1. Llei d'absorció Si una variable pertany simultàniament a una branca d'un circuit pot haver−hi absorció. La variable B no té transcendència inicial en el circuit i es absorbida per A Expressió F= A + AB Resultat F= A + AB−−−−− F=A Demostració A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1 AB + A 0 0 1 1 Taula de la veritat d'una absorció. F = A (A + B) = A A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B 0 1 1 1 A (A + B) 0 0 1 1 2. Teorema de Shannon Serveix per trobar el complement, o sigui, la funció inversa. El procediment és complementar cada variable i permutar els operadors suma y producte. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1 AB 1 1 1 0 A+B 0 1 1 1 A+B 1 1 1 0 Exemple F = A + B A + B = AB F=A.BA.B=A+B 1 F=A+B=A.B 3. Teorema de Morgan Els teoremes de Morgan ens permeten transformar funcions suma en funcions producte i a l'inreves. Això dona l'opció a poder realitzar circuits fent servir només un sol tipus de porta. 1ª de Morgan 2ª de Morgan 3ª de Morgan 4ª de Morgan A.B=A+B A+B=A.B A.B=A+B A+B=A.B 1ª de Morgan A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 AB 1 0 0 0 A+B 0 1 1 1 A+B 1 0 0 0 2ª de Morgan A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A+B 1 1 1 0 AB 0 0 0 1 AB 1 1 1 0 3 ª de Morgan A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 AB 0 1 1 1 A+B 0 1 1 1 AB 1 0 0 0 4ª de Morgan A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A+B 0 0 0 1 AB 0 0 0 1 A+B 1 1 1 0 Els teoremes de Morgan també es poden demostrar com una conseqüència del teorema de Shannon. Així si a una funció li determinem la funció complementaria i a continuació la neguem, obtindrem una funció equivalent amb els operadors permutats. Funció F = A + B 2 Determinem la complementaria F = A . B (Shannon) La tornem a negar F = A . B = A + B (3ª Morgan) Procediment per trobar funció equivalent aplicant Morgan 1º. Negar les variables i permutar els operadors. 2º. Negar la funció obtinguda. Exemple: Trobar la funció equivalent aplicant els teoremes de Morgan. F = ABC 1. F = A + B + C F = A + B + C 2. F = A + B + C F = A+ B + C F = ABC EXERCICI Donada la funció F = ( A + B ) C, determinar un altre equivalent aplicant els teoremes de Morgan, fer la taula de la veritat i dibuixar els esquemes dels dos circuits. F = (A + B) C ( A + B) C = (A . B) + C F = (A . B) + C A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 (A + B) 0 0 1 1 1 1 1 1 (A + B) C 0 0 1 0 1 0 1 0 (A . B) 1 1 0 0 0 0 0 0 (A . B) + C 1 1 0 1 0 1 0 1 (A . B) + C 0 0 1 0 1 0 1 0 4. Generador de paritat. Quan es transmet informació de manera binària per un canal podem suposar que pot tenir alteracions degut a causes imprevistes. Una forma de reduir en gran mesura aquesta pertorbació que pot provocar informació errònia, consisteix en afegir al missatge una informació extra que compleix la condició que sempre sigui part el nombre de 1 en el missatge enviat. D'aquesta manera el receptor al rebre el missatge i comprovar la paritat detectarà si ha sofert una alteració, i en cas afirmatiu rebutjarà el missatge. La funció que compleix aquesta condició en paquets de 4 bits és F = A + B + C + D A 0 0 B 0 0 A 0 0 B 0 1 F 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 5. Comparadors. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 1 0 0 1 F = A .B + A .B 0A=B C 1A=B 0A=B D 1A=B C 0 1 1 D 0 0 1 X 1 0 0 Y 0 1 0 Z 0 0 1 6. Multiplexors. 6.1 Multiplexors de sues variables de selecció a una sola línea És un dispositiu que permet la sortida d'unes variables d'entrada escollides. 4 C1 C2 C3 C4 AB 6.2 Multiplexor amb variable de control Si 1 = 0 Z = 0 6.3 Multiplexor amb variable de control d'alta impedancia C1 Z En aquest cas si la variable C2 I=0 cal col·locar el transistor de sortida de la porta OR en C3 estat d'alta impedáncia i dona un valor de sortida Z indeter− C4 minat, és una desconexió. ABI Això actua com un interruptor físic, sense que ningú Toqui cap palanca. 7. Flip − Flop Els elements lògics estudiats fins ara presenten com a caves, el fet que no depenen d'una condició inicial prèviament fonamental. Són circuits de lògica combinatòria. Els ordinadors precisen d'elements que siguin capaços de recordar condicions inicials, encara que aquestes hagin desaparegut, són circuits on les sortides depenen de les entrades i de les condicions inicials. Reben el nom genèric de circuits de lògica seqüencial. El circuit de memòria més senzill és el flip− flop o bàscula. 7.1 Flip−Flop tipus R−S A 0 1 1 B 1 1 0 A 1 1 0 B 0 0 1 5 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 R = S = C Indeterminació 7.2 Bàscula Indeterminació R = S = 1 A 0 1 1 1 0 0 0 B 1 1 0 1 1 0 1 A 1 1 0 0 1 1 1 B 0 0 1 1 0 1 0 Inici S=1Q=1 R=0Q=0 8. Suma aritmètica AB 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0 i em porto 1 CARRY Circuit semiconductor Suma aritmètica en binari 1 1 1 1 15 + 0 1 0 1 05 1 0 1 0 0 20 16 4 20 B A S C 6 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 8.2 Sumador total Dades Suma de Sumar Porta de sortida Porta de entrada Ci Carry imput Co Carry output B3 B2 B1 B0 A3 A2 A1 A0 S3 S2 S1 So Co (Altres etapes) B3 B2 B1 Bo + A3 A2 A1 Ao Co S3 S2 S1 So 8.4 Circuits restadors És necessari tenir definits números binaris amb signes. La forma de notació és el dígit és reverva el signe. 7 BS 0 1 Signe + − 0 magnitud Transformació d'un número positiu a negatiu Es fa en dos pasos: • Es complementa el nº a convertir, (els 1 passen a 0; els 0 a 1) • Se suma un al complement Ex. Convertir +6 en −6 +6 0110 4 + 2 = 6 Positiu Complementar Sumar 1 1001 +0001 1010 2 =−6 −8 9. Circuits combinacionals · Mapa conceptual • Mètode de minterms • Mètode de maxterms · Simplificació de funcions còniques • Postulats i propietats de l'àlgebra de Boole • Taules de Karnaugh · Exemples · Exercicis 8 Normalment quan es dissenya un circuit amb portes lògiques que ha de respondre a unes condicions imposades per l'automatisme, es pot començar fent la taula de la veritat a partir de la qual podem iniciar un procés que ens duu el disseny del circuit, amb el mínimes portes possibles. Cal saber dos mètodes de treball un per trobar la forma canònica i l'altre per simplificarla. Mètode minterms • Només ens interessen les combinacions que valen 1 a la taula de la veritat. • Es fa una suma de termes en forma de productes de les diferents variables que intervenen a la equació. • Les variables que valen 1 prenen el valor afirmatiu i les que valen 0 complementen. Mètode dels maxterms • Només interessen les combinacions que valen 0 a la taula de la veritat. • Es fa un producte de termes en forma de suma de les diferents variables que intervenen a l'equació. • Les variables que valen 1 prenen el valor complementat i les que valen 0 afirmatiu. Convertir 225 en − 225 0 1 1 1 0 0 0 0 1 225 100011110 +0000000018 1 0 0 0 1 1 1 1 1 −2 + 31 − 225 Definir Construir Dades d'entrada Sistemes de Minterms Simplificació Maxterms • Algebra de Boole • Taules de Karnaugh a 0 b 0 c 0 f 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 9 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 F = abc + abc + abc + abc + abc Equació canònica amb estructura minterms. Mètode: suma de temes en forma de productes que intervenen en la equació. Només interessen les combinacions que valen 1, les variables d'entrada que són 1 prenen el valor directe i les que valen 0 complementen. Propietats i postulats de l'àlgebra de Boole. 1. Commutativa 2. Element neutre 3. Complementació 4. Associativa Suma 5. Distributiva Producte respecte de la suma Suma a + b = b + a Suma a + 0 = a Suma a + a = 1 a+b+c =a + (b+c) a (b+c) = ab + ac a.1=1 Producte a . a = 0 Producte Producte a.b=b.a Suma respecte del producte Abc = a . (b . c) 6. Absorció 7. Idempotencia a+1=1 a+a=a a.0=0 a.a=a 8. Doble negació 9. Dualitat a+ (bc)=(a+b) (a+c) 10. Lleis de Morgan Si a=a a+0=a a.1=a Exercici Dissenyar un circuit lògic per comandar un automatisme que és governat per 3 variables d'entrada segons la taula de la veritat. a 0 b 0 c 0 f 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 10 1 1 0 1 1 1 1 1 F = abc + abc + abc + abc + abc F = ab (c + c) + ab ( c + c) + ac (b + b) F = ab + ab + ac IES. Numància Sta. Coloma de Gramanet 15 Multiplexor Multiplexor SQ RQ & =1 AS B Co Ci BA Co Ci BA Co Ci BA Co Ci BA Co Ci Circuit 11 Equació simplificada Taula de la veritat Equació canonica Electrònica digital II 12