Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 1 Ejemplo 8 Problema 3. Consideremos una onda monocromática plana que se propaga en el vacío a lo largo del eje x y que viene descrita por el campo eléctrico en la forma: E ( x, t ) E0 y sin(kx t ) ˆj E0 z cos(kx t ) kˆ a) Hallar el campo magnético B( x, t ) b) Calcule el ángulo que hacen entre sí los campos E( x, t ) y B( x, t ) y el ángulo que hace cada campo con la dirección de propagación iˆ c) Exprese el campo magnético en función del campo eléctrico d) Hallar la relación entre las magnitudes de los campos eléctrico magnético E0 y B0 e) Calcule la densidad de energía electromagnética w definida por 1 BB w 0E E 2 0 f) Calcule el vector de Poynting S definido por S 1 0 ( E B) g) Encuentre la relación entre el vector de Poynting S y la densidad de energía electromagnética w h) Calcule la Intensidad o Irradiancia I de la onda electromagnética, definida como el promedio temporal del módulo del vector de Poynting I S 1 0 EB i) Calcule el promedio temporal w w electromagnética definido por w w de la densidad de energía 1 BB 0E E 2 0 j) Encuentre la relación entre la Irradiancia o intensidad de la onda y el promedio temporal de la densidad de energía electromagnética w Metodología: Usaremos las ecuaciones de Maxwell en una región sin cargas, 0, y donde no hay materiales conductores presentes, g 0 , es decir, la densidad de corriente es cero: J gE 0 Para este caso específico, las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por: E 0, E B t B 0, B 0 0 E t _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 2 Ejemplo 8 En este ejemplo, los campos eléctrico y magnético están polarizados elípticamente, ya que al avanzar la onda en la dirección iˆ , la punta del vector campo eléctrico (y también la del campo magnético) va girando describiendo una órbita elíptica, como se puede ver si escribimos el campo eléctrico en componentes: Ey E0 y sin(kx t ) Ez E0 z cos(kx t ) Estas expresiones pueden ser re escritas en la siguiente forma: Ey E0 y sin(kx t ) Ez cos(kx t ) E0 z Elevando al cuadrado y sumando, tenemos la siguiente ecuación de trayectoria elíptica: Ey E0 y 2 Ez 1 E 0 z 2 Gráficamente, mientras la onda avanza, la punta del vector campo eléctrico (en azul) describe una elipse que va girando a la izquierda al variar kx t . En la figura se muestran tres campos eléctricos E1, E2 , E3 , correspondientes a tres posiciones consecutivas. El campo magnético siempre es perpendicular al campo eléctrico (en rojo) Ey y E3 E3 E2 E1 Ez E2 B3 B2 B1 x B1 E1 z _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 3 Ejemplo 8 Solución: a) Dado que conocemos el campo eléctrico E ( x, t ) , podemos obtener el campo B . B( x, t ) usando la ecuación de Maxwell E t Primero calculamos el rotor del campo eléctrico y luego integramos parcialmente en el tiempo para obtener el campo magnético, es decir, B E t . Calculemos el rotor, sabiendo que: Ex 0 , Ey E0 y sin(kx t ) , Ez E0 z cos(kx t ) iˆ E x Ex ˆj y Ey kˆ iˆ z x Ez 0 ˆj kˆ y z E0 y sin(kx t ) E0 z cos(kx t ) Derivando, se obtiene: E ˆj kE0 z sin(kx t ) kˆ kE0 y cos(kx t ) Reemplazando en la integral B E t , obtenemos B E t ˆj kE0 z sin(kx t ) kˆ kE0 y cos(kx t ) t Ahora calculamos las integrales parciales respecto a 1 t: 1 sin(kx t )t sin(kx t ) t cos(kx t ) 1 1 cos(kx t )t cos(kx t ) t sin(kx t ) Por lo tanto, el campo magnético viene dado por: B ( x, t ) Pero k k E 0z cos(kx t ) ˆj E0 y sin(kx t ) kˆ 0 0 1 0 0 c , donde m c 3 108 es la velocidad de la luz s en el vacío. Finalmente escribimos B ( x, t ) 1 E0 z cos(kx t ) ˆj E0 y sin(kx t ) kˆ c _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 4 Ejemplo 8 Gráficamente, en forma esquemática lo que ocurre es lo siguiente: Otro esquema gráfico donde se muestra la longitud de onda relaciona con la velocidad de propagación c en la forma: , la cual se c donde es la frecuencia de la onda. Recordemos además que el número angular de onda o módulo del vector de propagación viene dado por: k 2 y que la frecuencia angular se relaciona con la frecuencia a través de: 2 . _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 5 Ejemplo 8 b) Para calcular los ángulos entre los vectores, realizaremos varios productos punto. Para facilitar la escritura usaremos la siguiente sustitución: kx t 1 E B E0 y sin ˆj E0 z cos kˆ E0 z cos ˆj E0 y sin kˆ c 1 E B E0 y E0 z sin cos E0 y E0 z sin cos 0 c Es decir: E( x, t ) B( x, t ) 0 Dado que el producto punto entre los campos es cero, para todo valor de x y para todo valor de t , podemos asegurar que los campos eléctrico y magnético siempre son ortogonales entre sí cuando se mueven en el espacio y en el tiempo. Veamos ahora los productos punto entre los campos y la dirección de propagación iˆ : E iˆ E0 y sin ˆj E0 z cos kˆ iˆ 0 1 B iˆ E0 z cos ˆj E0 y sin kˆ iˆ 0 c Dado que los productos punto son cero, E iˆ 0, B iˆ 0 , se confirma que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares a la dirección de propagación iˆ y que los tres forman una triada ordenada. c) Para expresar el campo magnético en función del campo eléctrico, basta comparar las dos expresiones de los campos: E( x, t ) E0 y sin ˆj E0 z cos kˆ y 1 E0 z cos ˆj E0 y sin kˆ c Podemos demostrar que el campo magnético se puede escribir en la siguiente forma: iˆ B ( x, t ) E ( x, t ) c B ( x, t ) Para demostrarlo, basta con realizar el producto cruz de la derecha: iˆ iˆ E ( x, t ) E0 y sin ˆj E0 z cos kˆ c c ˆi E E E ( x, t ) 0 y sin iˆ ˆj 0 z cos iˆ kˆ c c c finalmente obtenemos: E E iˆ E ( x, t ) 0 z cos ˆj 0 y sin kˆ c c c resultado que coincide con la expresión del campo magnético. _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 6 Ejemplo 8 Queda así demostrado que iˆ B ( x, t ) E ( x, t ) c donde el vector unitario iˆ representa un vector en la dirección de propagación de la onda, el eje x en este ejemplo. d) Calculemos ahora los módulos E0 y B0 de cada campo y la relación que existe entre ellos. Módulo del campo eléctrico: E E0 E E E0 y sin ˆj E0 z cos kˆ E0 E02y sin 2 E02z cos2 Nótese que el módulo del campo varía al variar kx t , como debe ser, ya que el campo está polarizado elípticamente. Módulo del campo magnético: B B0 B B B0 1 E0 z cos ˆj E0 y sin kˆ c 1 E02y sin 2 E02z cos 2 c Comparando las dos expresiones, vemos que entre los módulos existe la siguiente relación: B0 E0 c Lo cual implica que la magnitud del campo magnético comparada con la magnitud del campo eléctrico B0 es muy pequeña E0 . e) Calculemos la densidad de energía electromagnética w definida por 1 BB w 0E E 2 0 En el punto d) calculamos E E y obtuvimos: E E E E sin E cos 2 0 2 0y 2 2 0z 2 también calculamos B B y obtuvimos: B B B 0 0 E sin E02z cos 2 2 0 2 0y 2 Reemplazando estos resultados en la expresión de la densidad de energía electromagnética, obtenemos: _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 7 Ejemplo 8 0 0 E02y sin 2 E02z cos2 1 2 2 2 2 w 0 E0 y sin E0 z cos 2 0 luego, w 0 E02y sin 2 E02z cos 2 O en función del módulo del campo eléctrico w 0 E E Explícitamente w 0 E02y sin 2 kx t E02z cos 2 kx t f) Calculemos el vector de Poynting S 1 EB 0 1 0 E 0y S definido por S 1 0 ( E B) 1 sin ˆj E0 z cos kˆ E0 z cos ˆj E0 y sin kˆ c Usando la forma del determinante del producto cruz, podemos escribir: iˆ 1 0 E0 y sin c 0 E0 z cos EB kˆ ˆj E0 z cos E0 y sin Obtenemos un vector en la dirección de propagación de la onda EB S Pero S 1 0 1 2 E0 y sin 2 E02z cos 2 iˆ c ( E B) 1 0 c 1 0 iˆ : 1 E02y sin 2 E02z cos 2 iˆ 0 c 0 0 0 , luego 0 0 ( E B) 0 2 E sin 2 E02z cos2 iˆ 0 0 y Explícitamente nos queda: S 0 2 E0 y sin 2 kx t E02z cos2 kx t iˆ 0 Veamos otra forma de calcular el vector de Poynting, usando la relación entre iˆ E y B encontrada en el punto c): B E c _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 8 Ejemplo 8 S 1 0 ( E B) iˆ E E 0 c 1 Usando la identidad vectorial: a b c b a c c a b , obtenemos: iˆ 1 ˆ i E E E E iˆ E E 0 c c 0 Pero E iˆ 0 (como vimos en punto b)), pues son perpendiculares, luego se tiene una expresión general en función del módulo cuadrado del campo eléctrico: 0 S E E iˆ 0 S 1 Donde hemos usado la relación: 1 0 . Pero en el punto d) obtuvimos el 0 c 0 módulo del campo eléctrico: E E E02 E02y sin 2 E02z cos2 Reemplazando obtenemos S 0 E E iˆ 0 E02y sin 2 E02z cos2 iˆ 0 0 Expresión idéntica a la obtenida más arriba por otro método. Explícitamente nos queda: S 0 2 E0 y sin 2 kx t E02z cos2 kx t iˆ 0 Nótese que el vector de Poynting es una función altamente variable en el espacio y en el tiempo y que apunta en la dirección de propagación. g) Encontremos la relación entre el vector de Poynting energía electromagnética w Usemos los resultados obtenidos: S S y la densidad de 0 E E iˆ 0 E02y sin 2 E02z cos2 iˆ 0 0 w 0 E E 0 E02y sin 2 E02z cos 2 Reemplazando w en S obtenemos w ˆ 1 wiˆ i 0 0 0 Usando el valor de la velocidad de la luz en el vacío c , nos queda: S cwiˆ S 0 0 _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 9 Ejemplo 8 Es decir, el vector de Poynting transporta densidad de energía a la velocidad de la luz en la dirección de propagación de la onda. h) Calculemos la Intensidad o Irradiancia I de la onda electromagnética, definida como el promedio temporal en un periodo del módulo del I S vector de Poynting 1 0 EB Usemos la última forma general del vector de Poynting S 0 E E iˆ 0 tomemos su módulo: S S 0 E E 0 explícitamente S 0 2 E sin 2 kx t E02z cos2 kx t 0 0 y Tomemos ahora los promedios temporales para tener una magnitud medible, dado que el campo es altamente variable en el tiempo: I S S 0 EE 0 Explícitamente: I S 0 2 E0 y sin 2 kx t E02z cos2 kx t 0 Donde los paréntesis ... indican el promedio temporal: sin 2 kx t 1 T 2 sin kx t t T 0 cos 2 kx t 1 T cos 2 kx t t 0 T y donde el periodo T viene dado por T sin 2 kx t 2 T sin 2 kx t 1 2 T 0 0 2 sin 2 kx t t sin 2 kx t t _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto Física III Semestre de Otoño 2005 __________________________________________________________ 10 Ejemplo 8 1 t 1 1 2 1 sin kx t sin(2t ) 2 2 4 0 2 2 2 1 sin 2 kx t 2 del mismo modo: 1 cos 2 kx t 2 Entonces la Irradiancia o Intensidad de la onda I viene dada por: T 2 I S i) 1 0 E02y E02z 2 0 Calculemos el promedio temporal w w de la densidad de energía electromagnética. Consideremos el promedio temporal de w w w 0 E E w w 0 E02y sin 2 kx t E02z cos 2 kx t Pero ya conocemos el valor de los promedios de las funciones armónicas, por lo tanto, obtenemos 1 w 0 E02y E02z 2 j) Encontremos la relación entre la Irradiancia o intensidad de la onda y el promedio temporal de la densidad de energía electromagnética w Tomemos promedio temporal al módulo de la última relación encontrada, S cwiˆ , es decir, S c w Pero S I es la Irradiancia o Intensidad de la onda, luego la relación es: I cw Cuando la onda avanza en la dirección de propagación, el eje ejemplo, el campo eléctrico x en este E ( x, t ) y el campo magnético B( x, t ) van rotando, pero siempre se mantienen perpendiculares entre sí y además cada uno de ellos es perpendicular a la dirección de propagación. _____________________________________________________________________ Profesores: Dr. Edmundo Lazo & Dr. Héctor Calisto