mz
c
11)
13)
19)
a.b – x.y = m
a  2b
m
x y
m x  ab
 n 1
yz
PITAGORAS (585 – 500 A.C)
Célebre filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponte.
Después de realizar sus primeros estudios en su ciudad natal,
adquiriendo los primeros conocimientos de Tales de Mileto; viajó
por Egipto y otros países de Oriente. Durante una etapa de su vida
permanece en Babilonia, deportado y esclavizado, hasta que logra
escapar a Crotona. A su regreso, con algunos de sus discípulos
fundó la Escuela de Crotona, que era una sociedad secreta de tipo
político-religioso, la cual alcanzó gran preponderancia. Fue el
primero en colocar a la base de las especulaciones filosóficas, los conceptos
fundamentales de la matemática. Hizo del número el principio universal por excelencia.
A Pitágoras debemos el famoso teorema cuyo enunciado dice que en un triángulo
rectángulo “la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
RESOLVER UNA ECUACION es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las
incógnitas que satisfacen la ecuación.
7
RAICES O SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las incógnitas que
verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas,
convierten la ecuación en identidad.
SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN
Para asociar algunos términos de una expresión algebraica, se indica encerrando los
términos con los siguientes signos de agrupación.
Paréntesis
(
Corchete
Llave
{
)
Paréntesis común
[
]
Paréntesis regular
}
En algunas expresiones algebraicas los términos pueden aparecer agrupados. Antes de
sumar o restar los términos semejantes es necesario suprimir el signo de agrupación;
para tal efecto se debe tener en cuenta las siguientes condiciones.
Primera condición: Todo signo de agrupación precedido del signo + (más) se puede
suprimir (quitar), dejando todos los términos con su propio signo.
Ejemplos:
3x + (2y – 5z)
3x + 2y – 5z
2a + (-3b + 5c)
2a - 3b + 5c
Segunda condición: Todo signo de agrupación precedido del signo – (menos) se puede
suprimir, pero cambiando los signos de cada uno de los términos encerrados dentro del
signo de agrupación.
Ejemplos:
3x – (-2y + 5ax)
3x + 2y – 5ax
7x - [3y –4z]
7x – 3y + 4z
ECUACION: es la igualdad indicada entre dos miembros, que solo se verifica para
determinados valores de las incógnitas (letras). Estos valores son las soluciones o
raíces de la ecuación.
¿Cómo resolver una ecuación?.
Ejemplo 1: Si se quiere hallar la solución de la ecuación x + 7 = 9, esto es, el valor de
x que hace que la igualdad sea verdadera.
Solución:
x+7=9
x + 7 + (-7 ) = 9 + (-7) Se suma el mismo numero que se desea transponer a ambos
lados de la ecuación
x = 2
Esta regla puede ser aplicada en cualquier ecuación.
HUMILDAD: cualidad que perdemos en cuanto creemos tenerla.
Ejemplo 2:
y
5
3
y=5.3
8
y = 15
Esta regla también puede ser aplicada en cualquier
ecuación.
Ejemplo 3: 5x – 11 = 9
5x – 11 + 11 = 9 + 11
Se suma el mismo numero a ambos lados de la ecuación.
5x = 20
20
x
5
x =4
Ejemplo 4:
5 (2a + 1) – 3a = 4a + 3
10a + 5 – 3a = 4a + 3
Se aplica la propiedad distributiva.
7a + 5 = 4a + 3
Se reducen términos semejantes.
7a + 5 – 4a = 4a + 3 – 4a Se resta 4a a ambos lados de la ecuación,
3a + 5 = 3
para que la variable a, quede del mismo lado.
3a + 5 - 5 = 3 - 5
Se resta 5 a ambos lados de la ecuación.
3a = -2
Se resuelve
a
2
3
Al resolver ecuaciones es importante que los signos de igualdad queden ubicados uno
debajo de otro.
RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
20)
5x = 8x – 15
21)
9y – 11 = 10 + 12y
22)
8x – 4 + 3x = 7x + x + 14
23)
8x + 9 – 12x = 4x – 13 – 5x
24)
3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100
25)
3x –(2x – 1) = 7x –(3 – 5x) + (-x + 24)
26)
30x –(-x + 6) + (-5x + 4) = -(5x + 6) + (-8 + 3x)
27)
x – (2x + 1) = 8 – (3x + 3)
28)
10 (x – 9) – 9 (5 – 6x) = 2 (4x – 1) + 5 (1 + 2x)
29)
x + 3 (x – 1) = 6 – 4 (2x + 3)
30)
2 (3x + 3) – 4 (5x – 3) = x (x – 3) – x (x + 5)
La manera de dar algo es más valiosa que el regalo mismo
Expresiones algebraicas, que facilitan a interpretar y a resolver los problemas
matemáticos
9
“a”, “b”, “c” son números reales
El triple de la suma de a y c
El producto de a por el cuadrado de b
La suma de los cuadrados de a, b y c
El cuadrado de la suma de a, b y c
La raíz cuadrada de la diferencia entre a y b
3 (a + c)
a.b2
a2 + b2 + c2
(a + b + c)2
a b o ba
La enésima potencia de la suma de b y c
(b + c)n
El doble de la diferencia de los cuadrados de a y c 2 (a2 – c2)
El cubo de a, disminuido en 3
a3 – 3
Si a y b representan números reales, simbolizar las siguientes expresiones verbales:
31) La suma de los números:
32) El producto de los números:
33) La diferencia de los números:
34) El cubo de la diferencia:
35) La diferencia de los cubos:
36) La suma de los cuadrados de los números:
37) El cociente de los números:
38) El cuadrado de la suma de los números:
39) La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados:
40) El doble producto de los números:
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y operaciones. A
las letras se les denomina parte literal.
Si “n” representa cualquier número entero, simbolizar algebraicamente las siguientes
expresiones verbales.
41)
El número anterior a n:
42)
El triple de n:
43)
El siguiente de n:
44)
El número al cuan excede n en 3:
45)
Los ¾ de n:
46)
El número que excede a n en 22:
47)
El cuadrado del número n disminuido en 2:
48) El número n disminuido en 5:
49) La mitad del triple del número n:
"Procura en tus estudios no saber mas que los otros, sino saberlo mejor".
Séneca
Si n representa cualquier número entero,
Expresar verbalmente el significado de las siguientes simbolizaciones algebraicas.
10
50)
n + 3:
51)
3(n – 1):
52)
n – 3:
53)
n2:
54)
2n:
55)
n2 – 1:
56)
3n – 1:
57)
(n-1)2:
Si a y b son números y a es mayor que b (a>b), representar la relación que se establece
en cada caso.
58)
El doble del mayor es igual al triple del menor.
59)
El mayor excede al menor en 5.
60)
El menor es igual al mayor disminuido en 12.
61)
El triple de menor aumentado en 5 es igual al doble del mayor disminuido en 1
Pasos básicos para a tener en cuenta en el momento de plantear cada problema
Primero: Leer cuidadosamente el problema. Determinar cuáles son las cantidades
conocidas y cuales las buscadas. Un esquema puede ser de ayuda.
Segundo: Escoger una variable que represente el valor buscado en el problema.
Tercero: Leer nuevamente el problema y plantear una ecuación que represente la
relación entre los datos del problema.
Cuarto: Resolver la ecuación.
Quinto: Verificar la solución con el planteamiento inicial del problema.
Ejemplo de resolución de problemas:
Corta un cable de 3,8 metros de longitud en dos partes, tal que una de ellas mida un
metro más que la otra.
Solución.
1°) Los valores desconocidos son las longitudes de los dos trozos de cables.
2°) Sea “x” la longitud del trozo más pequeño. Entonces, de acuerdo al enunciado, x +
1 es la medida de trozo mayor.
3°) x + (x + 1) = 3,8
4°) x + (x + 1) = 3,8
x + x + 1 = 3,8
2x + 1 = 3,8
2x = 3,8 – 1
2x = 2,8
2,8
x
2
x = 1,4 metros mide el trozo menor.
Por lo tanto: x + 1 = 2,4 metros mide el trozo mayor.
11
5°) Verificar que la solución corresponda al enunciado inicial.
Efectivamente, la suma de los dos trozos es de 3,8 metros y además,
el trozo mayor mide 1 metro más que el trozo menor.
RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
62) La suma de las edades de A y B es de 84 años, y B tiene 8 años menos que A. Halla
ambas edades.
63) La suma de dos números enteros consecutivos es 79. ¿Cuáles son los números?
64) La suma de tres números enteros consecutivos es 168. ¿Cuáles son los números?
65) La edad de Andrés es el triple de la de Víctor. Si al sumar ambas edades da 128,
¿Cuáles son las edades de Andrés y Víctor?
66) Ana tiene 300 estampillas más que Carlos. Si entre los dos tienen 1.244 estampillas,
¿cuántas estampillas posee cada uno?
67) La diferencia entre dos ángulos complementarios (90°) es de 20°.¿Cuánto mide
cada ángulo?
68) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Si el menor de
ellos mide la mitad del mayor y 14° menos que el intermedio, ¿cuál es la medida de
cada ángulo?
69) Entre Alicia, Beatriz y Carlos tienen que repartir 126.000.- Gs. La parte de Beatriz
es el doble que la parte de Alicia y la parte de Carlos es el triple de la de Beatriz.
¿Cuánto le corresponde a cada uno?
70) El perímetro de un triángulo es 38m. Uno de los lados mide 2m más que el segundo
y 5 m más que el tercero. ¿Cuánto mide cada lado?
71) La suma de 38 y el doble de un número es 124. Encuentra el número.
72) Encuentra cuatro enteros pares consecutivos cuya suma sea 244.
73) Sonia tiene 5.000.-Gs más que Dora y Dora tiene 11.000.-Gs más que Rosita. Entre
todas tienen 45.000.-Gs.¿Cuánto dinero tiene cada una de las chicas?
74) Se pagó 870.000.-Gs. Por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó
50.000.-Gs más que el libro y 200.000.-Gs. menos que el traje. ¿Cuánto se pagó por
cada artículo?
75) La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Halla los números.
Es mejor analizar un problema sin resolverlo, que resolver un problema sin analizarlo.
Los incompetentes invariablemente les acarrean dificultades a quienes no lo son.
76) La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Halla lo números.
77) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Halla los números.
12
78) Repartir 1080 entre A y B de modo que A reciba 1014 más que B.
79) Halla cuatro números enteros consecutivos cuya suma es 74.
80) Se pagó 325.000 por A, B y C. A costó 8.000.- mas que B y C 25.000.- menos que
B. Halla los precios respectivos.
81) Dividir 454 en tres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del
medio y 70 unidades menor que la mayor.
82) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años mas que
la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Halla las edades respectivas.
83) La edad de A es el doble que la de B y ambas edades suman 36 años. Halla ambas
edades.
84) Se ha comprado A, B y C por 350. A costó el triple de C y B el doble de lo que
costó A. Halla los precios respectivos.
85) Repartir 180 entre A, B y C de modo que A sea la mitad de B y un tercio de C.
86) Repartir 300 entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble que la de A y la
de C el triplo de la de A.
87) El mayor de dos números es seis veces el menor y ambos números suman 147.
Halla los números.
88) Dividir 850 en tres partes de modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el
quinto de la tercera.
89) Si un número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21. Halla
el número.
90) La suma de las edades de A, B y C es 69 años. La edad de A es el doble que la de B
y seis años mayor que la de C. Halla las edades.
91) La suma de tres números es 238. El primero excede al duplo del segundo en 8 y al
tercero en 18. Halla los números.
92) La edad del padre y su hijo suman 83 años. La edad del padre excede en tres años al
triplo de la edad del hijo. Halla ambas edades.
93) Dividir 1080 en dos partes, tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la
menor aumentada en 100.
94) Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede en 45° al mayor. Halla los
ángulos.
95) Un perro y su collar han costado 54.000.-Gs., el perro costó 8 veces lo que el collar.
¿Cuánto costó cada uno?
96) La edad del padre y de su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se disminuyera
en 15 años tendría el doble de la edad del hijo. Halla ambas edades.
97) Entre A y B tienen 81.000.-Gs. Si A pierde 36.000.-Gs, el duplo de lo que le queda
equivale al triplo de lo que tiene B ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?
13
98) La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al triplo del menor.
Halla los números.
99) En un día, la máquina A coloca la tapa al doble de botellas que la máquina B. La
máquina C tapa 500 botellas más que la máquina A. Las tres máquinas en total tapan
40.000 botellas en un día. ¿Cuántas botellas tapa cada una de las máquinas en un día?
100) Cuatro veces un número, incrementado en 25, es 13 menos que seis veces el
número. Encuentra el número.
Un hombre existe porque antes existió un niño. Si aplastas un brote, jamás se convertirá
en árbol.