Aprendizaje de las Matemáticas

Aprendizaje
de las
Matemáticas
Ana Isabel Fernández Herrerías
ÍNDICE
1. Introducción
2. Conceptos y teorías
2.1. El asociacionismo de Thorndike
2.2. El aprendizaje acumulativo de Gagné
2.3. La teoría desarrollada por Jean Piaget
2.4. Procesamiento de la información
2.5. La aportación de Bruner
3. Desarrollo evolutivo
3.1. Procesos cognitivos
3.2. Procedimientos mentales
3.3. Etapas o estadios de Piaget
3.4. Adquisición del conocimiento matemático
4. Diagnóstico. Trastornos o disfunciones: dificultades de aprendizaje
4.1. Errores más comunes que comete el escolar
4.2. Las dificultades en la adquisición del cálculo
4.2.1. Definición y clases de discalculia
4.2.2. Causas de la discalculia
4.2.3. Acalculia
4.3. La evaluación del alumno
5. Intervención
5.1. Recomendaciones generales
5.2. Modelos y actividades para la intervención
5.3. El empleo de las nuevas tecnologías
6. Bibliografía
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APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Ana Isabel Fernández Herrerías
1. INTRODUCCIÓN
Los niños de edades tempranas poseen una considerable cantidad de conocimientos y estrategias informales de resolución, que les capacitan para enfrentarse con
éxito a diversas situaciones que implican las operaciones aritméticas básicas (adición,
substracción, multiplicación y división). Estos conocimientos informales son adquiridos
fuera de la escuela sin mediación del aprendizaje formal.
Las actividades en las que se ven inmersos los niños parecen ser las responsables
de los conocimientos iniciales sobre estas operaciones, que van a constituir los cimientos de los aprendizajes formales posteriores y pueden garantizar el aprendizaje significativo de las matemáticas. Hoy en día los niños intentan dar sentido a las matemáticas formales asimilándolas con los conocimientos previos, de manera que si intentamos enseñar directamente las matemáticas formales, llegaremos a un aprendizaje memorístico.
En general, se asume que un aprendizaje comprensivo de las matemáticas implica que los alumnos conjeturen, que realicen abstracciones, no descontextualizadas de las
propiedades matemáticas, que expliquen sus razonamientos, que validen sus asertos y
que discutan y cuestionen su modo de pensar y el de los demás. Cuando los alumnos
aprenden matemáticas en la escuela, están intentando adquirir competencia comunicativa en el lenguaje matemático escrito y hablado.
Tradicionalmente la enseñanza de las matemáticas se centraba principalmente en
torno a la realización de actividades memorísticas y de cálculo, poniendo especial énfasis en los procesos de automatización frente a los de razonamiento y comprensión. Esta
situación ha comenzado a cambiar en las últimas décadas, hasta el punto de que los problemas verbales han pasado a ocupar un lugar destacado en el ámbito de la investigación y comienzan a hacerlo en la práctica instruccional. La estructura semántica del
problema parece ser uno de los factores más importantes.
La manera tradicional de enseñar matemáticas consiste en confrontar a los alumnos, directamente con la abstracción (la definición de conceptos y la fórmula), proseguir
con algunos ejemplos resueltos, y luego indicar una larga lista repetitiva de ejercicios
similares a los ya resueltos. Ha sido desarrollada por personas adultas que ya saben matemáticas y asumen que, explicando bien la teoría, las alumnas y alumnos entenderán.
Este método se basa en una comprensión insuficiente de la manera como aprenden los
niños.
¿Qué defectos tiene el método tradicional?



Enajena a la mayoría de alumnos, que desarrollan un bloqueo progresivo a las
matemáticas.
No favorece el razonamiento matemático, sino la aplicación repetitiva de procedimientos y técnicas que se olvidan fácilmente.
Presenta a las matemáticas como algo alejado de su utilización práctica.
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2. CONCEPTOS Y TEORÍAS
Las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua, estrechamente relacionados con otros procedimientos y con un carácter aplicado. Es erróneo presentar las matemáticas a los niños de forma descontextualizada, sin tener en
cuenta que el origen y fin de éstas no es otro que responder a las demandas reales de las
situaciones problemas de la vida diaria.
El ser humano es de naturaleza bio-psicosocial, y por esta razón, tanto las diferencias genéticas como las contextuales pueden conducir a diferentes niveles en el desarrollo cognitivo, es decir, el 50 o 60% de las diferencias interindividuales en inteligencia
tienen una causa genética. Cuando las variables biológicas son de mucho peso, el ambiente tiene más limitada su capacidad de influencia, mientras que en otras ocasiones el
ambiente marca tanto un desarrollo que los demás elementos a considerar resultan prácticamente anulados. Entre los modelos que existen tenemos el modelo de limitación del
escenario de Gottesman (1974), según el cual los genes proporcionan un margen de
reacción, y los factores del entorno determinan el resultado final. Gottlieb (1992) disiente del margen de reacción argumentando que los genes y el medio interactuan de forma
más dinámica, ya que, las propias acciones de los genes pueden resultar influidas por el
medio. Scarr y McCartney (1983) sugieren un tercer modelo según el cual la conducta
del niño resulta influida por tres relaciones entre genotipo y entorno: relación pasiva (el
entorno del niño lo crean los padres), relación evocativa (el niño evoca ciertas respuestas de los otros, así un niño al que le interesen los números, estará siempre preguntando
por cuestiones referidas a la numeración) y la relación activa (cuando el niño se compromete en la elección de posibilidades que reflejan sus intereses y talento).
Las relaciones entre herencia y ambiente son uno de los dilemas clásicos de la
psicología evolutiva. En un extremo tenemos los que apoyan que la competencia matemática está condicionada por factores genéticos que regulan su interacción con el medio, siendo éste un estimulador. Entre estos autores estaría Fodor con su hipótesis modularista. En el otro extremo tenemos a los que afirman que el ambiente tiene el papel
más importante ene l desarrollo del ser humano, Vygotsky sería uno de los representantes más característicos de esta posición. Karmiloff-smith (1994) con su concepto de
modularización afirma que los módulos con los que el niño nace no están tan predeterminados como indica Fodor, por lo que el ambiente puede “modularizar” las estructuras
existentes haciendo que se creen nuevos módulos.
Concluyendo, son las estrategias educativas las que modularizan el cerebro, facilitando o dificultando los aprendizajes matemáticos.
Veamos a continuación la posición de otros autores importante que han influído
con su teoría al aprendizaje de las matemáticas:
2.1. El asociacionismo de Thorndike
A comienzos de siglo E.L. Thorndike inició una serie de investigaciones en educación que caracterizarían con el paso del tiempo, a lo que se ha denominado como corriente conductista en educación matemática. Thorndike se interesó en el desarrollo de
un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de entrena-
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miento en el que los vínculos establecidos entre los estímulos y las respuestas quedarían
reforzados mediante ejercicios en los que se recompensaba el éxito obtenido.
Por tanto, los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse sobre la
base de estímulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este proceso
se podrían objetivar en cambios observables de la conducta de los alumnos.
Thorndike sugirió cómo aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética afirmando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado de
vínculos que conformaban la disciplina a enseñar (lo hizo para la aritmética). Una vez
formulados todos los vínculos, la práctica sujeta a recompensas, sería el medio para
poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los
alumnos.
La teoría de Thorndike significó un gran paso hacia la aplicación de la psicología a la enseñanza de las matemáticas, siendo su mayor contribución el centrar la atención sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto determinado como es la aritmética.
2.2. El aprendizaje acumulativo de Gagné
En su teoría, las tareas más sencillas funcionan como elementos de las más complejas. Así al estar las tareas más complejas formadas por elementos identificables se
posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. De esta manera, para una determinada habilidad matemática, por ejemplo la suma de números enteros, el trabajo del
psicólogo consiste en un análisis de las tareas que permite identificar los objetivos o
habilidades elementales que constituyen otro más complejo, creando de este modo una
jerarquía. Tal jerarquía del aprendizaje permite plantear objetivos perfectamente secuenciados desde una lógica disciplinar.
Sin embargo, la práctica educativa se centra, por lo tanto, en la ejecución y repetición de determinados ejercicios secuenciados, en pequeños pasos, que deben ser realizados individualmente y que más tarde se combinan con otros formando grandes unidades de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemática. No se presta importancia al significado durante la ejecución sino que se espera que sea al final de la
secuencia, cuando el aprendiz adquiera la estructura que conforma la habilidad matemática. Se presta importancia principal al producto, respuesta de los alumnos, y no al proceso, cómo y por qué se ha dado la respuesta. En definitiva, existe poco o nulo interés
en explorar las estructuras y los procesos cognitivos. La enseñanza programada, las fichas y las secuencias largas de objetivos y subobjetivos caracterizan la corriente más
radical dentro del conductismo.
2.3. La teoría desarrollada por Jean Piaget
Cuando un individuo se enfrenta a una situación, en particular a un problema
matemático, intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos existentes. Es decir,
intentar resolver tal problema mediante los conocimientos que ya posee y que se sitúan
en esquemas conceptuales existentes. Como resultado de la asimilación, el esquema
cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situación.
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El binomio asimilación-acomodación produce en los individuos una reestructuración y reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes. Estaríamos ante un
aprendizaje significativo.
Por otra parte, La abstracción reflexiva o reflectora es un término definido por
Piaget y central en su teoría de la construcción del conocimiento. La abstracción reflexiva conlleva dos momentos indisolubles: un proceso de reflexión, por ejemplo de la
acción física a la representación mental) y un producto de la reflexión, una ‘reflexión’
en el sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción cognitiva, sobre
el nuevo plano de la que ha sido extraído del plano precedente. En el plano inferior las
acciones y operaciones se realizan sobre objetos concretos, físicos o imaginados, mientras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadas actúan sobre objetos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos. Tal reconstrucción conduce a un esquema cognitivo más general. Este proceso de
abstracción a partir de objetos físicos es el proceso cognitivo por el que pasa el niño a la
hora de aprender matemáticas. Lo veremos más adelante.
Piaget interpreta que todos los niños evolucionan a través de una secuencia ordenada de estadios (los cuales los veremos también más adelante). La interpretación que
realizan los sujetos sobre el mundo es cualitativamente distinta dentro de cada período,
alcanzando su nivel máximo en la adolescencia y en la etapa adulta. Así, el conocimiento del mundo que posee el niño cambia cuando lo hace la estructura cognitiva que soporta dicha información. Es decir, el conocimiento no supone un fiel reflejo de la realidad hasta que el sujeto alcance el pensamiento formal.
El niño va comprendiendo progresivamente el mundo que le rodea del siguiente
modo:
a) Mejorando su sensibilidad a las contradicciones. Hacia los 5 o 6 años sostiene
que por una parte son todos iguales y por otra son diferentes, sin encontrar en esta afirmación ninguna contradicción. Los niños desde aproximadamente los 7 hasta los 10
años, se dan cuenta de la contradicción que existe, pero tienen dificultades para explicarla. A partir de los 11 años, no sólo se dan cuenta de la contradicción sino que señalan
la necesidad de que los discos contiguos, aunque parezcan iguales, en realidad no lo
son, y descubren que es la suma de esas diferencias imperceptibles, la que produce una
diferencia perceptible entre los discos de los extremos.
b) Realizando operaciones mentales: Según Piaget, el niño hasta los 6/7 años no
es capaz de realizar operaciones mentales, por esta razón, su mente opera de forma
preoperacional.
c) Comprendiendo las transformaciones: La adquisición secuencial de las habilidades de conservación se dan a los 5-7 años en la magnitud del número, a los 7-8 años
la de sustancia (hasta los 7 u 8 años los niños suelen afirmar que la cantidad se ha modificado en función de su ubicación espacial), a los 7-8 la de longitud, el área a los 8-9
años, el peso entre los 9-10 años (la conservación se da entre los 9-10 años) y el volumen por último entre los 12 y 14 años.
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d) Adquiriendo la noción de número. Un niño normal necesita alrededor de cinco años (desde los 2 hasta los 7) para aprender a manejar coherentemente los números
hasta el 9.
2.4. Procesamiento de la información.
Frente a la teoría de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los
conceptos, surge en la década de los setenta la teoría denominada procesamiento de la
información.
La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente
actúa (procesan) sobre los datos que proceden del entorno interno o externo (información). Toda la información es procesada por una serie de memorias, que procesan y almacenan de forma distinta y que además están sujetas a determinadas limitaciones en su
función. La combinación de tales memorias constituyen el sistema de procesamiento de
la información.
La memoria o a corto plazo es aquella en la que se almacena temporalmente la
información codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento
activo de la información, es decir, donde se realiza el proceso de pensar.
Por último, se encuentra la memoria a largo plazo o semántica. En este componente del sistema es donde se almacena todo el conocimiento, lo que sabe, el individuo
de forma permanente.
2.5. La aportación de Bruner
Al igual que Piaget, Bruner aceptó la idea de Baldwin de que el desarrollo intelectual del ser humano está modelado por su pasado evolutivo y que el desarrollo intelectual avanza mediante una serie de acomodaciones en las que se integran esquemas o
habilidades de orden inferior a fin de formar otros de orden superior.
La obra de Bruner ha ejercido una notable influencia en el campo de la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.
3. DESARROLLO EVOLUTIVO
3.1. Procesos cognitivos
Los procesos cognitivos que son la base de la construcción del proceso matemático son los siguientes principalmente:
 ABSTRACCIÓN: El proceso de abstracción se ha aplicado de forma recurrente
a lo largo de la historia de las matemáticas. Ésta sólo tiene sentido si la relacionamos con el conteo. Los conocimientos matemáticos tienen la particulariedad
de ser muy abstractos y desligados de representaciones perceptivamente más ricas y cotidianas. Se entiende como una representación ideal y que difícilmente
pueden ser representado de forma tangible.
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 GENERALIZACIÓN: Es intrínseco a las matemáticas el hecho de buscar conceptos, leyes o teoremas lo más generales posibles. El proceso de generalización
está muy ligado al de abstracción en la medida en que toda generalización supone la abstracción de aquellas propiedades que subyacen a todos los casos a los
que se extiende el concepto generalizado. La generalización es una simple extensión de un caso particular.
 LENGUAJE FORMAL: Las matemáticas emplean un lenguaje muy peculiar,
compuesto por varios signos que van desde los más familiares (números) a otros
que representan operaciones. El carácter abstracto y general de los conceptos
matemáticos se perderían sin la formalización de los signos conllevan una serie
de reglas. Mediante los signos los matemáticos consiguen una designación más
precisa y clara del significado y una notable abreviación.
3.2. Procedimientos mentales
Los procedimientos mentales empleados por los niños para resolver los problemas verbales son:
a) Modelado directo con objetos físicos.
b) Conteo verbal.
c) Estrategias mentales, incluyendo el recuerdo directo de algunos hechos numéricos de adición y sustracción.
a) Las estrategias de modelado directo se apoyan en la utilización de objetos que
sirven para representar directamente tanto las cantidades del problema como las acciones o relaciones descritas en el mismo. Se incluyen en esta categoría los procedimientos
de:
-
Añadir a
Quitar a
Contar todo
Emparejamiento
b) Los procedimientos que integran la categoría de conteo verbal se caracterizan
por el uso de los numerales de la secuencia de conteo, sin la presencia de objetos físicos.
Normalmente este modo de proceder implica una ejecución subvocal. Se incluyen los
procedimientos de:
-
Contar hacia delante a partir de…
Contar todo.
c) Dentro de las estrategias mentales se han identificado tres niveles evolutivos:
1. En la primera fase los niños descubren, en contextos significativos, modos de
contar eficientes para abreviar o simplificar sus procesos espontáneos de solución.
2. En la segunda fase los descubrimientos anteriores se organizan en estrategias de
pensamiento para razonar sobre combinaciones de números desconocidas o no
practicadas.
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3. En la tercera fase del proceso de aprendizaje memorizan adiciones y sustracciones de un solo dígito.
Para encuadrar estos procedimientos mentales que utilizan los niños para resolver problemas o entender mejor el proceso de adquisición de conceptos, debemos de
atender a las etapas del desarrollo evolutivo del niño.
3.3. Etapas o estadios de Piaget
El desarrollo evolutivo consiste en el paso por una serie de etapas o estadios. Según Piaget, cada una de las etapas por las que se pasa durante el desarrollo evolutivo
está caracterizada por determinados rasgos y capacidades. Cada etapa incluye a las anteriores y se alcanza en torno a unas determinadas edades más o menos similares para
todos los sujetos normales. A grandes rasgos, las etapas que determinan el desarrollo
evolutivo son las siguientes:
a) Período sensoriomotor (0-2 años).
En esta etapa se adquieren los primeros esquemas siempre limitados a experiencias motoras y sensoriales.
b) Período preoperacional (2-7 años).
Se realizan las primeras inferencias lógicas y comienza el proceso de simbolización, que consiste en traducir las experiencias a códigos mentales. La capacidad de razonar está todavía muy limitada a cadenas sencillas. Otros rasgos de esta etapa son el
marcado egocentrismo (dificultad para analizar la realidad desde otra realidad distinta
de la personal), "centraje" (tendencia a considerar sólo los datos más relevantes) y falsa
generalización (tendencia a generalizar a partir de casos particulares).
c) Período de las operaciones concretas (7-11).
Este período ha sido considerado algunas veces como una fase del anterior. En
él, el niño hace uso de algunas comparaciones lógicas, como por ejemplo: la reversibilidad y la seriación. La adquisición de estas operaciones lógicas surge de una repetición
de interacciones concretas con las cosas, aclarando que la adquisición de estas operaciones se refiere sólo a objetos reales.
Con esta adquisición de las operaciones concretas, se produce una serie de modificaciones en las concepciones que el niño tiene sobre las nociones de cantidad, espacio
y tiempo, y abre paso en la mente del niño a las operaciones formales que rematan su
desarrollo intelectual.
d) Período de operaciones formales (11-15).
En este periodo los niños comienzan a dominar las relaciones de proporcionalidad y conservación. A su vez, sistematizan las operaciones concretas del anterior periodo, y desarrollan las llamadas operaciones formales, las cuales no sólo se refieren a objetos reales como la anterior, sino también a todos los objetivos posibles. Con estas operaciones y con el dominio del lenguaje que poseen en esta edad, son capaces de acceder
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al pensamiento abstracto, abriéndoseles las posibilidades perfectivas y críticas que facilitan la razón.
A modo de resumen, para Piaget todo el proceso de desarrollo de la inteligencia
está un proceso de estimulación entre los dos aspectos de la adaptación, que son: la asimilación y la acomodación.
3.4. Adquisición del conocimiento matemático:
Basándonos en los estadios evolutivos de Piaget, vamos a ver como se adquieren
los conocimientos matemáticos en cada uno de ellos:
a) Período sensoriomotor 0-2 años (Fase preconceptual).
A esta edad se desarrollan las capacidades de percepción del niño. El niño comienza a adquirir los conocimientos lógicos-matemáticos mediante el dominio verbal
de los nombres de los objetos, manipulándolos, desplazándolos entre ellos. Percibe y
experimenta las propiedades relativas al color, forma, tamaño, textura, sabor, olor...
Comienza a conocer los objetos de acuerdo a estas cualidades, según sus aspectos perceptivos y espaciales.
Los bebés de 5 meses poseen una buena capacidad para discriminar conjuntos de
dos o tres ítems, pero esto no implica que los niños sean conscientes de las relaciones
matemáticas básicas entre los conjuntos. Entre los 10 y 12 meses de edad, los bebés a
veces son capaces de distinguir entre conjuntos de tres y cuatro ítems pero no pueden
distinguir entre conjuntos de cuatro o cinco ítems o entre conjuntos de cuatro y seis
ítems. Esto señala que los niños nacen con competencia numérica.
B1) Período preoperacional 2-6 años (Fase conceptual).
A la edad de 2 años se desarrolla la capacidad de reconstrucción de imágenes
espaciales, aunque será perfeccionada a partir de los 7 años (período de operaciones
concretas). En esta etapa se trata del aprendizaje de las matemáticas antes de la escuela.
Al hablar de pensamiento matemático antes de la escuela, nos estamos refiriendo de
forma genérica al pensamiento de niños menores de 6 años. Durante estos primeros
años, todos los niños desarrollan una serie de conocimientos matemáticos básicos que
les permite dar respuestas bastantes adecuadas a toda una gama de situaciones en las
que la información numérica y geométrica es relevante. En el desarrollo infantil, las
palabras relativas a los números se usan poco después de que el niño comienza a hablar.
No obstante el uso de palabras numéricas es “repetir como un loro”, y resulta difícil
determinar qué significa en realidad un número para el niño y cuándo lo utiliza de modo
significativo.
Los niños muestran una serie de destrezas numéricas antes de contar. Desde muy
pronto son sensibles a la percepción de la “numerosidad”, siendo capaces de diferenciar
pequeñas colecciones que difieren en su número de elementos.
En problemas numéricos complejos, los niños de edad preescolar son capaces de
desplegar una serie de estrategias en las que descomponen o componen un número en
algunos de sus componentes.
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En lo que se refiere a los conocimientos sobre notación matemática, los niños
muestran también el conocimiento que tienen de las cualidades formales de la notación
numérica en edad preescolar.
En el ámbito geométrico, los conocimientos que muestran son: diferenciar figuras abiertas de figuras cerradas, sensibilidad a la relación de proximidad (lejos/cerca) o
distinción entre elementos internos y externos de una figura.
Otros más complejos son el fruto de abstracción y generalización y se adquieren
a través de actividades espontáneas que los niños realizan en contextos de juego y exploración.
En lo que respecta a las estructuras multiplicativas, antes de que los niños sean
instruidos en estas operaciones, son capaces de resolver problemas verbales de multiplicación y división de manera informal. Los niños tienden a representar la acción o relación presentes en el enunciado, al igual que en los problemas verbales de adición y sustracción. Finalmente, la utilización de hechos numéricos es posterior, evolutivamente
hablando, a las estrategias basadas en el conteo, ya sea concreto o abstracto. Se desarrollan a partir de la experiencia de los niños con la aplicación repetida de los procedimientos de conteo en situaciones multiplicativas.
Veamos más detenidamente las capacidades por edades:

2.5 años. Es capaz de organizar el espacio situando y desplazando en él los objetos (dentro/fuera, encima/debajo, delante/detrás, arriba/abajo). Descubre propiedades físicas de los objetos que manipula: longitud, distancia, cantidad, pero todavía envueltas en las cualidades perceptivas de los objetos.

3 años. Compara los objetos en función de las cualidades físicas (forma, tamaño,
color). Discrimina en virtud de la percepción de las semejanzas-diferencias (ej.
Los dos son círculos, pero uno es rojo y el otro azul) lo que le posibilitará agrupar en función de un criterio. Son capaces de utilizar diferentes formas de etiquetado para diferenciar colecciones numéricas de pocos elementos (hasta 3).
También son capaces de detectar una correspondencia numérica entre una serie
de elementos visibles y una serie de estímulos auditivos.

3.5 años. Agrupa los objetos en función de uno o varios criterios combinados.
Puede contrastar magnitudes, esto es, comparar entre dimensiones distintas de
dos objetos (longitud/cantidad, volumen/cantidad, peso/cantidad) y estimar a
partir de una la cantidad de la otra (p.ej. si el collar es más largo tendrá más bolas). Es capaz de ordenar en el tiempo y paulatinamente de abstraer la cualidad
de la percepción del objeto, y por tanto, de coleccionar. En virtud de la comparación término a término que encuentra entre los componentes de las colecciones
comienza a establecer correspondencias. Engloba aspectos de tipo espacial,
cuantificación y semejanza/diferencia. Se trata de una etapa caracterizada por la
manipulación.

4 años. El niño ordena los objetos atendiendo a sus cualidades físicas. Se trata de
una ordenación serial cualitativa de diferencias como sucesiones que cambian al-
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ternativamente y dan lugar a series repetitivas. También compara y explora las
magnitudes de los objetos que componen las colecciones lo que le permite nuevas formas de agrupamiento. El niño va haciendo equivalencias. Presentan conocimientos sobre el conteo basados en una serie de principios numéricos. Estos
conocimientos permiten a los niños pequeños iniciarse en una serie de procedimientos de tipo numérico que suponen un cierto grado de abstracción pues todas
las entidades concretas, por diferentes que sean, pueden ser el soporte del conteo. Un niño promedio de 4 años puede contar de dos a tres entre varios objetos
A esta edad se trabajan también aspectos como la pertenencia o el tiempo.

4.5 años. El niño logra representar las secuencias aprendidas en la etapa anterior.
Es una etapa marcada por la adquisición del orden, la equivalencia, la conceptualización. La comparación de magnitudes discretas desiguales conduce a su
clasificación en orden creciente o decreciente. Se trata de una progresión serial.
Ahora se trata de una sucesión cuantitativa y no cualitativa. Se necesita una
apreciación numérica de la cantidad para su realización. Es capaz de ponderar,
de apreciar el peso por claves internas, cinestésicas.

5 años. Objetiva el tiempo, es decir, se refiere a períodos de tiempo usuales para
referirse a lapsos tiempo (ayer, mañana, hoy). Alrededor de los 5 o 6 años los
niños pueden trabajar con una sola cantidad. Este conocimiento basta para resolver los problemas de cambio más sencillos (problemas que introducen modificaciones en la cantidad inicial), los de adición en los que la incógnita se sitúa en el
resultado. Por el contrario, este nivel de conocimiento no les permite resolver los
de combinación, ni los de comparación, dado que estos demandan comparación
simultánea de dos cantidades. El niño promedio de 5 años puede contar de cuatro a seis. Hacia los 5.5 años el niño es capaz de contar, de verbalizar lo anterior.

6 años. Puede organizar los objetos sobre la base de una relación numérica: puede medir. Esta medida es una equivalencia entre continente y contenido. Las nociones de área y longitud son las primeras en desarrollarse, y que éstas tienen lugar hacia los 6 o 7 años simultáneamente. Entre los 6 y 7 años relacionan de manera causal el cambio que se produce en el conjunto inicial y la acción que lo
provoca. Ahora son capaces de estimar la dirección del cambio (incremento o
decremento) y de relacionarla con las operaciones aritméticas de adición y sustracción. El niño promedio de 6 puede contar doce. La lógica del niño es capaz
de resolver problemas de cierta complejidad (6.5 años).
Los niños logran a los 6 años aproximadamente a usar los números naturales
para comparar los tamaños.

Por otra parte, para comprender verdaderamente los números naturales y saberlos aplicar se precisa tanto de su faceta cardinal como ordinal, amén de la necesaria relación entre ambas. Tal comprensión se alcanza al mismo tiempo que se
desarrollan otras muchas operaciones lógicas; por término medio entre los 6 y
los 8 años de edad. Entre los 5 y los 8 años, el niño medio está comenzando a
desarrollar la facultad de razonar coherentemente por referencia a números, en
lugar de por referencia a colecciones particulares de objetos.
B2) Período de las operaciones concretas (7-12 años).
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Es el momento en el que el niño comienza a superar algunas características del
período anterior, como el egocentrismo, la centración. Aunque su razonamiento se encuentra muy ligado a la manipulación y recuerdo de operaciones realizadas con objetos
reales.
Ya son capaces de manejar símbolos y signos, de aprender códigos numéricos.
En torno a los 7 u 8 años han adquirido el esquema parte-parte-todo que los capacita para manejar una situación estática en la que tienen que imponer ellos mismos
una estructura sobre la situación descrita en el problema verbal. Por ello, resuelven problemas de cambio con la incógnita en el primer término. El niño comienza a aprender la
idea de la conservación de masa (sustancia).
A los 8-10 años, el niño es capaz de proceder de modo calculado con respecto al
proceso de medida. Hasta ahora el desarrollo del proceso de medida ha estado caracterizado por un proceder por tanteos, a base de ensayo y error. Es el período en el que utiliza el código numérico con dominio suficiente para representar realidades físicas, su
comparación, su cuantificación mediante signos espaciales o gráficos, es decir, la geometría, el sistema métrico decimal y la representación gráfica de datos.
Adquiere la idea de peso hacia los 9-10 años.
A partir de los 9 o 10 años los niños disponen de los esquemas necesarios para
solucionar los diferentes problemas de comparación. En este último ciclo el niño pasa a
construir abstracciones, aunque todavía tienen su origen las experiencias anteriores. Se
adquiere la madurez en las operaciones matemáticas, en el cálculo, en la numeración, en
la representación gráfica, en la interpretación de datos numéricos, las distintas magnitudes físicas de los objetos y sus equivalencias.
c) Período de las operaciones formales, a partir de los 12 años.
El adolescente razona de modo distinto al niño del período de las operaciones
concretas, el lenguaje adquiere gran importancia, el niño necesita tener la capacidad de
formular proposiciones verbales o en lenguajes abstractos.
Es el período no sólo de resolución de problemas matemáticos, sino del dominio
de los esquemas operacionales formales como: la combinatoria, las proposiciones, noción de correlación. En este período es cuando el alumno es capaz de alcanzar la noción
de conservación de volumen, una vez alcanzadas las de peso o sustancia. El adolescente
puede ir induciendo leyes físicas mediante eliminación de contracciones, la exclusión de
factores, la disociación de factores, operaciones de implicación recíproca, disyunciones.
Hacia los 11 o 12 años el niño llega a la etapa de pensamiento operacional formal, en la que el niño ha alcanzado una comprensión plenamente operativa de las nociones de medida. El niño es capaz de medir áreas y volúmenes mediante cálculos basados en las dimensiones lineales, pero Piaget sostiene que las nociones de medida no
podrán llegar a ser plenamente operativas en tanto no se hayan desarrollado los conceptos de infinitud y de continuo.
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4. DIAGNÓSTICO DE LOS TRASTORNOS O DISFUNCIONES Y LAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE
4.1. Errores más comunes que comete el escolar
Estudiemos a continuación algunos de los defectos más frecuentes que se observan en el escolar en su contacto con la Matemática.

Automatización prematura de soluciones: El niño, en su necesidad de acción,
tiende a adquirir las reglas que le permiten actuar antes de captar el contenido
del proceso que se está desarrollando, tratando de llegar cuanto antes a la “fórmula” que permita efectuar aplicaciones a casos concretos. El mejor modo de
evitar esta tendencia, es consiguiendo que la acción del niño se desarrolle en el
proceso mismo de captación del contenido del proceso. Una vez captado por el
alumno el contenido del proceso, es cuando puede condensarse éste, mediante la
regla o fórmula.

Falta de rigor en su léxico: Una vez captado el contenido del proceso, se observa a menudo su dificultad de expresar el resultado obtenido, aún cuando estamos
seguros de que la idea ha sido captada correctamente. Es muy difícil expresarse
satisfactoriamente cuando apenas se domina el lenguaje.Para evitar este defecto
conviene que el alumno se acostumbre a expresar fielmente su pensamiento,
provocando múltiples situaciones en que el niño haya de expresar la idea que
desea, acostumbrándose así a buscar las palabras adecuadas a tal fin. En ningún
momento debe ridiculizarse este defecto de expresión del niño, sino tratar, con
una crítica suave y persuasiva, de conseguir la autocorrección y perfeccionamiento del propio alumno.

Tendencia a memorizar definiciones: Por esta escasez de vocabulario en el niño
a que acabamos de aludir, se observa a menudo cierta tendencia a memorizar las
definiciones de los conceptos que maneja y de esta manera no atiende a lo que
está diciendo. Para evitar este frecuente error ha de procurarse que el niño intente construir la definición del concepto que ya posee, para después comparar ambas definiciones, lo que le ayudará a incrementar a veces su léxico. No debe exigirse al niño que sea capaz de repetir en cualquier momento una definición, pues
ello podría conducir a su memorización automática.

Errores de tipo aritmético y algebraico: Si el niño comienza a manejar conjuntos después de conocer la numeración, es frecuente que repita un elemento, a,
por ejemplo, al construir un conjunto infinito, lo que carece de sentido, o escriba
2ª, por ejemplo, lo que tampoco significa nada, si los elementos del conjunto no
son números. Esto se presenta frecuentemente al construir la unión de dos conjuntos no disjuntos, con el elemento a común, por ejemplo. Este error se evita si
se presentan las operaciones conjuntistas simples antes que la numeración, como
es natural. Tengamos en cuenta que la humanidad llegó al concepto de número
al considerar conjuntos equipotentes, y al de suma a partir de la unión de conjuntos disjuntos. Al iniciarse en la numeración, el niño puede mecanizar la escritura
de números de varias cifras sin haber captado el significado del valor relativo de
una cifra de nuestro sistema de numeración. Al iniciarse en cada una de las operaciones fundamentales de la aritmética, puede mecanizar la técnica de la opera-
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ción sin haber intuido previamente la justificación de dicho mecanismo. Para
evitarlo no deben proponerse ejercicios de tales operaciones hasta no dominar la
justificación de dicho mecanismo, a lo que se llega mediante sucesiva consideración de situaciones simples que llevan a su descubrimiento. Al comenzar a manejar las funciones de proporcionalidad directa e inversa, el escolar suele tomar
toda función creciente por función de proporcionalidad directa y toda función
decreciente por función de proporcionalidad inversa. Para evitarlo pueden efectuarse las presentaciones gráficas.

Errores de tipo geométrico y topológico: Una tendencia frecuente en el niño al
dibujar una figura es la regularización. Cuando se pide a un escolar que dibuje
un triángulo, lo construye equilátero. Si se pide que dibuje un cuadrilátero, suele
construir un cuadrado, es decir, el cuadrilátero regular. Para evitarlo debe acostumbrarse al niño a dibujar un triángulo escaleno, por ejemplo, como modelo
general de triángulo. Las propiedades específicas del cuadrado, por ejemplo, son
más complejas, y por tanto se han de estudiar después que las propiedades válidas para todos los cuadriláteros. Al iniciarse al escolar en el sistema métrico decimal puede memorizar mecánicamente los cambios de unidad, sin tomar conciencia de lo que estas unidades significan intuitivamente en el mundo real. Es
conveniente que el niño maneje estas unidades, realizando medidas experimentales de objetos para él interesantes, hasta llegar a familiarizarse con ellas y poder
calcular intuitivamente la medida de un objeto sin cometer errores sucesivos.
4.2. Las dificultades en la adquisición del cálculo
4.2.1. Definición y clases de discalculia
Existe una tradición importante en el estudio de las dificultades de adquisición
del número y de las operaciones básicas que con él se realizan, que se han venido a
agrupar bajo la etiqueta común de la discalculia.
El diagnóstico según el DSM-IV (APA, 1994) – Incluye el trastorno del cálculo
con los siguientes criterios:
A. La capacidad para el cálculo, evaluada mediante pruebas normalizadas administradas individualmente, se sitúa por debajo de la esperada dados la edad
cronológica del sujeto, su coeficiente de inteligencia y la escolaridad propia
de su edad.
B. El trastorno del Criterio A interfiere significativamente el rendimiento académico o las actividades de la vida cotidiana que requieren capacidad para el
cálculo.
C. Si hay un déficit sensorial las dificultades para el rendimiento en cálculo exceden de las habituales asociadas a él.
Además hay que apuntar los subtipos de trastornos del cálculo. Según KOSC
(1974) se distinguen los siguientes tipos de discalculia:
1. Verbal: dificultades para entender conceptos y relaciones matemáticos presentados verbalmente.
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2. Pratognóstica: alteraciones en la capacidad de manipulación de objetos, tal
como se necesita para comparar tamaños, cantidad, etc.
3. Léxica: dificultad para leer símbolos matemáticos o números.
4. Gráfica: dificultad para escribir símbolos y números matemáticos.
5. Ideognóstica: dificultad para entender conceptos y relaciones matemáticos,
así como para hacer cálculos mentales.
6. Operacional: dificultad para realizar las operaciones matemáticas requeridas.
Sin embargo, las dificultades de aprendizaje a las que la escuela ha de responder
van más allá de la concepción estrecha acerca de lo que es la discalculia.
4.2.2 Causas de la discalculia
Frente a los planteamientos que atribuyen la causa principal del cálculo a la falta
de práctica, varias han sido las perspectivas que han aportado sus posicionamientos al
respecto.
Para los enfoques piagetianos la deficiencia principal estaría en el desarrollo insuficiente de las habilidades prerrequisito como las nociones de clasificación, seriación
y término a término entre otras.
En las investigaciones de corte neuropsicológica han sido de gran aceptación las
explicaciones basadas en las dificultades visomotoras, lo que explicaría la confusión
entre le 6 y el 9.
Otra explicación de corte neurológico, se basaría en la distinción entre habilidades verbales y habilidades visuales y manipulativas. Estaría un grupo de niños con déficit específicos de aritmética, cuya raíz estaría en una afectación cerebral en las áreas
relacionadas con lo manipulativo. Ello habría impedido la experimentación individual
necesaria con los objetos de la realidad para construir las operaciones descritas por Piaget como esenciales para el desarrollo del número. Otros autores describen a los niños
con déficit específico de tipo aritmético como niños con problemas para desenvolverse
en situaciones nuevas, con dificultades en el ámbito psicomotor grueso; muy habladores, incluso con exageración y de forma inapropiada a menudo y con dificultades en la
escritura.
También hay que tener en cuenta las dificultades relacionadas con la memoria, la
atención y el autocontrol, la percepción, el lenguaje, la audición, el razonamiento y el
desarrollo motor. Todo ello son procesos que influyen en las habilidades aritméticas.
4.2.3. Acalculia
Acalculia es un “desorden adquirido del cálculo que resulta de un daño cerebral
sufrido después de que las habilidades aritméticas se hayan dominado”. Kosc usa la
acalculia como un término global para referirse aun fracaso completo de capacidades
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matemáticas. Benton no incluye el aspecto adquirido en su definición de acalculia y la
restringe a deterioros con operaciones de números.
Los autores consideraron dos tipos de acalculia: una primaria y otra secundaria:
1. Acalculia primaria: un déficit en el cálculo no achacable a otros trastornos.
2. Acalculia secundaria: resultado de alteraciones de otro tipo que acaban influyendo en esta área.
4.3. La evaluación del alumno
En un primer momento, la evaluación debe estar centrada en objetivar y concretar los objetivos curriculares matemáticos que presentan dificultades para el alumno. La
fuente más importante de documentación para diseñar esta valoración debe ser el currículum de Primaria, así como sus concreciones en el Proyecto Curricular de Centro y en
la Programación de Aula. Además de esta referencia, la literatura clásica nos aporta
algunas baterías de evaluación cualitativa que tiene la virtud de ser exhaustivas y sencillez como la que mostramos a continuación:
VALORACIÓN DE LOS COMPONENTES SIMBÓLICOS:
-
Valoración cuantitativa de números presentados oralmente (decir si es mayor 8 o
12, por ejemplo)
Valoración cuantitativa de números presentados visualmente.
Leer números en vos alta.
Indicar números escritos que son leídos por el examinador.
Diferenciación de números simétricos.
Escribir números al dictado.
Escribir números, copiándolos
EVALUACIÓN DEL CONTEO:
-
Contar en voz alta:; 1 al 20, del 20 al 1, y del 1 a 20 de 2 en 2.
Valoración del número de elementos contenidos en series continuas y discontinuas.
CÁLCULO:
-
Cálculo aritmético oral sencillo.
Cálculo aritmético oral complejo, con operaciones que para ser realizadas mentalmente deben ser descompuestas (31-7=(30+1)-7=(30-7)+1=23+1=24)
Cálculo aritmético escrito con colocación vertical, con llevadas y sin ellas.
Cálculo aritmético escrito con colocación horizontal, con llevadas y sin ellas.
Reconocimiento de las relaciones representadas por símbolos matemáticos (por
ejemplo, pedir que resuelva las operaciones 8+2 ó 8-2; o bien 8 ¿ 2=10).
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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-
Resolución de problemas matemáticos sencillos de distinto tipo. Ej: Pedro tiene
5 caramelos y María le da 2 más, ¿cuántos tiene ahora? (unión).
También disponemos, para este primer momento, de algunas pruebas objetivas
estandarizadas en castellano que proporcionan una comparación con un grupo normativo de la que se carece en los ejercicios anteriores:
1) Subescala de Aritmética del WISC-R (Weschler, 1995): incluye actividades
de conteo y añadido y eliminación de objetos concretos en los ítems para 6 y 7 años, y
problemas aritméticos leídos y presentados oralmente a partir de los 8.
2) Subescala de Conceptos Cuantitativos del Test de Aptitudes Cognoscitivas
(Thorndike, hagen y Lorge, 1982): evalúa relaciones y conceptos cuantitativos a través
de comparaciones numéricas, conteo de puntos, pequeñas sumas y restas y problemas,
etc.
3) Test de Aptitudes Escolares (TEA) (Seisdedos, De la Cruz, Cordero y González, 1987): incluye sumas, series numéricas, escritura de números letras, conceptos de
tiempo y peso, números romanos, decimales y fracciones. Abarca desde 3º de Primaria a
3º de ESO.
4) Test de Monedas de Aptitudes Numéricas (Seisdedos, 1980): evalúa relaciones cuantitativas y operaciones aritméticas a través de problemas relacionados con el
manejo de monedas, para el mismo abanico de edad que el TEA.
Sin embargo, estos test son de escasa utilidad para un segundo momento de evaluación de los procesos y conocimientos implicados en las dificultades concretas del
alumno. He aquí algunos aspectos que pueden resultar de interés evaluar en las dificultades de cálculo y numeración, con pistas acerca de algunos procedimientos para hacerlo:
1) Aspectos emocionales y motivacionales. Estaríamos evaluando el impacto de
cuestiones motivacionales sobre la ejecución matemática.
2) Procesos metacognitivos: Un problema frecuente es la pérdida del objetivo de
la tarea, de manera que habrá que emplear todo tipo de “pistas” verbales y escritas para
obligar al recuerdo del mismo. En otros casos, no se evalúan las implicaciones de la
acción emprendida; un modo de hacerlo es contextualizar la operación en un problema
concreto y evaluar la solución. En otros momentos, el pedir al niño que cuente en cada
momento lo que está haciendo sirve para supervisar el proceso de ejecución.
3) Conocimientos declarativos sobre las Matemáticas: Usando ábacos podemos
evaluar la comprensión del valor posicional de las cifras (1.003). En la suma y en la
resta, el empleo de material manipulativo puede servir para evaluar si existe una comprensión del significado de las operaciones.
4) Conocimiento procedimental: Recogemos una muestra suficientemente variada de las operaciones del alumno, dejarle trabajar sin influir, y buscar los posibles modelos erróneos utilizados.
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5) La medición del lenguaje en la actividad matemática: Para comprobar si las
dificultades se deben a dificultades lingüísticas puede ser de utilidad variar el modo de
representación de los enunciados de los problemas (oral o gráfico) y/o simplificar el
vocabulario y estructura de las frases empleadas.
6) La ausencia de conceptos básicos. Las pruebas ideadas por Piaget y sus colaboradores (Piaget y Szeminska, 1967) o pruebas estandarizadas desarrolladas para la
evaluación de conceptos básicos pueden ser útiles para ello.
5. INTERVENCIÓN
5.1. Recomendaciones generales
Las estrategias y actividades para la intervención resultan muy diversas, de manera que indicamos algunas recomendaciones de carácter general:
a) Analícense con cuidado los prerrequisitos de la tarea en cuestión. Las matemáticas constituyen un sistema jerárquico, en el que los prerrequisitos de ciertos conocimientos y destrezas están claramente delimitados.
b) Ello no impide adecuar, sin embargo, la secuencia a las necesidades y características de los alumnos.
c) Se debe ayudar a los alumnos a identificar cuándo deben usarse los procedimientos que están aprendiendo, integrándolos con lo que ya conocen.
d) Hágase un énfasis especial en el desarrollo de procedimientos de autocontrol.
e) Desarrolle una base sólida antes de introducir los símbolos, estructurando las
experiencias informales de cálculo para fomentar el aprendizaje por descubrimiento.
Además de estas recomendaciones generales, cabe destacar algunas indicaciones
más de carácter global.
Una guarda relación con la utilidad de la mediación verbal, el apoyo visual o el
apoyo táctil para el alumno que ha demostrado beneficiarse específicamente de alguna
de estas vías. Así, por ejemplo, para los niños con un aprendizaje “oral”, las instrucciones verbales deben preceder todas las acciones y demostraciones, manteniendo este esfuerzo verbal a lo largo de toda la tarea. Para los alumnos que se aprovechan del apoyo
visual o táctil el procedimiento será el mismo. Se comenzarán las instrucciones con la
vía correspondiente y se seguirá el ejercicio con refuerzos de ese tipo.
Otro eje que trasciende a las diversas intervenciones es el empleo de materiales
concretos, procediendo al manejo de objetos hasta su simbolización matemática, siguiendo una secuencia de pasos.
5.2. Modelos y actividades para la intervención
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Entre los enfoques tradicionales, están los basados en el enfoque piagetiano del
desarrollo del número. Las actividades se centran en favorecer los prerrequisitos operacionales básicos. Incluimos a continuación algunos ejercicios de este enfoque:
NOCIONES DE CONSERVACIÓN:
-
Actividades de conservación de sustancia con plastilina.
Ídem con arenilla o líquidos.
Con objetos contables o material discontinuo. Por ejemplo, hacer collares y
con igual/distintas cuentas y comparar sus longitudes.
SERIACIONES:
-
-
-
Ordenar objetos según criterio (ej.: niños de la clase por estatura).
Alternar los objetos según criterio. Pueden ser de carácter psicomotriz (alternar a los niños de la clase haciendo un tren, en el que se sitúen alternativamente niños y niñas) o con objetos (alternar cuentas de colores de un collar).
Finalmente estas series pueden combinarse con series numéricas.
Ordenar objetos, sustituyéndolos por símbolos.
Ordenar objetos de modos diferentes (p. Ej. , barajas de cartas).
Presentar series y que el niño las complete o encaje elementos en ellas.
Ordenar objetos de dos en dos.
Proponer que se busquen objetos que siguen o anteceden a uno dado en una
serie (p. Ej: “busca una canica más grande que ésta y otra más pequeña que
ésta”.
Seriaciones paralelas: en este caso se trata de poner en relación dos series
que se hayan elaborado de modo independiente (p. ej., tras ordenar las canicas de una serie de más pequeñas a más grandes, se le asocian los aros de
otra serie que también se ha ordenado de menor a mayor).
CORRESPONDENCIA TÉRMINO-A-TÉRMINO:
-
Aparear objetos: indios y caballos, niños y caramelos, dedales y dedos, etc.
Aprovechar actividades cotidianas, como el emparejamiento de niños y perchas, discutiendo si sobran o faltan.
El juego de la silla vacía.
Partir de montones de materiales desordenados, intentar que cada niño se haga para sí un montón con el mismo número de elementos que los demás.
CLASIFICACIÓN:
-
-
Clasificar materiales de trabajo del aula, tanto para una actividad real como
ene l marco de un juego (ordenar los materiales de la clase como si fuera una
tienda)
Clasificar bloques lógicos.
Actividades verbales de clasificación.
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Desde la perspectiva cognitivo-conductual, se propone la utilización de las autoinstrucciones. El esquema de intervención en este caso es el típico de cualquier tratamiento basado en autoverbalizaciones: 2) actuación del profesor primero como modelo,
dándose a sí mismo las instrucciones que luego el niño ha de imitar; 2) actuación conjunta de ambos; 3) el niño se autoinstruye en voz alta; 4) luego susurrando y 5) finalmente en silencio. A continuación vemos cuales son las instrucciones a emplear en un
ejercicio de suma:
1. ¿Cómo he de empezar? He de pensar en lo que tengo que hacer. He de recordar hablarme a sí mismo. Necesito trabajar despacio y con cuidado y comprobar mi trabajo.
2. ¿Qué tipo de operación matemática es ésta? Es un problema de suma. Puedo saberlo
por el signo. Sé cómo empezar problemas de suma. Puedo empezar ya.
3. ¿Qué tengo que hacer para sumar? He de empezar por el número superior de la columna de las unidades.
4. ¿Qué tengo que hacer después? Tengo dos números, tengo que guardar las decenas.
5. ¿Ahora qué tengo que sumar? He de sumar la columna de las decenas.
6. ¿Es correcta la respuesta? Es necesario que la compruebe.
7. Es correcta, lo estoy haciendo bien.
Dentro de la concepción sociocognitiva se encuentra el uso frecuente del juego,
actividades significativas y resolución de problemas, seguidas siempre de una reflexión
sobre el modo de actuar, los procedimientos seguidos y las limitaciones encontradas.
Pasamos a enumerar algunas recomendaciones, recordando que estas actividades
se deben realizar de forma reflexiva, promoviendo la discusión de los niños entre ellos y
con el profesor.
a) La identificación y escritura de cifras y símbolos matemáticos básicos. La intervención debe en destacar las características distintivas de los signos, señalando la
orientación como factor de diferenciación entre ellos, promoviendo además el desarrollo
de un plan motor. Estos planes motores deben ser ensayados repetidamente.
b) Habilidades de conteo y generación de una serie numérica: El contar un grupo
de objetos a partir de objetos requiere el dominio de diferentes reglas, pudiendo darse
los siguientes errores: errores de secuencia, de partición o de coordinación. Las recomendaciones incluyen la enseñanza sistemática de los diferentes principios del conteo, a
partir de experiencias concretas y en el marco de actividades interesantes.
c) Las operaciones básicas, pueden beneficiarse del empleo de las estrategias no
formales de los niños, como pueden ser los juegos de cartas o el dominó. Los juegos
basados en dados también pueden ser útiles. La enseñanza de los algoritmos está tradicionalmente ligada a la del valor posicional de las cifras. Este se ha introducido con
actividades manipulativas a base de “paquetes” de unidades, que conforman decenas las
que a su vez son integradas en paquetes de diez para formar centenas. El recuerdo de las
combinaciones numéricas básicas (“las tablas”) deben estimular la búsqueda de relaciones entre parejas de números, llamando la atención sobre las combinaciones más sencillas, como son las del cero, del uno y del dos, las dobles y las del diez.
d) La habilidad del cálculo estimativo, aunque no constituyen un contenido muy
extendido en la escuela, tiene valor ecológico y resulta útil para que el niño pueda eva-
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luar los propios resultados de sus operaciones. Algunas estrategias pueden ser redondear
el resultado, calcular el término medio o elegir los sumandos que más aportan al resultado final.
5.3. El empleo de las nuevas tecnologías
El instrumento tecnológico más elemental es la calculadora. Aunque de uso ventajoso en la resolución de problemas, su empleo en el marco de la enseñanza del cálculo
ha de ser valorado con cuidado. Una ventaja es que posibilita la autoevaluación al
alumno y permite un aprendizaje más complejo aún cuando ciertos automatismos no
hayan sido alcanzados.
Junto a la calculadora, el educador cuenta con infinidad de programas de ordenador adaptados a todas las edades.
6. BIBLIOGRAFÍA
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curriculares. Ed. Síntesis Psicología. Madrid.
Dickson, L., Brown, M., Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Ed. Labor S.A. Barcelona.
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Mora Roche, J. (2001). Atención a la diversidad en educación: dificultades en el aprendizaje del lenguaje, de las matemáticas y en la socialización. Ed. Cronos. Sevilla.
Skemp, R. (1980). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Ed. Morata S.A. Madrid.
Roanes Macías, E. (1983). Didáctica de las matemáticas. Ed. Anaya. Madrid.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Weschler, D. (1995). Wisc – R. Escala de inteligencia de Weschler para niños – Revisada. Madrid: TEA (original de 1974).
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