3. Conceptos Generales

3. Conceptos Generales
Después de conocer un poco de la historia del desarrollo de la Teoría de las Probabilidades y de saber la
utilidad que tienen las reglas de conteo en el cálculo del número total de resultados de diversos experimentos,
debemos aprender ahora a construir y a relacionar esos resultados posibles a los experimentos que se realizan.
Para ello definiremos algunos conceptos como son: experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos
simples, etc y veremos un pequeño repaso de la teoría de conjuntos, la cual es básica para el trabajo con las
probabilidades.
3.1 Experimentos aleatorios y espacio muestral.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc.,
sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si tiramos
un dado sobre una mesa, ignoramos qué laso quedará arriba. El resultado dependerá del azar. Cuando los
resultados de un experimento dependan del azar, los llamaremos experiencia aleatoria o experimentos
aleatorios.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los
que pueden dar lugar a varios resultados, sin que
pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de
éstos va a ser observado en la realización del
experimento.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes,
número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son
suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. Estos
sucesos se conocen con el nombre de eventos.
Suceso aleatorio o evento es un
acontecimiento que ocurrirá o no,
dependiendo del azar.
A la colección de todos los resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio
muestral o espacio de muestreo.
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Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo
designaremos por S.
Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas,
extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,...
Ejercicio 1: Describa el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a.
b.
c.
d.
Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Solución:
a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de sello, tendremos el siguiente espacio muestral:
S = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
b. S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
S = {BB,BN,NN}
d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente
espacio muestral:
S = {LLL, LLN, LNL, NLL, LNN, NLN, NNL, NNN}
3.2. Eventos y operaciones con eventos.
En los ejercicios anteriores vimos que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados, anotando la
suma de los puntos obtenidos era:
S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos resultados pueden caracterizarse o separarse si se imponen unas condiciones especiales. Por
ejemplo, podríamos hablar del resultado en donde la suma es par, impar, primo, etc.
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Cada uno de estos conjuntos sería un evento asociado al experimento de lanzar tres dados y anotar la suma de
los puntos obtenidos. Estos conjuntos, serán a su vez subconjuntos del espacio de muestreo S.
Consideremos algunos subconjuntos de S, por ejemplo:
A = Salir múltiplo de 5
C = Salir número primo
D = Salir mayor o igual que 12
A = {5,10,15}
C = {2,3,5,7,11,13,17}
D = {12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral S los llamamos sucesos o eventos. Cada uno de los
elementos pertenecientes a un espacio de muestreo o a un evento se llamará evento simple.
Al evento S se le llama evento seguro y al vacío se le llama evento imposible, por ejemplo, sería imposible
al lanzar tres dados, el que se obtuviera una suma de los puntos que muestra su cara superior igual a 2.
Ejercicio 2:
Considere el sexo de los hijos de familias que tienen tres hijos. Sea A el evento A = El hijo mayor es un niña,
y B el suceso B = Los dos hijos menores son niños
¿Cuántas opciones distintas existirán para la conformación de esta familia?
¿Qué regla de conteo utilizarías para saber los eventos totales de este experimento?
¿Cómo están formados los conjuntos S, A y B?
Solución:
Existe 8 eventos distintos, los cuales pueden hallarse fácilmente si utilizas la regla multiplicativa:
Llamando V a ser niño y H a ser niña
Número de Opciones
Primer Hijo
H
V
2
Segundo Hijo
H
V
2
Número total de opciones: 2 x 2 x 2 = 23 = 8
El espacio muestral estará formado por los siguientes eventos simples:
S = {VVV, VVH, VHV, HVV, VHH, HVH, HHV, HHH}
Y los eventos A y B estarán formados por los siguientes eventos simples:
A = {HHH, HHV, HVH, HVV}
B = {VVV , HVV}
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Tercer Hijo
H
V
2
3.3. Operaciones con eventos.
Dados dos eventos, A y B, se llaman:
Unión
es el evento formado por todos los
elementos de A y todos los elementos de B.
Sin repetir elementos.
Intersección
es el evento formado por todos los
elementos que son, a la vez, de A y de B. O
sea, sólo los elementos que se repiten.
Diferencia
es el evento formado por todos los
elementos de A que no son de B.
Evento
Complementario
El evento Ac se llama evento complementario
de A. Y se cumple que Ac =S – A
Eventos
Mutuamente
Excluyentes
Dos eventos A y B, se llaman mutuamente
excluyentes, cuando no tienen ningún
elemento en común. Es decir, cuando
= Φ.
También se le llaman eventos disjuntos.
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3.4. Ejercicios con Eventos.
Aplique en los siguientes ejercicios lo visto anteriormente. Siempre que pueda usar una regla de conteo para
calcular el espacio muestral de un experimento, hágalo y especifique cuál de ellas utilizó:
1.Se lanzan 2 dados y se observa la cara superior de cada uno de ellos. Especifique los elementos del espacio
muestral y de los siguientes eventos:
A : La suma de los puntos es igual a 9
B : Uno de los dados muestra 4 puntos 
C : La suma de los puntos es menor que 6 
Determine A  B, A  B, A  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C, Ac, Bc, Ac Bc , (Ac Bc)c.
2. Dos jugadores Pedro y Miguel, juegan al baloncesto tres partidos. Suponiendo que no hay empates, escriba
los posibles resultados de los tres partidos en cuanto al ganador y perdedor de cada una. ¿En cuántas
ocasiones Pedro gana por lo menos dos partidos?
3. Un árbol sirve de puente para cruzar un arroyo. Un tigrillo, una guagua y un campesino acostumbran pasar el
puente una sola vez cada noche. El tigrillo llega y espera que pase el puente alguna presa. Si llega la guagua,
el tigrillo se la come y se va. Si llega el campesino cuando el tigrillo espera, éste huye. Describa el espacio
muestral. ¿En cuántas ocasiones de las anteriores se salva la guagua?
4. Las caras de un dado con 1, 2 y 3 puntos se pintan de rojo, aunque los números pueden seguirse viendo. Si
se lanza el dado, ¿De cuántas formas puede obtenerse una cara roja o un número par?
5. Una urna contiene 6 pelotas blancas, 4 rojas y 5 azules. Se extraen dos pelotas al azar, sin reemplazo y una
después de la otra. Indique todas las opciones posibles para este experimento.
6. Una familia planea tener cuatro hijos, cuáles serían todas las posibles opciones para el nacimiento de sus
hijos en cuanto al sexo se refiere?
7. Se lanzan dos monedas y un dado al mismo tiempo, enumere el espacio de muestreo para este experimento.
8. Suponga que se lanzan 4 monedas, halle los siguientes eventos:
A : Caen al menos dos caras
B : Caen exactamente dos caras 
C : Salen mínimo 3 sellos 
Determine A  B, A  B, A  C, A  B  C, A  B  C, A  B  C, Ac, Bc, Ac Bc , (Ac Bc)c.
9. Sugiera un ejercicio en donde se realice un experimento, construyendo el espacio de muestreo y
proponiendo eventos sobre este experimento. El ejercicio debe estar relacionado con su carrera. Sea lo más
creativo posible.
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