Probabilidades. Experimentos aleatorios. Espacio muestral

Probabilidades. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. Laplace. Bayes. Total.
Experimentos aleatorios: Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que al repetirlos en análogas
condiciones, pueden dar lugar a varios resultados diferentes, sin que pueda ser previsible enunciar con
certeza cuál de estos se va a obtener en la realización del experimento. Como lanzar una moneda, sacar
una carta de la baraja, ganar la lotería, sacar una bola de una urna, etc.
Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno
aleatorio. Lo denotamos con la letra E. Lanzar un dado E={1,2,3,4,5,6}.
Ejemplo: El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
obtenidos es: E={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
Sucesos: Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral
.
Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio
utilizaremos letras mayúsculas. Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio
se le llama espacio de sucesos y se designa por S.
Ejemplo: En el ejemplo anterior, son subconjuntos de E:
Salir múltiplo de 5: E={5,10}.
Salir número primo: E={2,3,5,7,11}.
Salir mayor o igual que 10:
E={10,11,12}.
Tipos mas frecuentes de sucesos:
Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento.
Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por
dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los
resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por Ø.
Operaciones con sucesos
Inclusión e igualdad de sucesos: Un suceso A esta incluido (contenido) en otro suceso B si todo suceso
elemental de A pertenece también a B. Se representa por
. Dos sucesos A y B son iguales si están
formados por los mismos sucesos elementales. Se representa por A=B.
Unión de sucesos: Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso
unión de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A o B. Se representa por
. Cuando
es el suceso imposible, decimos que los sucesos A y B son incompatibles. Cuando no sucede esto,
decimos que A y B son compatibles.
Intersección de sucesos: Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos
suceso intersección de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A y B. Se representa por
.
Sucesos contrarios: Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los
mismos conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o
contrarios. Para un suceso cualquiera A de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso
A al suceso que se verifica cuando no se verifica A, y recíprocamente. Se representa por
.
Propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:
Algebra de Boole de sucesos
La unión y la intersección de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa, idempotente,
simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:
1
Probabilidades: definición y propiedades
Definición de Probabilidad Condicionada
Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo denotamos por P(B\A), si
P(A)≠0, al cociente
Ejemplo : Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados
haya salido un tres?
Sean los sucesos
A = "la suma de los puntos es siete" y
B = "en alguno de los dados ha salido un tres"
2
El suceso B\A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las
parejas (3,4) y (4,3). Por tanto,
Sucesos Independientes
Definición: Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos
no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:
o lo que es lo mismo:
Ejemplos
1. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española, sean
todas copas.
Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es:
donde Ci denota el suceso salir copas en la extracción número i.
2. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas
copas.
En este caso, los sucesos C1, C2 y C3 no son independientes.
Teorema de la probabilidad total.
Sean A1, A2, ....,An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera. Se tiene entonces:
S  ( A1  S )  ( A2  S )  .............  ( An  S ) , entonces
P(S )  P( A1  S )  P( A2  S )  ..........
..... P( An  S )  P( A1 ).P(S / A1 )  P( A2 ).P(S / A2 )  .......... P( An ).P(S / An )
Teorema de Bayes
Sean
sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea
un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales
Entonces las
probabilidades
vienen dadas por la expresión:
Por definición de probabilidad condicionada
despejando
, se tiene:
3
La probabilidad P(B), por el teorema de la probabilidad total, es igual a
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
Ejemplos
1. Tenemos tres urnas:
con tres bolas rojas y cinco negras,
con dos bolas rojas y una negra y
con
dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja,
¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
?
Llamamos al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es
Bayes, tenemos:
. Utilizando el teorema de
2. Observa la siguiente tabla que representa a los empleados de una empresa:
Hombres (H) Mujeres (M)
Fuman (F)
70
10
No fuman (no F)
30
90
Si hay que elegir a uno de ellos, la elección puede realizarse bajo distintos criterios:
a) Elección sin condiciones: P( H ) 
100 1

200 2
P( M ) 
100 1

200 2
b) Elección con condiciones:
70 7

80 8
10 1
P(M / a que sea fumadora)  P(M / F ) 

80 8
Estas probabilidades pueden obtenerse también de la forma siguiente:
70
10
P( H  F )
P( M  F )
7
1
P( H / F ) 
 200 
P( M / F ) 
 200 
80
80
P( F )
8
P( F )
8
200
200
P( H / a que sea fumador)  P( H / F ) 
3. Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras, la segunda 3 rojas y 1 negra y la
tercera 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una bola. Calcula la
probabilidad de que la bola extraída sea negra.
Teniendo en cuenta que hay tres caminos para llegar a la bola negra, podemos escribir:
1 1 1 1 1 2 1 1 2 6  3  8 17
P( N )  .  .  .    

3 2 3 4 3 3 6 12 9
36
36
4