TEORIA ELECTROMAGNETICA - Escuela de Ingeniería Eléctrica

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
Introducción
Lograr el conocimiento de una proposición significa comprender los varios pasos en que
se articula, los elementos sobre los cuales se basa, sus nexos lógicos, los límites de cada uno
de ellos y la naturaleza de las dificultades sucesivamente halladas. Esto significa prever el
resultado al que conduce y determinar las posibilidades de su validez.
La física se ocupa de estudiar, junto con otras ciencias naturales, las propiedades
objetivas de los cuerpos materiales. Estudia cuerpos de extremadas y variadas dimensiones,
formas y características constitutivas. Dimensiones del orden 10-15 m hasta 109 m, o aún
mayores como en el caso de la astrofísica, y masas que oscilan entre 10-31 Kg y hasta más de
1030 Kg. El primer objetivo de la física es descubrir las fuerzas de interacciones internas y
externas que existen en los cuerpos materiales, para lograr describir fenómenos naturales y
llegar finalmente a nuestro mundo asequible a la expresión.
La física moderna establece cuatro tipos básicos de interacciones:
 Interacciones gravitatorias
 Interacciones débiles
 Interacciones electromagnéticas, e
 Interacciones fuertes.
La Teoría de los Campos Unificados o de la Gran Unificación trata de establecer en el
espacio-tiempo una base común para estos cuatro tipos de interacciones, de acuerdo a sus
características constitutivas esenciales. Ya se han unificado tres de esas cuatro fuerzas: las
electromagnéticas, las nucleares débiles y las nucleares fuertes.
Debido a la teoría de la dualidad onda-partícula, podemos pensar que la fuerza entre dos
o más objetos es causada por la producción e intercambio de esas partículas: fotones para las
fuerzas electromagnéticas, bosones para las fuerzas nucleares débiles, gluones para las fuerzas
nucleares fuertes y gravitones para la fuerza de gravedad. Actualmente se cree que los
gravitones tienen un tránsito en su spin similar al de los fotones, si ésa es la situación, esto
uniría la fuerza de gravedad a la otras tres fuerzas, ya unificadas, completando de esta manera
la gran unificación.
El estudio y comprensión de un fenómeno físico usualmente se inicia mediante la
observación de sus manifestaciones y características. Basándose en esto, se establece una
hipótesis de acuerdo a la naturaleza del fenómeno. Las hipótesis pueden ser desde una simple
generalización hasta una elaborada cadena de causas y efectos que indican la conexión entre
los eventos que tipifican al fenómeno. La posibilidad de construir una hipótesis descansa sobre
la suposición de que existe algún orden en la naturaleza.
El deseo de poder describir un fenómeno en términos de conceptos conocidos nos ha
conducido al uso de modelos y analogías que gobiernan nuestros ensayos experimentales.
Debemos utilizar esos modelos como medios para facilitar el entendimiento fenomenológico,
1
y mantener las representaciones matemáticas como la conceptualización de lo que se quiere
describir.
Los avances de la física moderna como la teoría de la relatividad y el principio de
indeterminación de Heisenberg; la nueva ciencia de los fenómenos complejos y del caos
muestran que hay una dinámica intrínseca del universo que tiene una lógica más general. Se
trata de una sistematización amplia y en muchos casos casi contraria y ajena a los paradigmas
clásicos.
Lo que sucede, es que es una sistematización todavía incompleta y probablemente
insuficiente. Pero será cada vez menos débil, porque recibirá una atención progresiva, y
responderá a la demanda existente por modelos y esquemas más globales y alternativos.
La teoría electromagnética estudia las fuerzas responsables de la estabilidad eléctrica en
las estructuras atómicas, en los complejos moleculares que integran los cuerpos, y la acción
recíproca entre la radiación electromagnética y la materia.
El primer paso para la solución de problemas en electromagnetismo debe ser el
establecimiento de las leyes de interacción eléctrica y la ley de conservación de las fuentes que
dan origen al campo electromagnético. La gran mayoría de los métodos clásicos de
observación, estudio y medición aplicados en la práctica son demasiados ordinarios para que
con su contribución sea posible descubrir la existencia de las fuentes individuales de la
electricidad. Las cargas eléctricas mínimas determinables con estos métodos, contienen en sí
cientos de millones de partículas elementales, separadas por distancias infinitamente pequeñas.
No obstante, para el estudio macroscópico de los fenómenos eléctricos admisibles por
observación directa, podemos basarnos en leyes y razonamientos generales, sin tener que
considerar la estructura atómica de las fuentes de la electricidad. Podemos utilizar las
propiedades de los medios continuos, suponiendo que las “cargas eléctricas” llenan
completamente, de un modo continuo las partes cargadas de los cuerpos materiales.
Simplificando de este modo nuestro problema, definimos las densidades esenciales de cargas
eléctricas entre límites conocidos, y, además bastante amplios. Semejantes consideraciones son
completamente aceptables y hasta aplicables a los cuerpos reales de estructura no homogénea,
mediante la utilización de las condiciones en las fronteras y el estudio de los medios
estratificados.
Mediante la formulación de las ecuaciones de Maxwell podemos hacer un examen del
comportamiento macroscópico o global del campo electromagnético. También podemos
observar que estas leyes, utilizadas bajo estas consideraciones aproximadas, se derivan de las
leyes de la Teoría Cuántica de la electricidad.
En los marcos de las concepciones clásicas era imposible explicar mecanismos tales
como el de la superconductividad, de manera que esto es uno de los triunfos de la teoría
cuántica. La esencia del problema es que aunque entre los electrones actúan las fuerzas de
repulsión coulombiana, sin embargo, en los cuerpos sólidos surgen a la par de ésta, también,
fuerzas de atracción entre los electrones, debidas a que los electrones pueden intercambiar
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cuantos de oscilaciones elásticas del cuerpo. Esta atracción da lugar a la formación cerca de la
superficie energética de Fermi, de pares de electrones ligados. Estos pares forman lo que se
conoce como bosones, que tienen propiedades de súper fluidez. Como los electrones poseen
carga, la superfluidez de los pares equivale a una superconductividad.
Es de hacer notar que las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las
transformaciones de Lorentz, y por lo tanto, perfectamente válidas en electrodinámica
relativista.
También, podemos señalar que si hacemos la constante de Planck igual a cero (h = 0),
los resultados de la electrodinámica cuántica son coincidentes con los de la electrodinámica
clásica. De igual manera podemos hacer uso de los vectores de estado, el ket y el bra del
espacio de Hilbert, ya que, como matrices hermitianas hacen posible su utilización para
representar los campos electromagnéticos, que, evidentemente, están regidos por las
ecuaciones de Maxwell.
La primera ley de interacción entre partículas eléctricamente cargadas fue establecida
sobre bases experimentales por Charles Coulomb en 1785. Ya para el año 1767 Joseph
Priestley realizaba experimentos sobre este tipo de interacción basado en los hallazgos de
Benjamín Franklin. Durante el siglo diecinueve hubo gran actividad en el desarrollo del
estudio del electromagnetismo. Podemos observar las contribuciones de Biot y Savart, de
Andrè M. Ampère, de Pierre Laplace, de Michael Faraday y de Carl F. Gauss, para culminar en
1873 con la formulación matemática completa del electromagnetismo contenida en las
ecuaciones de Maxwell. Hecho éste que estableció la naturaleza ondulatoria del campo
electromagnético y su propagación a una velocidad finita que depende de las características
constitutivas del medio en el cual se propaga. Esto fue finalmente confirmado
experimentalmente por los trabajos de Heinrich Hertz en 1887.
Si el sistema de las ecuaciones de Maxwell es cierto y realmente completo, de él debe
deducirse unívocamente todo el comportamiento del campo electromagnético, o sea, tanto las
leyes que gobiernan el comportamiento de los fenómenos eléctricos ya estudiados, como los
no todavía conocidos. Por consiguiente el sistema fundamental es, en realidad, la formulación
matemática de los postulados de la electrodinámica clásica. El electromagnetismo, como se
puede inferir de los planteamientos hechos anteriormente en esta introducción, trata de una
serie de conocimientos, que acumulados a lo largo de los años, ha podido reunir conceptos
fundamentales para constituir un núcleo de gran utilidad práctica para el estudio y
entendimiento de los fenómenos eléctricos.
Los campos electromagnéticos son, con toda su calidad de abstracción, perfectamente
representables mediante imágenes (líneas de campos). También en el terreno atómico podemos
no apelar a imagen nueva alguna, no habitual, sino proceder con las normales: las imágenes de
las partículas y las de las ondas. Desde luego, son imágenes auxiliares. Son apariencias de
impresiones sensoriales tras las cuales está el fenómeno, que se quiere representar y que queda
en las sombras.
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Estos apuntes fueron concebidos para servir de material de apoyo docente en la
enseñanza de los principios fundamentales de la Teoría Electromagnética para estudiantes de
ingeniería eléctrica, que hayan completado sus estudios de física, incluyendo electricidad y
magnetismo, de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y cálculo vectorial. Su
contenido comprende los siguientes temas:
 Representación matemática y características del campo electromagnético.
 Medios materiales y sus propiedades electromagnéticas:
Polarización eléctrica y polarización magnética. Conducción eléctrica.
 Inducción electromagnética.
 Energía y fuerza en el campo electromagnético.
 Transmisión y propagación de ondas electromagnéticas planas.
 Radiación electromagnética. Fuentes elementales.
El problema se centra en el estudio de las características estacionarias, casi-estacionarias
y dinámicas del campo electromagnético, buscando una integración de conocimientos sobre la
base de leyes fundamentales y utilizando las posibilidades que nos brindan las propiedades de
los campos vectoriales.
Como ya se ha venido mencionando a lo largo de esta introducción, la teoría
electromagnética presenta ciertas complejidades para el ingeniero electricista. Los conceptos
básicos, en contraste con lo que sucede en la mecánica cuántica, son lo suficientemente
simples como para que cualquiera pueda entenderlos, pero al mismo tiempo, las dificultades
matemáticas asociadas con la obtención de soluciones y su correcta interpretación, representan
un desafío que requiere, en muchos casos, un alto nivel y gran habilidad en el manejo de las
matemáticas. Conocemos las ecuaciones que gobiernan los procesos e interacciones
electromagnéticas, pero no podemos resolverlas en forma general. Introducimos
simplificaciones y confiamos en nuestra intuición para interpretar los resultados obtenidos.
Durante el siglo diecinueve, una heroica época para el desarrollo científico, la fe en la
simplicidad de las leyes naturales era una convicción firme. En el siglo veinte, los científicos
son más escépticos, pero aquellos dedicados al estudio del electromagnetismo todavía
mantienen su creencia en la simplicidad. Como van a notar a lo largo de estos apuntes, siempre
hemos preferido un argumento físico, a una larga y complicada derivación matemática. Sin
embargo, debemos advertir, que creemos que la simplicidad no siempre conduce a la verdad, y
que debemos buscarla pero también desconfiar de ella. Esto no quiere decir que nuestras
soluciones sean incorrectas, sino que seguramente son demasiado particulares y restringidas.
Las complejas y fecundas relaciones que existen entre la matemática y la Teoría
Electromagnética no pueden encerrarse en un esquema único predeterminado; no quedan en
modo alguno disminuidas ni por la generalidad siempre creciente de las teorías modernas ni
por el carácter aparentemente artificioso de las entidades que estudian. El motor que empuja
al conocimiento matemático contemporáneo hacia las concepciones cada vez más audaces y
menos intuitivas no pretende aislarlo de la realidad, sino hacerle capaz de captar mejor las
razones ocultas de las leyes fundamentales. Maxwell consiguió con su sistema de ecuaciones
un éxito que debemos incluir entre los mayores y más maravillosos logros, ya que lo alcanzó
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mediante la reflexión pura acerca de los secretos del electromagnetismo que una generación
posterior, apoyada en una infatigable y sagaz experimentación, pudo comprobar.
Es conveniente mencionar que los métodos numéricos son de gran importancia en la
obtención de soluciones, y que el computador como herramienta de trabajo puede llegar a ser
un substituto del ensayo experimental. Pero, para que esto sea cierto y valedero, debemos
hacer uso de aproximaciones analíticas rigurosas y de algoritmos adecuados.
Por último, debemos reconocer que muchas teorías pueden ser relativamente más
profundas que la teoría electromagnética, pero ninguna de ellas puede explicar una gama tan
amplia y variada de fenómenos. Sólo deben respetarse con todo rigor las reglas establecidas. El
operar con las ecuaciones representativas del campo electromagnético consiste en llevar las
cosas, ordenadas en el espacio y el tiempo, a una nueva configuración.
Debemos añadir, en justificación a estas notas, que si bien la teoría electromagnética es
una asignatura de carácter universal, y de común enseñanza en todas las Escuelas de Ingeniería
Eléctrica, cada unidad docente debe tener su propia fisonomía y formas académicas que le
caractericen y le permitan generar pruebas convincentes para su indispensable existencia y
desarrollo. También, esta recopilación de ideas y conceptos que conforman estos apuntes, lleva
por meta redimirlos de la dispersión que puede llegar hasta el olvido, y que sirvan de
orientación a futuras generaciones acerca de los principios que se han desarrollado en el
dictado de los fundamentos de esta asignatura, en el transcurso de muchos años, al transitar
todas las facetas de su difusión académica.
Caracas, Diciembre de 1999.
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Apariencia de la realidad
Imagen representativa
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1
MODELOS MATEMÁTICOS PARA
LA REPRESENTACIÓN
DEL CAMPO
ELECTROMAGNÉTICO
Resultaría admirable poder iniciar directamente el estudio de los fenómenos
electromagnéticos sin la necesidad del manejo de ciertos fundamentos matemáticos.
Desdichadamente, esto representaría una tarea altamente laboriosa. Las matemáticas
constituyen un sistema ideal para el manejo y entendimiento del mundo físico. Son una fuente
de abstracciones y modelos que nos permiten descifrar la causa y esencia de los fenómenos
naturales.
El objetivo principal es utilizar los modelos matemáticos que nos permitan obtener e
interpretar, mediante las ecuaciones de Maxwell y Lorentz, soluciones para el campo
electromagnético, regidas unívocamente por las condiciones físicas existentes en los diferentes
elementos materiales que ocupan un espacio-tiempo determinado. Haciendo uso de operadores
vectoriales relacionados con aspectos físicos fundamentales podemos obtener modelos
analítico-vectoriales que describan adecuadamente las características asociadas con el
fenómeno estudiado.
Podemos obtener una imagen intuitiva del fenómeno físico, pero debemos aprender con
todo interés el lenguaje matemático antes de poder utilizarlo con plena libertad, así también
aquí el único camino para desembarazarse de la opresión de las fórmulas y modelos
representativos los fenómenos que queremos estudiar.
El campo electromagnético es equivalente a la presencia simultánea e independiente de
un campo electrostático y de un campo magnetostático cuando las cargas eléctricas están en
reposo y las corrientes son invariables en el espacio-tiempo. Pero cuando existen variaciones
espacio-temporales, la independencia de estos dos campos se destruye, se producen fenómenos
que implican interacciones entre E y H que ahora son variables. Ya que los cambios ocurren en
el espacio y en el tiempo, los modelos matemáticos representativos deben poder reflejar estas
condiciones.
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Debemos observar, además, el hecho de que el campo electromagnético representa una
entidad no-material que tiene presencia en el espacio libre. Sin embargo, su realidad queda
demostrada por los importantes efectos que ejerce sobre las cargas eléctricas que constituyen
una propiedad coesencial de la materia. El campo electromagnético es un conjunto de vectores
para cada punto del espacio. Estos vectores cambian continuamente sus magnitudes y
direcciones a medida que el tiempo transcurre. Sin embargo, tal complejidad no es difícil de
manejar matemáticamente. Pero cuando tratamos de comprender algo no-material, como lo es
el campo electromagnético, la visualización puede crear obstáculos innecesarios a la
comprensión. No obstante, las cantidades del campo mantienen su completa significación y
mensurabilidad, y las ecuaciones de Maxwell más la ley de fuerza de Lorentz están entre las
más claras y útiles leyes de la física moderna.
En nuestra excursión
a través del campo electromagnético
no seguiremos
razonamientos laboriosos ni seguiremos senderos difíciles. A pesar de ello, podremos disfrutar
del placer de un hermoso panorama de un universo, múltiplemente configurado de imágenes
representativas de modelos perfeccionados de la electrofísica. Hoy, casi un siglo después de la
aparición del primer escrito de Einstein sobre la Electrodinámica de los cuerpos en
movimiento, pueden hacerse asequibles las ideas fundamentales de la teoría de la relatividad
como prosecución consecuente de las de Newton.
El recurso de las ecuaciones, que tanto valor tienen en la búsqueda de la solución de un
problema físico, por su automatismo, la economía de esfuerzo intelectual y el grado de
generalización que con ellas se consigue, puede, a veces, perjudicar la claridad de las
explicaciones; ya que el desarrollo de los cálculos viene generalmente determinado por
consideraciones de orden matemático.
Por otra parte, la claridad de una explicación exige a la vez un máximo de simplicidad y
un estrecho contacto con las realidades concretas, y ello impone un examen de los casos
particulares significativos y una selección y simplificación convenientes de las experiencias.
Mientras resulte posible ilustrar las ideas mediante imágenes cuidadosamente escogidas, o con
esquemas apropiados, nada justifica una complacencia en generalidades abstractas o en
detalles técnicos. Pero, debemos evitar la tentación de aceptar como dado e inmediato el fruto
de varios siglos de observación, de experimentación y de invención científica.
Al plantearnos unas nociones aparentemente sencillas, se descubre que ninguna de ellas
es realmente simple. Felizmente se descubre, después de cierta reflexión, que la mayoría de
dificultades desaparecen cuando se sitúa correctamente cada noción en la estructura
intelectual, muy coherente, de la que forma parte.
1.1. Fuentes del Campo Electromagnético
Para lograr establecer una formulación sistemática de un modelo electrodinámico, que
sirva como fundamento físico-matemático de la teoría electromagnética, es conveniente
considerar a la “carga eléctrica” como una característica básica y con un concepto no
expresable, ni derivable en términos de otros parámetros físicos.
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La carga eléctrica constituye uno de los parámetros en función de los cuales podemos
definir la materia, (Q, M, L y T). Entendemos por materia a todo aquello que en la naturaleza
es dotado de masa ponderal y de inercia, y que no puede ser creado ni destruido. Bajo esta
consideración, un cuerpo material representa la integración de un conjunto de partículas que
ocupan una región en el espacio temporal en el vacío. Siendo así la carga eléctrica una
característica esencial de las partículas constitutivas de la materia. En consecuencia, el
problema primordial de la electrodinámica consiste en encontrar un modelo matemático que
incluya el efecto de ese fabuloso número de partículas cargadas de electricidad, que
constituyen los cuerpos materiales. Modelos a partir de los cuales las cantidades asociadas con
las observaciones y mediciones de fenómenos eléctricos puedan ser adecuadamente
determinadas. Lo ideal sería que dichos modelos fueran razonablemente simples y
transparentes en su estructura matemática, y permitieran alcanzar un buen grado de exactitud
en las predicciones que con ellos se pudieran obtener. En estos modelos debemos incluir la
naturaleza de la carga eléctrica, bien sea positiva o negativa, al igual que la cantidad de carga
que debe ser asociada con una unidad en particular: electrones, protones, núcleos atómicos,
etc. Por consiguiente, para asegurar la aproximación deseada, es necesario construir un modelo
que incluya ciertas funciones continuas representativas de las densidades de cargas esenciales
o equivalentes, que puedan ser relacionadas con la estructura de los materiales. Para lograr una
definición macroscópica de la densidad de carga eléctrica podemos proceder de la siguiente
forma:
 n

 q j 
j 1

 R   lím 
V 0  V 




n

R    q j R  R j
(1.1a)

(1.1b)
j1
donde, (R) es la densidad volumétrica de carga eléctrica y (R - Rj), representa la
función de distribución conocida como la Delta de Dirac, la cual tiene las siguientes
características:
0, R  R j
 R  Rj  = 
, R  R j
9
Por consiguiente,

0, cuando R j no pertenecea V

R

R
dV
=

j


1, cuando R j sí pertenecea V


De esa forma obtenemos, y podemos justificar que,

n

 R dV   q j   R  R j dV
V
j1
V
n
 R dV  lím q j  Q
V
(1.1c)
j1
donde  es un volumenimperceptible que puede albergarmateria.
De cuerdo con la electrodinámica clásica el concepto de carga puntual nos llevaría a
establecer que el electrón o cualquiera otra partícula elemental tendría una energía propia
infinita y, por consiguiente una masa infinita. El hecho de que este resultado sea un absurdo
físico demuestra que la electrodinámica clásica nos aplicable a condiciones microscópicas, es
decir, cuando se pasa a distancias suficientemente pequeñas o imperceptibles. Se nos plantea la
pregunta, ¿ de cuál orden son estas distancias ? A esto se puede responder teniendo en cuenta
que para la energía electromagnética propia del electrón habría que obtener un valor del orden
de la energía de reposo mc2 . Por otra parte, si consideramos que el electrón tiene ciertas
dimensiones re, su energía potencial propia sería del orden e2/re. De acuerdo con la condición
que impone que estas dos magnitudes sean iguales e2/re  mc2 , hallamos el llamado “radio del
electrón”. No obstante, debe tenerse en cuenta que en realidad los límites de aplicación de la
electrodinámica clásica se encuentran bastante más altos a causa de los efectos cuánticos ,que
se hacen más sensibles a distancias del orden h/mc, donde h es la constante de Planck.
Debemos hacer notar que Q en la expresión (1.1c) es representativa de una carga
equivalente a la carga que observamos en la expresión operacional de la Ley de Coulomb, y la
cual constituye la causa natural de las características estacionarias del campo
electromagnético. De esta forma, podemos decir que la densidad esencial de la carga eléctrica
definida por la expresión (1.1a) representa la fuente de interacción electromagnética en
condiciones estacionarias, también conocido como el campo electrostático. La ley de
Coulomb, a pesar de estar basada en resultados experimentales, es un verdadero postulado. El
problema reside en cuán diminutas deben ser las cargas para ser consideradas cargas puntuales.
En la práctica un cuerpo cargado eléctricamente no puede tener volumen cero, y si así fuera las
mediciones experimentales nunca pudiesen alcanzar una exactitud lo suficientemente grande
(¿infinita?), como para poder probar que la fuerza de Coulomb es proporcional al inverso de la
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distancia al cuadrado en lugar de ser proporcional al inverso de la distancia elevada al
1.999999. Coulomb nunca pudo haber obtenido una exactitud de ese
orden al realizar sus ensayos. Por lo tanto, debemos considerar la Ley de Coulomb como una
ley natural, descubierta por su mentor y basada sobre mediciones experimentales de limitada
exactitud.
Inducción de cargas eléctricas
Ahora debemos incluir en nuestro modelo el parámetro representativo del movimiento
causa del efecto electrodinámico de las partículas eléctricamente cargadas. Esto lo hacemos
mediante la definición de la fuente electrodinámica, (R)v, donde v representa el promedio
estadístico de las velocidades de desplazamiento de las cargas eléctricas.
n
R v  
j1
qj
V
Obsérvese que,
Donde, Q =
S =
l =
t =
v
 Q l 
R  v  lím 
V ,t 0 V t 


(1.1d)
(1.1e)
carga neta encerrada en el recinto de volumen V.
área atravesada por la carga Q.
desplazamiento de la carga Q.
intervalo de tiempo durante el cual ocurre el desplazamiento de la
carga Q.
Considerando que S.l = V, por lo tanto, podemos escribir:
(R)v = J,
(1.1f)
Donde J representa la densidad volumétrica de corriente (A/m2).
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Al observar las expresiones resultantes de nuestro análisis, (1.1d) y (1.1e), como
consecuencia del postulado de conservación de la carga, debe existir una relación determinante
entre ellas. Por lo tanto, se puede concluir que para un recinto de volumen V, la variación
temporal de la densidad esencial de carga dentro de una región debe ser igual al flujo neto de
la densidad volumétrica de corriente que atraviesa su superficie. Es decir,

t
 R dV    J  dS
(1.1g)
Si (R) y J son funciones continuas en la región considerada,

 J  dS 
  lím 
V0
t
 V 
Este límite es igual a la divergencia de J, representada también por la forma
.J = div J, lo cual nos permite escribir,
 J 

 0,
t
(1.1h)
Este resultado se conoce generalmente como la Ecuación de Continuidad, que representa
el principio de conservación de la carga eléctrica, expresado en función de las densidades
esenciales,  y J, incluidas en nuestro modelo.
En el estudio macroscópico de fenómenos eléctricos, debemos recordar que físicamente
una carga puntual, puede en realidad contener en sí un número extraordinariamente grande de
electrones y de protones individuales. Así, por ejemplo, si surgiera la necesidad de determinar
la fuerza de interacción eléctrica entre dos estrellas tendríamos el derecho a considerarlas
cargas puntuales, a pesar de sus enormes dimensiones, ya que para la distancia colosal que
existe entre ellas, sus dimensiones y formas no deben influir sustancialmente sobre la fuerza de
interacción.
1.2 Ecuaciones descriptivas del Campo Electromagnético
Desde un punto de vista matemático, el espacio consiste en una región indefinida a la
cual, mediante un sistema de coordenadas, se le asignan números (ordenadas) a cada punto
para relacionarlos con una localización determinada. En ciertas regiones bien definidas por
esas coordenadas, los campos electromagnéticos, asociados con densidades esenciales de
cargas, pueden ser detectados físicamente por la interacción de las fuerzas ponderomotrices
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que actúan sobre cargas eléctricas ubicadas en diferentes puntos de esas regiones. La estructura
del campo la especificamos por medio de dos vectores fundamentales: E, que representa la
intensidad del campo eléctrico, y B que representa la inducción o densidad del flujo
magnético. Con la formulación matemática de estos vectores se define completamente el
campo electromagnético. Pero esta definición implica una caracterización numérica y
experimental de constantes fundamentales, y de sus adecuadas dimensiones. Estas constantes
son: la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del espacio libre, (0) y (0)
respectivamente.
En el modelo maxwelliano, el espacio y el tiempo representan formas del mundo real y
la carga eléctrica su substancia. Una cantidad de carga eléctrica determinada ocupa un lugar
específico en el espacio en un momento definido del tiempo.
1.2.1 Ley de Lorentz
F j  q j E  v  0 H; v  v  c2
(1.2.1a)
Esta fórmula representa la fuerza ejercida por un campo electromagnético (E, H) sobre
una carga q en movimiento con una velocidad v. Esta ecuación adquiere especial importancia
en el caso de representar q a una carga elemental, como es el caso de un electrón orbital.
Fuerza electromagnética
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1.2.2. Ecuaciones de Maxwell
E  
B
t
(1.2.2a)
  B  0 J t
(1.2.2b)
  D  l
(1.2.2c)
B  0
(1.2.2d)
Las expresiones (1.2b) a (1.2e) representan las Ecuaciones de Maxwell para puntos
ordinarios en una región del espacio temporal, donde los vectores representativos del campo
son funciones continuas y derivables para todo el espacio-tiempo señalado. Las
discontinuidades en estas funciones o en sus derivadas ocurren en fronteras matemáticas
asociadas con la interfaz entre dos medios, y que marcan un abrupto cambio en las propiedades
eléctricas de la materia.
Las funciones  y J representan las fuentes del campo, definidas por las expresiones
(1.1a) y (1.1e) respectivamente. l representa la densidad volumétrica de cargas libres, y Jt es
la densidad volumétrica total de corrientes, ésta incluye las corrientes de magnetización.
Es conveniente tener cierta información acerca de las ecuaciones de Maxwell en relación
con las leyes que ellas representan. Faraday descubrió experimentalmente que cuando el flujo
magnético a través de un circuito es alterado por una causa cualquiera, se induce un voltaje
(fuerza electromotriz) en el circuito igual a la razón negativa del cambio con respecto al
tiempo del flujo magnético a través del circuito, es decir:
Vind  
d m
dt
(1.2.2e)
donde,
 m   B  dS
(1.2.2f)
Pero el voltaje a lo largo de un circuito es igual a la circulación de la intensidad del
campo eléctrico a lo largo del contorno, es decir:
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Vind   E  dl
(1.2.2g)
C
El Teorema de Stokes nos señala que la expresión (1.2f) representa el equivalente de la
forma integral de la ecuación (1.2b). Por consiguiente:
 E  dl     E   dS  
C
S
d m
 Vind
dt
(1.2.2h)
Campo magnçetico de una espira
Es de hacer notar que la inducción es una propiedad del campo, y la ley de inducción de
Faraday se aplica igualmente a cualquier circuito imaginario trazado en el espacio exterior o en
cualquier medio físico, no sólo a espiras conductoras, ya sean que estén o no en movimiento.
También podemos observar que la ley de Gauss, que representa una ecuación de
Maxwell (1.2d), se fundamenta en la ley de Coulomb, la cual nos permite definir la intensidad
del campo electrostático como la fuerza de Coulomb por unidad de carga eléctrica, es decir:
E
1

l R 2 dV

40
R
(1.2.2i)
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La intensidad del campo eléctrico E depende de las propiedades eléctricas del medio en
el cual se encuentran las cargas. Pero se puede definir un vector, llamado desplazamiento
eléctrico D, el cual para un medio lineal, homogéneo e isótropo podemos representar mediante
la siguiente expresión:
D  E
(1.2.2j)
De esta forma, el desplazamiento eléctrico estará representado por la expresión
siguiente:
D
1

l R 2 dV

4
R
(1.2.2k)
Si integramos esta expresión sobre la superficie que encierra la región que contiene la
carga, se obtiene:
 D  dS  
E
(1.2.2l)
Donde, E representa el flujo del vector D a través de la superficie que encierra la región
donde existe la carga. Es decir, este flujo representa la carga neta encerrada por dicha
superficie. Por lo tanto la ecuación de Maxwell representada por la expresión (1.2.1d), no es
otra cosa sino la ley de Gauss en su forma diferencial.
La ley de Biot-Savart es otra de las leyes experimentales sobre la cual se fundamenta el
modelo Maxwelliano. Jean Batiste Biot y Félix Savart intentaron explicar mediante valores
numéricos los hechos observados por Hans Christian Oersted. Sus mediciones pusieron de
manifiesto que la intensidad del campo magnético que rodea un conductor, a través del cual
fluye corriente eléctrica, es directamente proporcional a la intensidad de ésta. Al escribir la ley
de Biot-Savart en forma integral, podemos observar:
B
0 J  lR
dV
4  R 2
(1.2.2m)
Tomando el rotacional de la expresión (1.2.2m) y haciendo uso del desarrollo vectorial
de x(J/R), obtenemos:
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 
J 
  B     0     dV 
R 
 4
(1.2.2n)
ya que x J = 0, bajo las condiciones existentes para esta fuente localizada
B  

0 
  J 
2 J 
    dV     dV 
4 
R 
  R 
(1.2.2ñ)
El laplaciano de (1/R2) = 0, porque el grad(1/R) tiene divergencia nula.
4
B 
0

J
dS  0  Jd
2

4 R
4 0
  B  0 J
(1.2.2o)
Este resultado corresponde a la ley circuital de Ampère en su forma diferencial. Por
último, podemos señalar que la expresión (1.2.2jn nos justifica la representación de la ley de
Gauss magnética (1.2e), o ecuación de Maxwell representativa de la divergencia de B, ya que
la divergencia de un rotacional es siempre igual a cero: (.B) = .(xA) = 0. Esta ecuación se
puede interpretar como el resultado de la observación de que todos los campos magnéticos B
tienen como representación líneas de campo continuas. No hay polos o cargas magnéticas
libres. La ley de Biot-Savart (1.22m) deducida de experiencias con corrientes estacionarias,
implica que .B = 0, ya que solamente a causa de esto está implícito en la expresión (1.22i)
que las líneas de B son cerradas en torno a las corrientes. Por lo tanto no es sorprendente esta
conclusión. En consecuencia, la ley de Biot-Savart así expresada, no excluye otros tipos de
fuentes para el campo magnético, tales como las corrientes de desplazamiento y las corrientes
de magnetización.
Es de hacer notar que la ley de Biot-Savart presenta implícitamente toda la información
contenida en la ley cicuital de Ampére, y si la corriente está confinada a un pequeño cicuito,
para obtener el rotacional de B a partir de la expresión (1.2.2m) se establece que la divergencia
de J debe ser igual a cero, basado en las características de una corriente continua, para la cual
la corriente de desplazamiento no existe. De esa forma, se llega a la obtención de la expresión
(1.2.2o), pero, si se utiliza la ley de continuidad, que nos indica que la divergencia de J es
igual a la variación temporal de la densidad volumétrica de carga, se obtiene la expresión
general de la ley circuital , ya que físicamente para tener un flujo de cargas eléctricas en un
circuito es necesario que en sus extremos deba existir una acumulación de cargas cuya
variación temporal haga posible la existencia de dicho flujo, y para el caso de un circuito
17
cerrado, debe existir una fuente interna o externa que genere dicha corriente: una fuerza
electromotriz
Las ecuaciones de Maxwell junto con la ley de fuerza de Lorentz son leyes
fundamentales de la Teoría Electromagnética clásica. Son válidas para medios lineales y no
lineales, isótropos y anisótropos, homogéneos y no homogéneos, en el espectro de frecuencias
desde cero hasta las mas altas frecuencias. Sin embargo son leyes macroscópicas que
relacionan valores medios espacio-temporales de las magnitudes del campo. Como tales,
deben aplicarse a regiones o volúmenes cuyas dimensiones sean más grandes que las
dimensiones atómicas. Análogamente, los intervalos de tiempo de observación deben ser lo
suficientemente largos para permitir promediar las fluctuaciones que ocurren a nivel
microscópico.
1.2.3 Relaciones constitutivas
Las ecuaciones de Maxwell son expresiones indefinidas a menos que se conozcan las
llamadas relaciones constitutivas. Adjunto a las Ecuaciones de Maxwell, las relaciones
constitutivas representan la caracterización de las propiedades eléctricas de la materia, que
expresan la conexión física entre los vectores J y E, E y D, B y H, representativos de las
interacciones electromagnéticas. En vista de lo que, podemos escribir lo siguiente:
J  E
(1.2.3a)
D  E
(1.2.3b)
B  H
(1.2.3c)
donde tenemos que,
E = intensidad del campo eléctrico.
D = densidad del flujo eléctrico, también conocido generalmente como el
desplazamiento
eléctrico.
H = intensidad del campo magnético.
B = densidad del flujo magnético, también conocido como la inducción magnética.
 = conductividad eléctrica.
 = permitividad eléctrica.
 = permeabilidad magnética.
Desde el punto de vista macroscópico, el comportamiento electromagnético de los
materiales se especifica mediante las expresiones (1.2.3a) a (1.2.3c). Esas relaciones son
puntuales, en el caso general las propiedades eléctricas y magnéticas de los materiales no son
constantes, sino que dependen tanto de E como de H. En 1888, Roentgen descubrió que un
dieléctrico al moverse en presencia de un campo eléctrico resultaba magnetizado.
18
En 1905, Wilson demostró que un material dieléctrico al moverse en presencia de un
campo magnético uniforme resultaba eléctricamente polarizado. Para 1948, Tellegen, al
introducir el girador, como un nuevo elemento circuital, consideró que un material podía tener
simultáneamente dipolos eléctricos y magnéticos, lo cual sugiere, que en las relaciones
constitutivas D y B deben ser representada como funciones de E y de H, y así tener, de manera
explícita, representadas, en las relaciones constitutivas, las características magnetoeléctricas de
los materiales. También, trabajos experimentales han demostrado que la conductividad de los
materiales, en general, depende de la intensidad del campo eléctrico, es decir, no siempre
representa una constante de proporcionalidad entre E y J (ley de Ohm).
1.2.4. Potenciales Electromagnéticos
Los potenciales electromagnéticos son funciones representativas de cantidades físicas
básicas, relacionadas con la energía de interacción generadas por las cargas eléctricas. La
teoría de potencial puede ser vinculada, también, con la teoría de cierto tipo de ecuaciones
diferenciales, como por ejemplo la ecuación de ondas (ecuación hiperbólica temporalmente
simétrica), cuyas soluciones simplifican el cálculo de los campos electromagnéticos.
Conocidas las fuentes del campo electromagnético ( y J) y su ubicación en el espacio
temporal, podemos determinar dos tipos de potenciales:
q
(q,r) = ke   , potencial escalar eléctrico,
r
(1.2.4a)
qv
A(J,r) = km   , potencial vectorial magnético,
 r 
(1.2.4b)
Las constantes de proporcionalidad k y k dependen del sistema de unidades utilizado. En
el sistema SI, ke = 1/40 y km = 0/4.Donde 0 y 0 representan la permitividad y a
permeabilidad del espacio libre (vacío) respectivamente.
Las leyes experimentales de Coulomb y de Biot-Savart, conjuntamente con las
definiciones de las densidades esenciales de las fuentes del campo, ( y J), nos permiten
escribir, de acuerdo a las definiciones introducidas por las expresiones (1.2.4a) y (1.2.4b), las
siguientes relaciones para (R) y para A(R):
R  
1 R 
dV
4 V R
(1.2.4c)
19
AR  
 JR 
dV
4 V R
(1.2.4d)
Donde,  y , representan la permitividad y la permeabilidad del medio, cuya relación
proporcional con los efectos electromagnéticos producidos por las fuentes ( y J) fueron
comprobada experimentalmente, como se puede inferir de las leyes de Coulomb y de BiotSavart.
La ley de Coulomb expresada en función del campo eléctrico nos permite escribir:
ER  
1

l R 2 dV

4 V R
(1.2.4e)
Al comparar este resultado con la expresión (1.2.4c) obtenemos que,
ER    gra dR 
(1.2.4f)
Este resultado equivale a la ecuación de Maxwel, (1.2b), en condiciones estacionarias,
(-Bt = 0), es decir,  x E = 0.
De manera análoga, si consideramos la ley de Biot-Savart expresada en la siguiente
forma:
BR  
 J  lR
dV
4 V R 2
(1.2.4g)
Al comparar las expresiones (1.2.4d) y (1.2.4g), obtenemos como resultado:
B  Rot A   A
(1.2.4h)
Sustituyendo este resultado en la ecuación de Maxwell dada esta expresión (1.2b),
obtenemos:
20
A

E 
  0  C
t 

(1.2.4i)
Sabiendo, que cuando el rotacional de un vector es igual a cero, dicho vector puede ser
obtenido a partir del gradiente de una función escalar, por lo tanto el vector C, en la igualdad
expresada por (1.2p) puede ser representado en la siguiente forma: C = grad (). Si 
representa el valor negativo del potencial escalar eléctrico, [ = -], su gradiente sólo
representaría la parte del campo debido a la existencia de la carga eléctrica en condiciones
estacionarias (campo irrotacional), la parte dinámica estaría representada por el término
(At) de la expresión (1.2.4i).
Si consideramos que un campo vectorial que sea continuo, junto con sus derivadas, en
una región simplemente conexa, puede ser disgregado en dos porciones, una irrotacional y la
otra solenoidal (Teorema de Hemholtz), de acuerdo con el resultado del análisis hecho a partir
de la expresión (1.2.4i), podemos obtener una definición operacional para la intensidad del
campo eléctrico, en función de los potenciales electromagnético, definidos por las expresiones
(1.2.4c) y (1.2.4d), la cual representamos de la siguiente forma:
E R    gra d R  
A
t
(1.2.4j)
Los potenciales  y A deben satisfacer la condición de radiación:


lím {R[(  )/R + j(  )]} = 0
R
A
A
(1.2.4k)
Esta condición se asocia usualmente con la condición de regularidad en el infinito que
deben satisfacer los potenciales:

lím R  }; debe ser finito.
R  A
(1.2.4l)
Las expresiones 1.2b – 1.2e, las ecuaciones de Maxwell, están formuladas como funciones
vectoriales y representadas mediante divergencias y rotacionales de los vectores
representativos del campo electromagnético ( E, H, D y B)..
Se puede aplicar el teorema de la divergencia a una clase determinada de funciones
vectoriales y obtener expresiones especiales conocidas como las identidades de Green.
21
Supóngase que F es un Campo vectorial igual a un campo escalar f multiplicado por otro
campo vectorial igual a grad(g). Entonces, podemos escribir:
 . f  g dV    f  g . dS
V
(1.2.4m)
S
Suponiendo que las funciones están bien establecidas dentro y sobre el volumen V, podemos
desarrollar el integrando del integral de volumen. En esa forma obtenemos la primera
identidad integral de Green.
  f 
2

g   f 
.  g  dV    f  g . dS
(1.2.4n)
S
Si definimos una función vectorial G = g grad(f), el mismo procedimiento nos permite obtener
una expresión similar, donde las funciones f y g estás intercambiadas.
 g 
2

f   g 
.  f  dV   g f . dS
(1.2.4ñ)
S
Restando la expresión (1.2w) de la expresión (1.2u) obtenemos la segunda identidad de Green,
que también se conoce como el teorema simétrico de Green.
  f 
2

g  g  2 f dV    f  g  g  f . dS
(1.2.4o)
S
Estas identidades de Green son importantes en las aplicaciones a teoremas de problemas
de valor límite en la teoría del campo electromagnético, al igual que a teoremas especiales
relativos a las propiedades integrales de funciones escalares y vectoriales . Uno de esos
teoremas se refiere a las propiedades diferenciales de un campo vectorial para que sea único.
Si se supone que tanto la divergencia como el rotacional de un campo F bien establecido
están especificados en una región de volumen V, al igual que la componente normal de F en la
superficie que limita dicho volumen, entonces, se pueden utilizar los teoremas de Green para
demostrar que esas especificaciones son suficientes para que F sea una función única.
Consideremos que existe otra función G que tiene exactamenete la misma divergencia y
rotacional que F- Entonces. C = F – G, debe satisfacer las siguientes condiciones:
22
.C  0


xC  0 
C.1n S  0 
(1.2.4p)
Por consiguiente, C puede ser representada como el gradiente de una función escalar ψ, y
haciendo uso de la expresión (1.2.4n), para f = g = ψ, y en vistas de las condiciones
establecidas en (1.2.4ñ), obtenemos que  2   0 , lo que implica que F es una función única.
Esta demostración indica que para hacer única una función vectorial basta con especificar
su divergencia y su rotacional en una región de volumen V, junto con una determinada
condición de límite en la superficie de la región. Las ecuaciones de Maxwell expresadas en
función de las divergencias y rotacionales de los vectores representativos del campo, junto con
las apropiadas condiciones en las fronteras, nos permiten obtener soluciones únicas para el
campo electromagnético
23