Líneas_de_transmisión

LINEAS DE TRASMISION DE ENERGIA
1) Generalidades.
Las líneas de transmisión de energía electromagnética son dispositivos cuyo fin
principal es el transporte de energía con eficiencia entre una fuente y un consumidor.
Son un caso particular de ondas electromagnéticas guiadas y están constituidas en su
forma más usual por dos o mas conductores que corren paralelos. Las líneas fueron
desde el inicio de las comunicaciones elementos fundamentales y de importante peso
económico de los sistemas de comunicación telegráfica y telefónica. La telegrafía ya
estaba consolidada a mediados del siglo XIX, con miles de kilómetros de líneas abiertas
tendidos sobre postes. A medida que se extendieron las líneas telegráficas terrestres, fue
necesario tender cables bajo el agua. Se cruzó el Canal de la Mancha y posteriormente
longitudes mayores en otros lugares. El funcionamiento bajo el agua en grandes
longitudes trajo, además de la atenuación, un nuevo fenómeno de transmisión: el de la
distorsión de la señal. Lord Kelvin fue el primero en representar el cable por una
resistencia en serie con una capacitancia distribuida en paralelo. Luego agregó una
inductancia distribuida en serie y una resistencia de pérdidas o “escape” en paralelo,
llegando a la conclusión que la inductancia era muy baja y con un diseño apropiado, la
resistencia de escape también se podía casi despreciar. La resistencia en serie se hacía
menor con mejores conductores. Se tendieron cables submarinos oceánicos para uso
telegráfico siguiendo las directivas de Lord Kelvin con éxito.
La invención del teléfono en 1876 hizo evidente inmediatamente algunas
complicaciones. Las frecuencias requeridas para la transmisión de voz eran mucho más
altas que para la telegrafía. La atenuación y la distorsión no permitían la transmisión a
grandes distancias. Ocurrían una serie de fenómenos que no se podían explicar
totalmente.
El primer responsable del análisis matemático mas completo de la propagación
de señales en líneas fue Oliver Heaveside, un notable ingeniero y matemático de su
época. Con sus estudios, publicados en 1880, se pudieron comprender los fenómenos y
diseñar líneas con mayor eficiencia y menor distorsión aumentando sensiblemente las
distancias.
1
Con la invención del tubo de vacío y los amplificadores eléctricos de señal, las
líneas abiertas sobre postes se utilizaron para los sistemas multicanales de “onda
portadora” que fueron la base de la comunicación telefónica a larga distancia.
Con el desarrollo de las comunicaciones inalámbricas las líneas comenzaron a
utilizarse a frecuencias mayores. La ventajas de la generación de energía eléctrica
alterna desarrolló las líneas de alta tensión de transmisión de energía de alta potencia de
frecuencia industrial cubriendo grandes distancias.
Las líneas se utilizan actualmente en todo el espectro de frecuencias, desde la
industrial (50Hz) hasta los Ghz. Se construyen usualmente de metales buenos
conductores (cobre, aluminio) y pueden ser cerradas (los cables coaxiales) o abiertas.
Como ejemplo de línea abierta tenemos a la
“bifilar”, muy usada en TV y que consta de dos
conductores de cobre paralelos. Una característica
x
común a todas ellas es que la distancia entre
conductores b es mucho menor que la longitud de
b
propagación de la onda electromagnética en el
l
L
medio (b<<La longitud l es muy variable. Si es
del orden de 0.1(longitud de onda de propagación
de una onda plana en el medio) se llama “corta”.
Líneas uniformes son a aquellas en que su forma no
varía con x.
2) Modos de propagación electromagnética.
En el análisis de las ondas guiadas por los métodos de la teoría electromagnética
muestra que pueden propagarse los modos TE, TM y TEM. Los modos TE y TM con
líneas de tamaño usual, con separación de los conductores no mayor de algunos
centímetros, la frecuencia de corte es muy alta, usualmente varios giga hercios. La
propagación de estos modos por debajo del corte a las frecuencias usuales no pasa de
una corta distancia a partir desde donde se generaron.
El modo principal que se propaga en las líneas es el TEM (transversal
electromagnético). En esta forma de propagación las corrientes en los conductores
fluyen en la dirección de la longitud de la línea y en cualquier intersección trasversal a
la línea, las corrientes instantáneas en los dos conductores son de igual magnitud pero
de signo contrario. A diferencia con los circuitos a constantes concentradas
2
trabajando a bajas frecuencias, la corriente y tensión instantánea no es igual en todos
los puntos del mismo.
Supondremos que en la intersección de cualquier plano transversal con los
conductores, en cualquier instante hay un valor de potencial único entre cualquier punto
de los conductores que es igual a la integral del campo eléctrico en cualquier trayectoria
sobre dicho plano. Esta suposición descarta otros modos de propagación que no sea el
TEM.
Analizaremos mas adelante la línea en forma “clásica”, como circuitos de
constantes distribuidas, es decir con inductancias, capacidad, resistencia y conductancia
proporcional a la longitud de la línea, que describen completamente su comportamiento,
configuración que puede deducirse de las ecuaciones de Maxwell. La ventaja práctica
de este análisis es que trabajaremos con voltajes, corrientes e impedancias en lugar de
campos electromagnéticos.
Tomaremos un trozo de línea de longitud dx, puede dibujarse el siguiente
elemento de circuito en un instante t:
R dx
L dx
Ii (x)
Ii(x+dx)
+
Uu (x)
+
u
U(x+dx)
C dx
G dx
dx
En las líneas uniformes, L (inductancia, henrios/metro), R (resistencia,
ohmios/metro), C (capacidad, faradios/metro) y G (conductancia, mhos/metro) son
constantes por unidad de longitud independientes de x.
Teniendo en cuenta la dependencia del tiempo, la tensión y corriente en un
instante t y a lo largo x se expresan como u(x,t) e i(x,t) (a veces simplemente u o i) .
Aplicando las ecuaciones de Kirchhoff al circuito de la figura, para evaluar la
caída de tensión a lo largo de la línea y la derivación de la corriente en el sentido
transversal:
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u ( x, t )
i ( x, t )
 Ri( x, t )  L
x
t
i ( x, t )
u ( x, t )

 Gu( x, t )  C
x
t

Hemos supuesto que en la rama en derivación la tensión es u(x,t) en lugar de
u(x+dx,t). Si este último se expande por medio de las series de Taylor alrededor de x se
obtiene las ecuaciones de arriba mas términos (dx)2 y de orden superior. Estas
cantidades pueden ignorarse al tender al límite.
Trabajando en régimen sinusoidal:
1
u ( x, t )
 ( R  Lj )i ( x, t )
x
i ( x, t )

 (G  Cj )u ( x, t )
x

La resolución de estas ecuaciones diferenciales
permite el cálculo de varias aplicaciones
prácticas de interés para el ingeniero.
Si derivamos la primera ecuación y sustituimos la siguiente, obtenemos
ecuación diferencial de ondas para la tensión:
d2u
 (R  jL)(G  jC)u
dx 2
Si definimos  2  (  j) 2  (R  jL)(G  jC)
d 2u
 2u
dx 2
  (  j)  (R  jL)(G  jC)
Similar ecuación podemos plantear para la corriente:
d 2i
 2 i
2
dx
Introduciendo la dependencia con el tiempo en la forma ejt , la solución de la ecuación
diferencial es:
u(x, t)  u(x)e jt  Ue jt  A1exe jt  A2exe jt
U es el valor rms complejo de la tensión.
La corriente tiene una ecuación similar: por
1
du ( x, t )
x jt
 x jt
x jt
 x jt
dx   A1e e  A 2e e   A1e e  A 2e e
i( x , t ) 
R  jL
R  jL
Zo

4
Zo 
Donde:
R  jL
R  jL

G  jC
( R  jL)(G  jC )
Z0 es la llamada impedancia característica, el parámetro eléctrico mas importante
en la caracterización de una línea. Luego, sin escribir la dependencia armónica del
tiempo e jt :
u(x)  A1ex  A2e x
i( x ) 
 A1e x  A 2e x
Zo
Las constantes A1 , y A2 se calculan conociendo la tensión y corriente en algún
punto de la línea o la impedancia que se conecta en el extremo.
3) Análisis de las constantes distribuidas.
L y C son la inductancia y capacidad por metro y se pueden calcular de las
dimensiones geométricas y de las características del medio por el que se propagan las
ondas (principalmente de la constante dieléctrica pues la permeabilidad magnética para
los materiales usualmente utilizados varía poco y es igual a la del vacío).
R, es la resistencia total por unidad de longitud del conductor en serie con la
línea. Es dependiente de la frecuencia debido al efecto pelicular y crece como la raíz
cuadrada de la frecuencia f . Para mantener las pérdidas bajas se utiliza usualmente un
conductor de cobre u otro metal cobreado.
G, conductancia paralelo por unidad de longitud. Se genera por la pérdida
interna molecular de los aislantes dieléctricos (histéresis dieléctrica), mas que por la
corriente de escape. Cuando el dieléctrico es aire, G es muy pequeño.
Las líneas ideales no tienen pérdidas, tienen R = G = 0, entonces
  j LC es imaginario puro.
 =  + j
   LC
 = 0 (no hay variación en amplitud - atenuación - )
Sus unidades son radianes por segundo.
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R  jL
L
, resistencia pura

G  jC
C
Si definimos Z0 = R0 + j X0 , en el caso de líneas sin pérdidas Z0 = R0
La impedancia característica Zo 
4) Condición de Heaveside.
La tensión o la corriente se atenúan a lo largo de la línea debido al factor que
depende de la frecuencia. La atenuación varía con ella y eso genera distorsión.
Heaveside planteó una relación entre los parámetros que conduce a la independencia del
factor de atenuación con la frecuencia y la impedancia característica queda real. 


Si hacemos
R G

L C
ZO 
R  j
L
L
L

C G  j
C
C

  LC (R  j)(G  j)  LC(R  j )2
L
C
L
R
C
LC  R
L
L
   LC
Se trata de ondas que al propagarse se retardan y se atenúan pero no se
distorsionan, pues a aunque es distinto de 0, no depende de .  es proporcional a , lo
que es necesario para que la velocidad de propagación sea independiente de la
frecuencia.
Las líneas telefónicas se tratan de hacer para que cumplan con R/L = G/C pero
sucede que en la práctica, para el cobre L queda pequeño. R se achica aumentando el
diámetro del conductor, pero eso encarece el tendido. G es pequeño y C se reduce
alejando los conductores entre si. Para solucionar el inconveniente se ponen bobinas
cada “milla” (1.600m), se aumenta L y se consigue entonces mejorar la respuesta a
frecuencias vocales. A altas frecuencias las bobinas actúan como pasa bajos. El método
se llama “Pupinización” de líneas, luego de Pupín, un ingeniero de los laboratorios Bell.
5) DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES CON LAS CONDICIONES
EN LOS EXTREMOS.
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Suponemos que en el extremo derecho tenemos la carga o el receptor y en el
izquierdo la fuente, hacemos - x = z
y conocemos los valores de los voltajes y
corrientes complejas
U1
U2
I1
I2
z
x
u( z)  A1e z  A2ez
i( z ) 
 A1e z  A2 ez
Zo
- x = z, Para el receptor, z = 0
A2 
U 2  ZO I 2
2
A1 
Z0 I2 = -A1 + A2
U 2  ZO I 2
2
En el caso que z1 = U2 / I2 = Z0,
Entonces:
U2 = A1 + A2
A1 = 0
u(z,t) = A2 e z e j(z + t)
i(z,t) = A2 ez e j(z + t)
en régimen sinusoidal. Si nos movemos - dz en un instante dt y planteamos que la fase
no cambia tenemos z + t = z - dz) + t + dt), dz / dt = = vp Si nos movemos
a esa velocidad (llamada velocidad de fase) vemos la amplitud A2 decreciendo ez .
Puede interpretarse como una onda que se propaga atenuándose hacia el receptor.
En una línea sin pérdidas o que cumpla la condición de Heaveside, v = 1
LC
es la
velocidad de propagación de la onda. La velocidad es menor que c. En líneas de radio
frecuencias puede ser de 0.95 c (con aire o dieléctrico de espuma de polietileno). Con
dieléctrico sólido llega a valores del orden de 0.6 c.
En una línea con perdidas, tanto  como  dependen de la frecuencia y por lo
tanto, la velocidad de propagación depende de f y se genera distorsión.
Vimos que con la “Condición de Heaveside” se cumple que:
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=R
Z0 =
L
L
C
C
y = 
LC
= 2f / v = 2 y la distorsión se elimina.
= R0, la parte reactiva X0 = 0.
6) LÍNEAS DE BAJAS PÉRDIDAS
Es el caso usual en la práctica, donde se cumple que: R < < L y G < < C.
  (R  Lj)(G  Cj)
1  G 
 j LC 1  R
L

j

 Cj 
y se desarrolla en serie
  j LC (1  R
2L j
G
2Cj

)
 R
2 Z0

GZ 0
2
 j LC
R
GZ 0

2 Z0
2
   LC 

v
En la práctica G es bajo frente a las pérdidas provenientes de la R.
R crece con la
f (pues depende de la resistencia superficial Rs 
m
del
2 m
conductor), se hace el factor gravitante en la atenuación. Si el ancho de banda no es
grande, la variación de  con f es despreciable (caso usual en una estación transmisora
de AM o FM). No es el caso de transmisión de TV por cable que se cubre un rango de
frecuencias muy amplio. En los cables se coloca una red “ecualizadora” antes de cada
amplificador, que atenúa las bajas frecuencias y compensa la respuesta en amplitud para
hacerla mas plana.
Ecualizador
Amplificador
Línea
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