TEMA 4: EXPERIMENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD

1º RR.LL. ESTADÍSTICA. TEMA 4
TEMA 4: EXPERIMENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD
1. Experimento aleatorio. Espacio muestral asociado.
1.1. Concepto de experimento aleatorio.
Definición: Un fenómeno o experiencia se dice aleatorio cuando al repetirlo en
condiciones análogas no se puede predecir el resultado.
Si por el contrario, se puede predecir el resultado de una experiencia aún antes de realizarla,
se dice que el experimento es determinista.
Son fenómenos aleatorios:
- Extracción de una carta de la baraja.
- Lanzamiento de un dado.
- Respuestas a una encuesta.
1.2. Espacio muestral. Suceso elemental.
Definición: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama
espacio muestral.
Ejemplo: El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar una moneda al aire
tres veces es:
E   c, c, c  ,  c, c, x  ,  c, x, c  ,  x, c, c  ,  x, x, c  ,  x, c, x  , c, x, x  ,  x, x, x 
Cada elemento del espacio muestral E se llama suceso elemental.
1.3. Sucesos. Tipos de sucesos.
Definición: Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Se llama suceso a todo
subconjunto del espacio muestral E.
Un suceso puede determinarse por extensión (enumerando los elementos) o dando una
propiedad que se verifica por, y sólo por, los elementos de dicho subconjunto.
Diremos que un suceso A se verifica cuando al realizar el experimento se obtiene como
resultado uno de los sucesos elementales de A.
El conjunto formado por todos los sucesos del espacio muestral se llama espacio de
sucesos (S). Es decir, el espacio de sucesos está formado por todos los subconjuntos del
espacio muestral.
Ejemplo: Si la experiencia aleatoria es lanzar una moneda:
E  c, x y S  ,c ,x , c, x
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Los sucesos definidos por los conjuntos  y E se llaman suceso imposible y suceso
seguro respectivamente. El suceso imposible es aquel que nunca se realiza, y el suceso
seguro es el que se realiza siempre.
Dado un suceso A, se llama suceso contrario o complementario de A, y se representa por
A , al suceso que se realiza cuando no se realiza A y recíprocamente.
El suceso contrario de E es  y recíprocamente.
Un suceso A se dice que está contenido o inducido en otro B si siempre que se verifica A
se cumple también B. Se representa A  B .
1.4. Operaciones con sucesos.
Unión de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama unión de A y B, y se representa por
A  B , al suceso que se realiza cuando se realiza alguno de ellos, A o B.
Intersección de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama intersección A y B y se
representa por A  B , al suceso que se realiza si y sólo se realizan simultáneamente A y B.
Dos sucesos A y B cuya intersección es el suceso imposible se llaman sucesos
incompatibles. Obsérvese que un suceso y su contrario son siempre incompatibles.
Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama suceso diferencia de A y B, y se
representa por A \ B , al suceso A  B . O sea A \ B está formado por todos los sucesos
elementales de A que no están en B.
Propiedades de la unión e intersección de sucesos.
1. Asociativa: Unión  ( A  B ) C = A  ( B  C )
Intersección ( A  B ) C = A  ( B  C )
2. Conmutativa: Unión  A  B =B  A
Intersección  A  B =B  A
3. Idempotente: Unión A  A =A
Intersección A  A =A
4. Simplificativa:
A   B  A =A ; A  (B  A)=A
5. Distributiva: A  (B  C)=(A  B)  (A  C) ,
A  (B  C)=(A  B)  (A  C)
6. A  A =E ; A  A = 
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Consecuencias:
a) A   = A ; A   = 
b) A  E = A ; A  E = E
c) Leyes de Morgan: A  B  A  B ; A  B  A  B
2. Probabilidad
2.1. Definición de frecuencia
Se llama frecuencia absoluta de un suceso A al número de veces que se verifica A al
realizar el experimento un número determinado de veces.
Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre su frecuencia absoluta y el
número de veces que se realiza el experimento.
f r ( A) 
f a ( A)
n
, siendo n el número de veces que se repite el experimento.
Propiedades:
1) 0  fr ( A)  1
2)
fr  E   1
3) Si A  B =  entonces f r ( fr ( A  B)  f r ( A)  f r ( B)
2.2. Introducción al concepto de probabilidad como límite de frecuencias.
La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse hacia un número a medida que el
número de pruebas del experimento aleatorio crece indefinidamente.
Este número al que la frecuencia relativa se acerca a medida que es mayor el número de
pruebas realizadas, lo llamaremos probabilidad del suceso.
2.3. Definición axiomática de probabilidad. Axiomática de Kolmogorov.
Sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una probabilidad en E es
cualquier función P que asigna a cada suceso A un número real P(A) que cumple las
siguientes propiedades:
A1. 0  P( A)  1
A.2. P( E )  1
A.3. Si A y B son incompatibles ( A  B =  ), entonces: P( A  B)  P  A  P  B 
Estas tres condiciones reciben el nombre de axiomática de Kolmogorov.
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2.4. Propiedades de la probabilidad.
1. P(  ) = 0
2. P(A) = 1- P( A )
3. Si A y B son sucesos tales que A  B entonces P(A)  P(B)
4. P( A  B ) = P(A) + P(B) - P( A  B )
5. P( A \ B ) = P(A)-P( A  B )
2.5. Determinación de probabilidades.
Sea E  a1, a2 ,..., an  un espacio muestral, siendo a1 ,a2  ,...,an  los sucesos
elementales de E.
Una probabilidad sobre E queda totalmente determinada cuando se conocen las
probabilidades de cada uno de los sucesos elementales de E, cumpliendo las dos
condiciones siguientes:
- 0  P ai   1
- P a1  P a2  ...  P an   1
Así, de este modo, la probabilidad de un suceso A  a1, a2 ,..., ak  será:
P( A)  P a1  P a2  ...  P ak 
Lo que nos dice que la probabilidad de un suceso es igual a la suma de las probabilidades
de los sucesos elementales que lo forman.
Ejemplo: Supongamos un dado cargado de tal modo que las probabilidades de los sucesos
elementales del espacio muestral E  1, 2,3, 4,5,6 son P 1  0,1 , P 2  0,2 ,
P 3  0,2 , P 4  0,1 , P 5  0,15 , P 6  0, 25
Entonces la probabilidad del suceso A : “Obtener número par”= 2,4,6 es:
P( A)  P 2  P 4  P 6  0,2  0,1 0,25  0,55
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2.6. Sucesos equiprobables. Regla de Laplace.
Un caso particular y simple de probabilidad en un espacio muestral finito es aquel en el que
se puede suponer que cada suceso elemental tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Cuando esto ocurre se dice que los sucesos elementales son equiprobables.
En este caso, y sólo en este caso, podemos aplicar la llamada regla de Laplace para hallar
la probabilidad de un suceso:
“Sea un suceso A compuesto por sucesos elementales del espacio muestral E, entonces la
probabilidad de A viene dada por:
P( A) 
número de elementos de A número de casos favorables

número de elementos de E
número de casos posibles
Ejemplo: Si se lanza un dado perfecto, la perfección del dado nos induce a suponer que la
probabilidad de cada suceso elementales la misma. Como además la suma de estas
probabilidades ha de ser 1, se asigna a cada suceso elemental 1/6 de probabilidad.
En este caso, la probabilidad del suceso A:” Obtener número par” es:
P( A)  P 2, 4,6  3/ 6  0,5
Estas probabilidades que, como en este ejemplo, se asignan a los sucesos por
consideraciones teóricas, se llaman probabilidades a priori, y siempre que no exista alguna
razón para pensar que un suceso elemental puede aparecer más veces que otro,
admitiremos que todos ellos tienen la misma probabilidad.
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EJERCICIOS: TEMA 4. PROBABILIDAD
1. Una caja contiene cuatro bolas blancas y tres negras. Se extrae una bola de la caja.
Describir el espacio muestral.
a) Cuando las bolas del mismo color se distinguen porque están numeradas.
b) Cuando las bolas del mismo color no se distinguen porque no van numeradas.
2. Hallar el espacio muestral que resulta al sacar una bola de urna que contiene bolas rojas y verdes, y
escribir el espacio de sucesos S.
3. Sea el experimento que consiste en lanzar un dado y una moneda. Si A es el suceso que consiste en
que salga cruz en la moneda y B es el suceso de obtener 1 ó 2 en el dado, indicar el significado de los
siguientes sucesos:
a) A
b) B
c) A  B
d) A  B .
4. Sean A, B y C tres sucesos del espacio muestral E.Utilizando estos sucesos, expresa :
a) Ocurren los tres sucesos simultáneamente.
b) Ocurre A o B, pero no C.
c) Ocurre alguno de los tres sucesos.
d) Ninguno de los tres sucesos ocurre.
e) Ocurre A y C pero no B.
f) Se verifican al menos dos sucesos.
5. Sea una urna con 9 bolas numeradas del 1 al 9. Sacamos una bola, miramos el número y la
devolvemos. Sean los sucesos:
A=
B=
C=
salir número primo
salir número impar
salir número múltiplo de 3
Calcula los sucesos:
a) A∩B
b) B∩C
c) (A  B)∩C
d) A∩ B
e) B\C
f) A  B
6. Se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire dos dados y anotar los resultados. Se pide:
a) Espacio muestral
b) Elementos del suceso
c) Elementos del suceso
d) Elementos del suceso
obtener siete puntos
obtener ocho puntos
obtener al meno ocho puntos
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7. Se consideran dos sucesos A y B para los cuales se conocen sus probabilidades:
P(A)=a , P(B)=b , P(A∩B)=c.
Calcular en función de a, b y c las probabilidades siguientes:
a) P( A  B ) b) P( A  B ) c) P(A  B) d) P( A  B ) e) P( A ∩B) f) P( A  B)
8. Hallar la probabilidad de un suceso A sabiendo que la suma de su cuadrado y del cuadrado de la
probabilidad del suceso contrario es 5/9.
9. Dado E={1,2,3} , se considera la aplicación P : S →
definida por :
P({1})=P({2})=0,2 ; P({3})=0,8 ; P({1,2})=0,4 ; P({1,3})=0,8=P({2,3}) ; P(E)=1; P(  )=0
¿Es P una probabilidad?
10. En una urna hay seis bolas blancas, dos amarillas y cuatro verdes. Se extrae una bola al azar. Hallar
la probabilidad de que sea verde o amarilla.
11. Un experimento tiene tres resultados posibles e incompatibles entre si: A1 , A2 y A3 . Se sabe que
P( A1  A2 )=2/3 y P( A2  A3 )=5/6 . Hallar las probabilidades de A1, , A2 y A3 .
12. Se tiene cinco juguetes numerados del 1 al 5. Si se escogen al azar dos juguetes, ¿Cuál es la
probabilidad de que el número mayor sea 3?
13. Se lanzan dos dados. Se representan con x los valores del primer dado y con y los del segundo.
Consideremos los sucesos: A: x+y=9 ; B: x≥y
Hallar las probabilidades de los sucesos A  B y A∩B.
14. Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno ¿cuál es la probabilidad de que sea la misma?
15. Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno
de los discos haya sido guardado en el envoltorio que le corresponde?
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