Aproximaciones socioculturales al aprendizaje matemático

Aproximaciones socioculturales al aprendizaje matemático: el caso de
definir
Victoria Sánchez y Mercedes García1
Departamento de Didáctica de las Matemáticas
Universidad de Sevilla
Introducción
Pasado, presente y futuro son los tres ejes temporales en los que se sitúa el trabajo que
aquí vamos a presentar. Pasado, porque hay una trayectoria de investigación previa en la
que se han obtenido algunos resultados y en la que se han generado algunas preguntas.
Presente, porque esas preguntas han sido reformuladas como preguntas de investigación
y abordadas dentro de marcos teóricos que ofrecen nuevas posibilidades. Futuro, porque
nuevas resultados y nuevas preguntas reinician el proceso que forma parte de nuestro
desarrollo investigador.
La investigación inicial
Como hemos ido exponiendo en los diferentes Seminarios de Investigación
desarrollados, en nuestro proyecto previo pretendíamos, ente otros objetivos, identificar
conceptos y procedimientos básicos que articulan los contenidos de las Matemáticas de
Bachillerato en los Diseños Curriculares y textos escolares. La consideración de definir
probar y modelar como aspectos básicos en el aprendizaje matemático (que en nuestro
estudio consideramos como metaconceptos), el marco teórico desarrollado, la forma de
analizar los datos y los resultados correspondientes a este objetivo fueron debatidos en
los seminarios de Barcelona, Alicante y Sevilla celebrados en años anteriores (Sánchez
et al., 2006, 2007).
Fue precisamente el marco teórico elaborado, en el que se contemplaban como
variables el tipo y papel de los diferentes metaconceptos (ver Sánchez et al,.2008; en
1
Proyecto PSI2008-02289/PSIC
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prensa) el que nos permitió abordar otro de nuestros objetivos, en el que nos
planteábamos indagar sobre el aprendizaje de los alumnos respecto a ellos en cursos de
Bachillerato de distintos Institutos de Secundaria. Cuestionarios y entrevistas fueron en
este caso los instrumentos metodológicos que utilizamos para poder acceder a este
objetivo. A través del análisis realizado a las respuestas de los participantes obtuvimos
tres tipos de resultados, que describiremos brevemente a continuación.
- Los que provienen del análisis transversal, considerando conjuntamente definir,
probar y modelar
En primer lugar, la consideración de los metaconceptos nos ha permitido identificar
distintas ‘formas de ver el quehacer matemático’ (explicar, usar, describir) que afectan a
la consideración de los tres metaconceptos, algo que nos parece de gran interés para una
posterior profundización, es decir, ver si se reafirma esta tendencia o se diversifica con
otras alternativas (otros metaconceptos o conceptos específicos).
- Los que provienen de la identificación de las características propias de cada
metaconcepto
Con respecto a la identificación que los estudiantes realizaban de las características
propias de cada metaconcepto podemos decir que, en general, no se produce una
identificación de las características de los metaconceptos. Llama la atención que
algunos tipos de metaconconceptos y modos de representación, como puede ser una
prueba pragmática directa con un fuerte apoyo en el texto, hacen que los alumnos no
los consideren como válidos a pesar de serlo. En general, en todos los casos que dicen
que las formulaciones de los metaconceptos ‘no son correctas’ aunque efectivamente lo
sean, los argumentos utilizados no tienen nada que ver con las propias características
que identifican el metaconceptos. Creemos importante profundizar en este resultado
previo, ya que el que no se identifiquen claramente los metaconceptos matemáticos
puede indicar una falta de comprensión de su significado real.
- Los que provienen de la discriminación en función de las variables papel y tipo de
cada metaconcepto
En tercer lugar, respecto al acceso a la discriminación en función de las variables tipo
del metaconcepto y papel dentro de cada uno de ellos, la vinculación a distintos sujetos
(profesor o alumno), nos ha permitido en el caso del tipo y papel hacer inferencias sobre
si los alumnos los consideraban asociados al propio concepto (caso en que no había
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variaciones al asignarlo al profesor o al propio alumno), o lo que se consideraba
asociado al sujeto (caso en el que se consideraban distintas elecciones para profesor
/alumno). Queremos destacar que en este caso el modo de representación en los tres
metaconceptos ha jugado un papel muy diferente. Así en el caso de la definición,
asociaban mayoritariamente la gráfica a la definición que les gustaba frente al modo
algebraico que asociaban al profesor. Sin embargo, para la prueba, valoraban
negativamente el que no apareciesen símbolos algebraicos, y las diferencias entre
profesor y ellos mismos se establecían más en base a ‘su cercanía’ (en el sentido de
‘haberlo dado hace poco tiempo’) a los contenidos en los que se basa la prueba.
Aunque no incluimos aquí la parte del estudio correspondiente al análisis longitudinal,
la consideración de los metaconceptos, lo que se identifican como características de los
mismos y la discriminación que establecen dentro de ellos en función del tipo y papel
nos ha proporcionado un perfil individualizado de los estudiantes, permitiéndonos en
alguna medida acceder a la comprensión individual.
Las nuevas preguntas surgidas
Globalmente considerados, los resultados de este proyecto de investigación pusieron de
manifiesto unas particularidades y dificultades específicas en el caso de definir que nos
llevaron a profundizar en su problemática y que fueron transformadas en preguntas de
investigación. En particular, nos llevó a plantearnos qué han aprendido realmente los
alumnos de Bachillerato de lo que es definir y de las características que le son propias.
Por otro lado, hemos considerado necesario extender la investigación a alumnos
universitarios de Magisterio de la Facultad de Ciencias de la Educación, ya que la
persistencia (o no) de determinados rasgos puede afectar a su futura labor profesional.
La fuerte carga social que este metaconcepto presenta en cuanto al papel del lenguaje y
la generación de significados compartidos nos ha llevado a plantearnos en esta ocasión
abordar dichos estudios desde una perspectiva sociocultural, que proporciona una nueva
forma de aproximarse al pensamiento, entendido como una forma individualizada de
comunicación. En los apartados siguientes, nos centraremos en lo que esta perspectiva
supone a la hora de abordar nuestro estudio, tanto en los referentes que nos aporta como
en los intentos por operativizar los planteamientos teóricos en nuestra propuesta
concreta.
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Una nueva manera de abordarlas
Cuando un equipo se plantea en una investigación adoptar una determinada perspectiva
teórica surge el problema de cómo hacer operativas las ideas implícitas en dicha teoría
en el desarrollo de la misma. En particular, estamos preocupados por el aprendizaje
matemático de los alumnos de un determinado nivel centrado en un metaconcepto, y en
buscar formas teóricas que nos posibiliten como investigadores acceder a ese
aprendizaje de manera que nos proporcionen una visión lo mas ajustada posible. Dentro
de las aproximaciones socioculturales, y asumiendo su forma de considerar el
aprendizaje, nos hemos planteado acceder a él a través de algunas de las ideas de
autores como Holland (1998), Wenger (1998) o Sfard (2006; 2008), entre otros. En
concreto, en relación con el trabajo de esta última autora, hemos considerado ideas
como discurso, mediador visual, narrativas asociadas (‘endorsed narratives’) y rutinas
en un contexto de aprendizaje matemático en alumnos de nivel no obligatorio,
preocupándonos por cómo podían ser trasladadas dichas ideas a nuestra práctica
investigadora con un objetivo claro: cómo hacerlas operativas para acceder a dicho
aprendizaje.
Coincidimos plenamente con el comentario de Sfard (2006) en que el uso de términos
como social, sociocultural, etc. ha sido una constante en muchas investigaciones
desarrolladas en el campo de la Didáctica de las Matemáticas en los últimos años, un
vocabulario ‘moderno’ con el que muchos investigadores han tratado (hemos tratado) de
actualizar unas investigaciones que seguían basándose en planteamientos procedentes
de otras aproximaciones teóricas. Se puede decir que, en muchas ocasiones, estos
términos han sido utilizados sin asumir lo que significaban en cuanto a la propia forma
de entender el aprendizaje.
La propia diversidad de planteamientos teóricos dentro del campo ha podido favorecer
esa imprecisión, y ha llevado a Sfard (2006) a establecer una distinción entre los
discursos teóricos participacionistas (término bajo el que esta autora engloba a las
aproximaciones socioculturales) y acquisicionistas (que agrupa posiciones más
cognitivas). El ser conscientes de estas diferencias ha sido en nuestro caso:
-
una llamada de atención sobre la falta de precisión con la que muchas veces
nosotros mismos habíamos utilizado los términos, y
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-
una apuesta de futuro para asumirlos e incorporarlos en nuestra investigación de
forma que permita acceder a un nuevo conocimiento sobre el aprendizaje en
general y el matemático en particular.
En este contexto y teniendo presente nuestro objetivo específico: cómo hacer operativas
las ideas de discurso, mediador visual, narrativas asociadas (‘endorsed narratives’) y
rutinas para acceder al aprendizaje matemático en alumnos de nivel no obligatorio (1618 años y estudiantes de magisterio), tenemos que dar un paso previo a este objetivo, y
es tratar de formular algunas preguntas clave que nos permitan situarnos dentro de la
perspectiva sociocultural. En concreto, nos hemos planteado las siguientes preguntas y,
profundizando en el trabajo de la mencionada autora, hemos identificado las siguientes
respuestas:
 ¿Qué es aprender?: Aprender es cambiar
 ¿Qué cambia cuando una persona aprende?: Podemos decir que lo que cambia es
su forma de actividad
 ¿Qué clase de actividad cambia cuando se aprende Matemáticas?: Cuando una
persona aprende cambia su forma de pensamiento (que puede considerarse una
actividad)
 ¿Cuál es la actividad colectiva que mejor ‘muestra’ el pensamiento?: La
comunicación es una actividad del pensamiento, es una visión interpersonal del
pensamiento, por lo que el pensamiento se ve como una forma de comunicación,
que no tiene por que ser necesariamente escrita. El pensamiento puede
considerarse una versión privada de la comunicación. Por ello, el pensamiento y
la comunicación pueden reunificarse y tratarse como dos manifestaciones de un
único fenómeno.
 ¿Cómo podemos considerar las matemáticas?: Se puede decir que las
matemáticas es una forma de pensar, y la forma de pensar es una forma de
comunicar, y la forma de comunicar es un discurso, luego las matemáticas
pueden ser vistas como discurso, un tipo especial de discurso.
 ¿Qué significa aprender matemáticas?: Si las matemáticas es un discurso y
aprender es cambiar, aprender matemáticas es cambiar el discurso matemático
(aprendizaje como actividad discursiva)
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 ¿Por qué se distinguen los discursos? ¿cuáles son los elementos clave del
discurso?: Se pueden señalar como elementos relevantes las palabras clave y
como se usan, los mediadores visuales, las narrativas aceptadas y las rutinas.
De todo lo anterior, nos parece importante destacar que bajo esta perspectiva:
•
las matemáticas son un tipo especial de discurso, aprender matemáticas es
cambiar el discurso matemático, y el aprendizaje matemático es el proceso de
llegar a tener comunicación matemática no solo con los otros sino también con
uno mismo (hacer propio el discurso matemático).
•
los criterios de aprendizaje se formulan en términos de formas de acción, no en
términos de propiedades del aprendiz.
Asumidos estos planteamientos, ahora ya estamos en condiciones de tratar de
operativizar las ideas de discurso, mediador visual, narrativas asociadas (‘endorsed
narratives’) y rutinas, entendidas como referentes que de alguna manera pueden guiar el
análisis del aprendizaje matemático. Si, como ya hemos indicado, las matemáticas
pueden ser vistas como un tipo de discurso especial, hecho distinto entre otras cosas por
sus palabras clave (objetos), mediadores y reglas (rutinas), nos planteamos entonces:
En relación con las palabras clave (objetos) y su uso: ¿Qué palabras se usan?, ¿qué uso
se hace de ellas?…
En relación con los mediadores visuales, entendidos como artefactos simbólicos
específicos para este tipo de comunicación: ¿Qué mediadores se usan? ,¿se usan de la
misma manera?…
En relación con las narrativas asociadas (endorsed narratives), entendidas como el
conjunto de proposiciones aceptadas como verdaderas por la comunidad. ¿Qué conjunto
de proposiciones se manejan?, ¿por qué’
En relación con las rutinas, entendidas como secuencias repetitivas bien definidas:
¿Cómo son y cuando se usan?...
Concretando estas ideas en el caso de definir
El paso siguiente es tratar de concretar todos estos aspectos en un metaconcepto, definir,
cuyo aprendizaje, tal y como hemos indicado anteriormente, es ahora el objetivo de
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nuestro estudio. Una muestra del aprendizaje dentro de nuestro propio equipo fue el
proceso de razonamiento analógico que seguimos para tratar de identificar esos aspectos
diferenciadores del discurso en definir, en base a lo que identificábamos en otros
contenidos matemáticos como funciones, que a priori nos resultaban más familiares.
Los resultados de este proceso analógico quedan reflejados en el siguiente cuadro.
Si voy
hablar de
palabras
clave
mediadores
visuales
narrativas
rutinas
a En “función” sería …
En “definir” sería…
Variable, relación,
gráfica, tabla,
inyectiva, creciente
…..
etiquetar, clasificar, categorizar,
característica, identificar,discriminar,
dar sentido, comprobar, verificar,
lista de propiedades, único, no
ambiguo
…..
Gráfico, situación,
texto, ejemplo, ecuación,
f(x), tabla
expresión algebraica, dibujo,
…..
gráfico, tabla
…..
Una función se usa para ‘porque una definición es algo que
indicar la relación entre dos o tienes que recordar’
más cantidades.
‘lista numérica de propiedades’
Una función se usa para …..
indicar la correspondencia
entre dos o más variables.
Una función representa la
relación entre dos o más
variables.
…..
identificar las variables,
eliminar lo superfluo/redundante
ver si son dependientes o elegir la más sencilla
independientes
…..
…..
Identificados estos elementos clave, planteamos como discusión en este seminario:
- ¿Son los elementos explicitados en la tabla anterior aspectos diferenciadores del
discurso en definir?
- Si lo son, ¿como podemos usarlos para apreciar el aprendizaje?
-¿Cuales otros elementos nos ayudarían a diferenciar o caracterizar el discurso en
definir?
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Esperamos que tanto las reflexiones y comentarios iniciales como el posterior debate
conjunto nos ayuden en el desarrollo de nuestra investigación y contribuyan a crear
entre todos los que participamos en el seminario un vocabulario común y conocimiento
compartido.
Referencias
García, M., Sánchez, V., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,
G. (2006). Comentario a un estudio sobre el aprendizaje de contenidos
matemáticos en el Bachillerato dentro de una comunidad de indagación. En M.C.
Penalva y otros (Eds.) Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para
la formación del profesorado de Matemáticas. Proyecto Sur: Granada.
Holland, D., Lachiotte, W. Jr., Skinner, D., & Cain, C. (1998). Identity and agency in
cultural worlds. Cambridge: Harvard University Press.
Sánchez, V., García, M., (2006). Los contenidos matemáticos en el bachillerato. ¿qué se
pretende que aprendan los alumnos? Ponencia presentada al III Seminario sobre
entornos de aprendizaje y autorización, Sevilla, España, Noviembre 2006.
Sánchez, V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,
G. (2006). Un estudio sobre el aprendizaje de contenidos matemáticos en el
Bachillerato dentro de una comunidad de indagación. En M.C. Penalva y otros
(Eds.) Conocimiento, entornos de aprendizaje y tutorización para la formación del
profesorado de Matemáticas. Proyecto Sur: Granada.
Sánchez, V., García, M., & Sánchez-Matamoros, G. (2007). El acceso a la comprensión
matemática de los estudiantes de bachillerato como problema metodológico.
Ponencia presentada al IV Seminario sobre entornos de aprendizaje y
autorización, Alicante, España.
Sánchez, V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,
G. (2008). Una aproximación a las matemáticas en el bachillerato. ¿Qué se
pretende que aprendan los alumnos?. Enseñanza de las Ciencias, 26(2), 267276.
Sánchez, V., García, M., Escudero, I., Gavilán, J.M., Trigueros, R. & Sánchez-Matamoros,
G. (2008). Didáctica de las matemáticas: de los proyectos de investigación como
futuro al futuro en los proyectos de investigación. Revista Publicaciones.
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Sfard, A. (2006). Participacionist discourse on mathematics learning. En J. Maasz &
W. Schlöglmann (Eds.), New Mathematics Education Research and Practice.
Rotterdam: Sense Publishers.
Wenger, E. (1998). Communities of practice. Learning, Meaning and Identity.
Cambridge University Press.
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