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Índice
Introducción
15
I
Cinemática relativista
17
1. Transformación de Lorentz
19
1.1
Transformación de Lorentz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2
Matriz de Lorentz para movimientos en varias direcciones . . . . .
20
1.3
Las transformaciones de Lorentz en forma vectorial . . . . . . . . .
21
1.4
Transformación de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.5
Transformación de la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.6
Transformaciones de Lorentz sucesivas (I) . . . . . . . . . . . . . .
30
1.7
Transformaciones de Lorentz sucesivas (II) . . . . . . . . . . . . . .
32
1.8
Velocidad relativa entre dos sistemas inerciales de referencia . . . .
34
1.9
Velocidad relativa de dos sistemas en movimiento . . . . . . . . . .
36
1.10 Error en la velocidad relativa al usar las expresiones galileanas . .
37
1.11 Elemento de arco en el espacio de velocidades . . . . . . . . . . . .
38
1.12 Incrementos reiterados de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . .
38
43
2. Dilatación del tiempo
2.1
La Tierra alrededor del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
43
8
Problemas Resueltos de Relatividad
2.2
Apolo X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3
Muones en la atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.4
Piones en un acelerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.5
Situaciones variadas de tiempos de vida de partı́culas . . . . . . . .
47
3. Contracción de Lorentz
49
3.1
Contracción de un avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2
Contracción del diámetro terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.3
Contracción del uno por ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4. Espacio de Minkowski
53
4.1
Lı́nea de Universo de una partı́cula en movimiento rectilı́neo uniforme 53
4.2
Lı́nea de Universo de una partı́cula uniformemente acelerada . . .
55
4.3
Lı́nea de Universo de una partı́cula entre dos paredes . . . . . . . .
56
4.4
Lı́nea de Universo de un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.5
Relación entre sucesos en el espacio tiempo . . . . . . . . . . . . .
57
4.6
Diagrama de Minkowski de sucesos separados por un intervalo temporaloideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Diagrama de Minkowski de sucesos separados por un intervalo espacialoideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.7
5. El intervalo ∆s2
63
5.1
El intervalo y el tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.2
Sucesos simultáneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.3
Orden temporal de dos sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.4
Sucesos en un mismo punto del espacio . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.5
Separación espacial entre dos sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.6
Ejemplo numérico de transformación de x y t . . . . . . . . . . . .
67
9
Índice
6. Problemas variados
II
69
6.1
Estrella binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
6.2
Movimiento con aceleración constante (I) . . . . . . . . . . . . . .
71
6.3
Movimiento con aceleración constante (II) . . . . . . . . . . . . . .
72
6.4
Movimiento con aceleración constante (III) . . . . . . . . . . . . .
73
6.5
Tiempo propio de la partı́cula uniformemente acelerada . . . . . .
75
6.6
Invariancia de la ecuación del resorte ante las transformaciones de
Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
6.7
Invariancia de la ecuación de las ondas electromagnéticas (I) . . . .
78
6.8
Invariancia de la ecuación de las ondas electromagnéticas (II) . . .
79
6.9
Atravesando la Galaxia a v ≈ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Dinámica relativista
7. Leyes dinámicas
85
87
7.1
Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
7.2
Masas transversal y longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
7.3
Si la fuerza es nula la velocidad no cambia . . . . . . . . . . . . . .
89
7.4
Lı́mite no relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
7.5
Lı́mite ultrarrelativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
7.6
Dependencia del momento lineal relativista con la velocidad . . . .
93
7.7
Dependencia de la velocidad con el momento . . . . . . . . . . . .
95
7.8
Dependencia de la velocidad con la energı́a . . . . . . . . . . . . .
96
7.9
Velocidad de protones a distintas energı́as . . . . . . . . . . . . . .
97
7.10 Velocidad, momento y energı́a del fotón y de partı́culas masivas . .
99
7.11 Masa en términos del momento lineal y la energı́a cinética . . . . . 100
7.12 Energı́a cinética de un electrón en un átomo de Hidrógeno . . . . . 102
10
Problemas Resueltos de Relatividad
7.13 Pérdida de masa del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.14 Energı́a de las explosiones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.15 Defecto de masa del átomo de Hidrógeno
. . . . . . . . . . . . . . 104
7.16 Dos neutrones al encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.17 Ejemplo numérico de transformación de E y p . . . . . . . . . . . . 106
7.18 Correcciones a la energı́a de orden v 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.19 Energı́a necesaria para acelerar una partı́cula . . . . . . . . . . . . 109
8. Colisiones
111
8.1
Choque perfectamente inelástico (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2
Choque perfectamente inelástico (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3
Choque de una partı́cula con otra idéntica en reposo . . . . . . . . 113
8.4
Fotón que colisiona con un protón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.5
Imposibilidad de que un electrón aislado absorba o emita un fotón
8.6
Fotón absorbido por una partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.7
Nave espacial a vela propulsada por un láser desde la Tierra . . . . 118
8.8
Dispersión Compton estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.9
Incremento de masa de un núcleo por absorción de un cuanto γ . . 120
9. Vectores y tensores
116
123
Tritensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1
Ejercicios sencillos de tritensores (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2
Ejercicios sencillos de tritensores (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3
El tensor eijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.4
eijk y el producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.5
eijk y el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.6
eijk y el producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11
Índice
9.7
eijk y el determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Tensores en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.8
Los tensores y las transformaciones de coordenadas curvilı́neas (I)
131
9.9
Los tensores y las transformaciones de coordenadas curvilı́neas (II) 132
9.10 Los tensores y las transformaciones de coordenadas curvilı́neas (III) 133
9.11 El tensor unidad δ αβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.12 Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.13 Ejercicios sencillos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Tetratensores en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 138
9.14 Ortogonalidad de la Matriz de Lorentz:
Lαµ gαβ Lβν = gµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.15 Formas de la Matriz de Lorentz: Lµν , Lµν , Lµν , Lµν . . . . . . . . 139
9.16 Formas de un tensor: T µν , Tµ ν , Tµν , T µν
. . . . . . . . . . . . . . 140
9.17 Ejercicios sencillos de cuadritensores . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.18 Rotaciones del triespacio y del cuadriespacio . . . . . . . . . . . . . 143
9.19 Trivectores y cuadrivectores (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.20 Tritensores y cuadritensores (II)
III
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Electrodinámica
149
10. Transformación de campos
151
10.1 Transformación inversa de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2 Forma vectorial de las ecuaciones de transformación de los campos
152
10.3 Campo de una carga en movimiento rectilı́neo y uniforme . . . . . 153
~ yB
~ son paralelos . . . . . 156
10.4 Sistema inercial de referencia en que E
~ = ~0 o E
~ = ~0 . . . . . . . . . . 158
10.5 Sistema inercial de referencia con B
10.6 Sistema inercial de referencia con el mismo E (B)
. . . . . . . . . 160
12
Problemas Resueltos de Relatividad
10.7 Sistema inercial de referencia con E 0 < cB 0 /N . . . . . . . . . . . 161
~ ·B
~ y E 2 − c 2 B 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.8 Invariantes E
~ yB
~ es agudo 163
10.9 Sistema inercial de referencia en que el ángulo entre E
11. Electrodinámica en el Cuadriespacio de Minkowski
165
11.1 Invariante F µν Fµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 Invariante eµναβ F µν F αβ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.3 Relación entre potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.4 Transformaciones de calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
~ yB
~ . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.5 Transformación de Lorentz para E
11.6 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.7 Invariancia de calibración de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.8 Tensor de energı́a-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
IV
Apéndices
181
Apéndice A. Tensores I
183
Apéndice B. Tensores II
185
B.1. Tensores contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.2. Tensores covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
B.3. Tensores mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
B.4. El tensor métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Apéndice C. Tensores en el cuadriespacio de Minkowski
191
Apéndice D. Convenios en TRR
197
Apéndice E. Valores numéricos de algunas constantes universales
203
Índice
13
Lista de Sı́mbolos
205
Bibliografı́a
207
Índice alfabético
213
Parte I
Cinemática relativista
1. Transformación de
Lorentz
1.1
Transformación de Lorentz inversa
Halle la transformación de Lorentz inversa.
Solución:
La solución es muy simple si notamos que es la misma transformación de
Lorentz poniendo un signo menos delante de la velocidad de traslación de un sistema de referencia respecto del otro. Es un asunto de sentido común: si el sistema
~ , el sistema K se moverá
K 0 se mueve respecto del sistema K a la velocidad V
~ . También se puede proceder algebraicamente,
respecto del K 0 a la velocidad −V
intercambiando el rol de las variables dependientes e independientes, o sea despejando las primeras como función de las segundas. Esta última variante también se
puede llevar a cabo invirtiendo la matriz de la transformación.
En suma, si la transformación de Lorentz directa es
x0
y0
z0
t0
la inversa correspondiente es
=
=
=
=
γ(x − V t)
y
z
γ(t − V x/c2 ) ,
(1.1)
20
Problemas Resueltos de Relatividad
x
y
z
t
1.2
=
=
=
=
γ(x 0 + V t 0 )
y0
z0
γ(t 0 + V x 0 /c2 ) .
(1.2)
Matriz de Lorentz para movimientos en varias
direcciones
Escriba la matriz de Lorentz para movimientos relativos entre sistemas inerciales
de referencia a)según el eje z; b)según el eje y; c)según el eje x.
Solución:
Usemos el convenio en que el tetravector de posición es xµ = (ct, x, y, z)
~ ) a la matriz de Lorentz cuando el movimiento relativo entre
y llamemos Lµν (V
~.
ambos sistemas de referencia inerciales se efectúa con la velocidad constante
V
p
Como es costumbre, usaremos los sı́mbolos β y γ para denotar a V /c y 1/ 1 − β 2
respectivamente, y los ı́ndices griegos (µ, ν, etc.) toman los valores 0, 1, 2, 3,
mientras que los latinos (i, j, etc) van de 1 a 3. Entonces, para un movimiento
relativo según el eje z

Lµν (V ~ez )
γ
 0
= 
 0
−γβ

0 0 −γβ
1 0
0 
 .
0 1
0 
0 0
γ
(1.3)
Análogamente, para un movimiento relativo según el eje y

Lµν (V ~ey )
γ
 0
= 
 −γβ
0
0 −γβ
1
0
0
γ
0
0

0
0 
 .
0 
1
Y finalmente, para un movimiento relativo según el eje x
(1.4)
21
Transformación de Lorentz

Lµν (V ~ex )
1.3
γ
 −γβ
= 
 0
0
−γβ
γ
0
0

0 0
0 0 
 .
1 0 
0 1
(1.5)
Las transformaciones de Lorentz en forma vectorial
Demuestre que las transformaciones de Lorentz se pueden expresar como
~r 0
t0
h
i
~ t + [~r − (~n · ~r)~n]
= γ (~n · ~r)~n − V
!
~ · ~r
V
= γ t− 2
,
c
(1.6)
(1.7)
~.
donde ~n es el versor en la dirección de V
Corben y Stehle [20], problema 16.3, página 313.
Solución:
En el problema 1.2 se escribieron las transformaciones de Lorentz cuando la
velocidad relativa está dirigida según los ejes coordenados. Pasemos a analizar el
caso más general en que el movimiento relativo entre ambos sistemas de referencia
~ no necesariamente coincidente con uno de los
inerciales ocurre en una dirección V
ejes de coordenadas. Ver esquema 1.1.
~ esté
Usemos el ardid de pasar primero a sendos sistemas cartesianos en que V
según el eje x y sus otros dos ejes sean paralelos. Más en detalle, pongamos que K
y K 0 sean nuestros dos sistemas inerciales de inicio, y llamemos K1 /K10 al sistema
~ . Escojámoslos,
que no se mueve respecto de K/K 0 pero con el eje x según V
0
además, de modo que los ejes y y z de K1 y K1 sean paralelos.
Estos sistemas intermedios no se mueven respecto de los sistemas de partida
K y K 0 por lo que la relación entre K y K1 es una transformación ortogonal del
triespacio, sin cambio alguno en la coordenada temporal. Y lo mismo respecto de
K 0 y K10 . Denotemos el cuadrivector de posición como xµ en K, x0µ en K 0 , y µ en
K1 y y 0µ en K10 . Entonces