1Bach_Letras_ PROBABILIDAD.

I.E.S. Guanarteme
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales
Curso 2.009- 2.010
1ºF de Bachillerato
BLOQUE TEMÁTICO I: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
TEMA : CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
1.- EXPERIMENTOS
Llamaremos experimento a cualquier actividad o investigación que de lugar a uno o varios
resultados.
A los experimentos que se caracterizan porque al repetirlos bajo análogas condiciones se
obtiene siempre el mismo resultado, los llamamos experimentos deterministas.
Por el contrario, llamaremos experimentos aleatorios a los que se caracterizan porque al
repetirlos en análogas condiciones jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener.
Ejemplo 1: Los siguientes experimentos, ¿son aleatorios o deterministas.?
a) Extraer una carta de una baraja española.
b) Lanzar una moneda sobre el suelo y anotar el resultado de la cara que aparece.
c) Medir la longitud de una circunferencia de radio 5 m.
d) Quitar el freno de mano de un coche, en una cuesta abajo muy pronunciada.
e) Lanzar un dado de quinielas (en cuyas caras están escritos los símbolos 1, X, 2) y anotar el
símbolo que aparece en la cara superior.
f) Abrir las compuertas de un estanque lleno de agua.
2.- ESPACIO MUESTRAL
Llamaremos espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento. Lo designaremos por E.
Cada uno de los elementos que forman el espacio muestral se llama punto muestral o
suceso elemental.
Ejemplo 1: El espacio muestral asociado al experimento de lanzar una moneda y anotar el
resultado de la cara superior es:
E = C, X
Ejemplo 2: El espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos monedas y anotar el
resultado de las caras superiores es:
E = CC, CX, XC, XX
Ejemplo 3: El espacio muestral asociado al experimento que consiste en el lanzamiento de un
dado, en cuyas caras están escritos los números del 1 al 6, y anotar los resultados obtenidos en
las caras superiores, es:
E = 1, 2, 3, 4, 5,6
Ejercicio 1: Halla el espacio muestral asociado al experimento que consiste en el lanzamiento de
dos dados de distinto color, en cuyas caras están escritos los números del 1 al 6, y anotar los
resultados obtenidos en las caras superiores, es:
E=
3.- SUCESO ALEATORIO
Acabamos de ver que el espacio muestral asociado al experimento que consiste en el
lanzamiento de un dado, en cuyas caras están escritos los números del 1 al 6 es:
Tema: Cálculo de probabilidades
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E = 1, 2, 3, 4, 5,6
Consideremos ahora algunos subconjuntos de E; por ejemplo:
Salir par :
A =  2, 4,6
Salir impar:
B =  1, 3, 5
Salir múltiplo de 3:
C =  3, 6
Salir múltiplo de 5:
D =  5
Salir número primo:
F =  2, 3,5
A todos estos subconjuntos de E se les llama sucesos.
Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio
muestral E.
El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de
sucesos y se designa por S.
4.- VERIFICACIÓN DE UN SUCESO
Diremos que un suceso A se verifica, se realiza o se presenta, si al efectuar una prueba del
experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que componen el
suceso A.
Volvamos al espacio muestral asociado al experimento que consiste en el lanzamiento de un
dado, en cuyas caras están escritos los números del 1 al 6, y que es:
E = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sea A el suceso salir impar. Decimos que el suceso A se verifica, se realiza
o se presenta, si al efectuar el experimento obtenemos como resultado el 1, el 3, o el 5. Por el
contrario, si se obtiene el 2, el 4, o el 6, diremos que el suceso A no se verifica.
5.- DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS
Sucesos elementales
Se llama sucesos elementales a los sucesos formados por un solo punto muestral; es decir,
por un solo resultado del experimento aleatorio.
Sucesos compuestos
Se llama sucesos compuestos a los sucesos formados por dos o más puntos muestrales; es
decir, por más de un resultado del experimento aleatorio.
Suceso cierto
Se llama suceso cierto, o suceso seguro, al que siempre se realiza. Es decir, coincide con el
espacio muestral E.
Suceso imposible
Se llama suceso imposible, y se designa por , a un suceso que no se realiza nunca.
Ejemplo: En el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado, en cuyas caras están
escritos los números del 1 al 6, se tiene que:
Son sucesos elementales: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Algunos sucesos compuestos son: A =  2, 4,6; B =  1, 3, 5; C =  3, 6; F =  2, 3,5;
E = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
El suceso seguro es: E = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
El suceso imposible es: .
6.- SUCESOS CONTRARIOS
Consideremos nuevamente el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado, E = 1, 2, 3,
4, 5, 6, y los siguientes sucesos:
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A = “salir número impar” =  1, 3, 5
A = “salir número par” =  2, 4, 6
Los sucesos A yA son contrarios, ya que si se realiza A no se realiza A, y si se realiza A
no se realiza A.
Dado un suceso cualquiera del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario del suceso A
(y se designa por A ) a un suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente.
El sucesoA está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A .
Obsérvese que se verifica:
1º.- El suceso contrario del suceso seguro es el suceso imposible, es decir: E = .
2º.- El suceso contrario del suceso imposible es el suceso seguro, es decir:  = E.
7.- OPERACIONES CON SUCESOS
Unión de sucesos
Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de A y
B, y se denota A B, al suceso que se realiza cuando se realiza A o B, es decir, al suceso
formado por los sucesos elementales de A y los de B.
Intersección de sucesos. Sucesos incompatibles
Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección
de A y B, y se denota A  B, al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente los
sucesos A y B, es decir, al suceso formado por los sucesos elementales comunes de A y de B.
Cuando es imposible que dos sucesos se realicen simultáneamente se dice que dichos sucesos
son incompatibles, es decir, dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se
tiene que:
Si A  B = , entonces A y B son incompatibles.
Si A  B  , entonces A y B son compatibles
Obsérvese que un suceso y su contrario son incompatibles.
Ejemplo: Consideremos nuevamente el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado, E
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, y los siguientes sucesos:
A = “salir número impar” =  1, 3, 5
B = “salir número primo” =  2, 3, 5
C= “salir múltiplo de 2” =  2, 4
Formemos el suceso D, “salir número impar o primo”, el cual es: D = A  B =  1, 2, 3, 5, y se
llama suceso unión de A y B.
Formemos el suceso F, “salir número impar y primo”, el cual es: F = A  B =  3, 5, y se llama
suceso intersección de A y B.
Como A  C = , entonces A y C son incompatibles.
Como B  C  , pues B  C=  2, entonces B y C son compatibles.
8.- ÁLGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS
Consideremos un experimento aleatorio cualquiera, y sean E su espacio muestral y S el
espacio de sucesos asociado. En S se definen las operaciones de unión, intersección y
complementación (contrario), de modo que cumplan las siguientes propiedades:
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UNIÓN
1.Asociativa
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INTERSECCIÓN
A
2.Conmutativa
3.Idempotente
4.Simpllificativa
5.Distributiva
6. Todo suceso A del espacio de sucesos S tiene otro que llamamos
contrario de A, y representamos por A, que verifica: A A=E y A A=
9.- SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Se dice que los sucesos A 1 , A 2 , ..., A n constituyen un sistema completo de sucesos para un
determinado experimento aleatorio, si se verifica:
1º.- A 1  A 2  ... A n = E. (  A i = E).
2º.- A 1 , A 2 , ..., A n son incompatibles dos a dos.(A i  A j = ,  i  j)
Ejemplo: En el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado, cuyo espacio muestral
es E = 1, 2, 3, 4, 5, 6, consideremos los siguientes sucesos:
A = 1, 2, 6;
B =  3, 4;
C =  5
¿Forman A, B, y C un sistema completo de sucesos? Sí, porque:
1º.- A B C= E.
2º.- A, B y C son incompatibles dos a dos, pues A  B = , A  C = , y B  C= .
10.- PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACE. (DEFINICIÓN CLÁSICA)
La primera definición que se conoce del concepto de probabilidad fue enunciada por Pierre
Simon Laplace (1.749- 1.827).
La definición de Laplace dice así:
“La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso
y el número de casos posibles”.
Si indicamos la probabilidad del suceso A por p(A), esta definición se puede expresar así:
núm erode casos favorablesal suceso A
p(A) =
núm erode casos posibles
9.- DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD
10.- PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
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11.- PROBABILIDAD CONDICIONADA
12.- SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
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13.- PROBABILIDAD COMPUESTA O DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS.
14.- TABLAS DE CONTINGENCIA
15.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea A 1 , A 2 , ..., A n un sistema completo de sucesos (  A i = E y A i  A j = ,  i  j). Se
tiene entonces que la probabilidad del suceso B viene dada por la siguiente expresión:
p(B) = p(A 1 )· p(B/A 1 ) + p(A 2 )· p(B/A 2 ) +........+ p(A n )· p(B/A n )
(es decir, p(B) =  p(A i )· p(B/A i ) )
16.- TEOREMA DE BAYES
Sea A 1 , A 2 , ..., A n un sistema completo de sucesos. Se tiene entonces que:
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