Documento 274659

Prof. ADRIANA PAPICH
MATEMÁTICA
Una ecuación de 2º grado, es una expresión de la forma : ax 2  bx  c  0
con a  0
la cuál tendrá DOS o NINGUN VALOR DE X , pertenecientes al conjunto de los números reales,
SOLUCIÓN DE DICHA EXPRESIÓN.
Para resolver una ecuación de segundo grado, lo haremos considerando su clasificación en
COMPLETAS o INCOMPLETAS.
1.-ECUACIONES INCOMPLETAS:
Una ecuación de 2º grado es INCOMPLETA, cuando no tiene el término en x , o el término
independiente, o los dos.
(RECORDAR QUE a  0 )
i) Si
b= 0
la ecuación quedaría:
ax 2  c
ax 2  c  0
x2 
c
a
x 
c
a
LA ECUACIÓN TENDRÁ DOS RAÍCES OPUESTAS
Ejemplo:
ii) Si
- 4 x2 + 16 = 0
- 4 x2 = - 16
 16
x 
 x 2 4  x   4
4
c= 0
la ecuación quedaría:
a x 2+ b x = 0
x ax  b   0
Si sacamos
FACTOR COMÚN
x  2 son las dos raíces de la ec.
x 0 x 
b
a
por Prop.
HANCKELIANA
LA ECUACIÓN TENDRÁ SIEMPRE UNA RAÍZ CERO
Y OTRA, UN NÚMERO CUALQUIERA
Ejemplo:
25 x 2 + 50 x =0
25 x ( x + 2 ) = 0
25 x = 0
Sacando 25 x
por Prop. HANCK. y
de FACTOR COMÚN
x+2=0
La ecuación tiene una raíz 0 y la otra - 2
x=0
x=-2
y c=0
la ecuación quedaría
a x 2= 0
por lo cuál sin importar cuál sea el valor de a LA ECUACIÓN TENDRÁ SIEMPRE UNA
RAÍZ DOBLE, IGUAL A CERO. ( Llamamos raíz doble, a dos raíces iguales al mismo número)
Ejemplo:
-3x2=0
x = 0 DOBLE
iii) Si
b=0
ECUACIONES de 2º GRADO
1º.EMP Art.Textil
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2
2.- ECUACIONES COMPLETAS:
Una ecuación será completa, cuando tenga los tres términos del polinomio de 2º grado. POR LO CUÁL
ax 2  bx  c  0
SU EXPRESIÓN SERÁ SIEMPRE :
con a  0
Para su resolución, aplicaremos una fórmula, que tú vas a demostrar, y la aplicaremos en todos
los casos de ecuaciones completas:
Esta es: x 
 b  b 2  4ac
2a
En ella, a, b y c son los coeficientes del polinomio y tendrá DOS RAÍCES, que calculamos
usando, una vez el “ +” y otra vez el “ - “ , es decir :
x1 
Ejemplos:
 b  b 2  4ac
2a
y
x2 
 b  b 2  4ac
2a
 2x 2  2x  4  0
1.-
a  2
b2
c 4
x 
2 6

x 1   4  x 1  1
2 6
x 

 2 6
4
 x2 
x 2
4

x 2  6x  9  0
a 1
2.b  6
c 9
Conjunto Solución :
S  1,2 
6

6  ( 6) 2  4(1)(9)
6  36  36
6 0  x1  2  x1  3
x 
x 
x 

2(1)
2
2 x  6  x  3
2
2
2

Es decir tenemos una raíz DOBLE igual a 3
S  3 
3.-
 2  4  4( 8)
 2  36
 2  (2) 2  4( 2)(4)
x 
x 
4
4
2( 2)
3x 2  x  1  0
a3
b  1
c 1
x 
Conjunto Solución:
1  1 12
1  11
1  ( 1) 2  4(3)(1)
x 

x 
6
6
2(3)
La ecuación NO TENDRÁ RAÍCES REALES, ya que
La solución sería entonces:
Ejercicios: Resolver:
1.- x2 –2 x – 8 = 0
a = ........
11  R
x 1 , x 2 R
b = ........ c = ..........
En ésta ecuación la expresión: b2 – 4 a c = ............
Es decir, es un número .................................. y tenemos DOS RAÍCES.....................................................
2.- 4 x2 + 20 x + 25 = 0
a = ........
b = ........
c = ..........
ECUACIONES de 2º GRADO 1º.EMP Art.Textil
En ésta ecuación la expresión: b2 – 4 a c = ............
Es decir, es un número .................................. y tenemos DOS RAÍCES
...............................................................
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3.- 2 x2 –4 x + 10 = 0
a = ........ b = ........ c = ..........
En ésta ecuación la expresión: b2 – 4 a c = ............
Es decir, es un número .................................. y tenemos DOS RAÍCES ................................................................
Podemos deducir entonces que, según el tipo de número que nos de cómo resultado la expresión
b – 4ac , la ecuación tendrá DOS RAÍCES REALES DISTINTAS, o DOS RAÍCES REALES E
IGUALES, o NO TENDRÁ RAÍCES REALES. Por lo cuál, a la expresión b2 – 4ac, le llamaremos
DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN, y le asignaremos el símbolo “  ” ( letra griega “delta”)
 = b2 – 4ac
Diremos , en forma general que:
i) Si  > 0
La ecuación tiene dos raíces reales y distintas entre si ( x 1 , x 2  R, x 1  x 2 )
2
ii) Si  = 0
iii) Si  < 0
La ecuación tiene dos raíces reales e iguales entre si, o sea, RAÍZ DOBLE
( x 1 , x 2  R, x 1  x 2 )
La ecuación tiene dos raíces que “no” son reales ( x 1 , x 2 R )
EJERCICIOS:
1.- Resolver:
i)
3x2-12=0
ii)
81x2-9=0
iii)
x2-2=0
iv)
25x2-81=0
v)
–x2+4=0
3x2-27=0
4
vii) x2=0
25
viii) (x+5)(x-5)=0
1 2
ix)
x -4=0
25
x)
(x+5)(x-5)=0
vi)
2.- Resolver:
i)3x 2  5x  0
ii)  3x 2  2x  0
iii)(x  1)(x  3)  0
iv)x  x 2  3x
v)x(x  3)  5x
3.-Resolver y realizar descomposición factorial de las siguientes ecuaciones:
iv)x(2x  5)  3x 2  5(x 2  2)  4
i)x 2  3x  10  0
1
ii)x  x  14  0
2
2
iii)5x  x  3x  2x 2  8
2
v)5x  3  (2x  5)3  15x 2  2(2x  1)  6
vi)2x 2  4 x  5  2x  x 2  10
vii)2x(7x  5)  10  3x(5x  9)  8
viii)(x  5)2x  3x  4  3(x 2  3)  5