Funcion Implicita

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Función Implícita
Función implícita de una variable independiente definida por una
ecuación F(x,y)=0.
Antes de iniciar éste punto, conviene recordar que el grado de dependencia de un
sistema de ecuaciones es una cantidad que se obtiene restando el número de incógnitas
o variables del sistema del número de ecuaciones del mismo, e indica que se si toman
arbitrariamente esa cantidad de incógnitas, los valores de las variables restantes
dependen de los valores que se asignen a las incógnitas tomadas inicialmente. Bajo
éste concepto, las variables restantes reciben el nombre de variables dependientes, y
en consecuencia, las incógnitas tomadas inicialmente reciben el nombre de variables
independientes.
Por ejemplo, para un sistema de siete incógnitas con tres ecuaciones, su grado de
dependencia es 7-3 = 4. Este valor indica que en dicho sistema se toman de
arbitrariamente cuatro de sus variables (variables independientes), los valores de las
tres variables restantes (variables dependientes) dependen de los valores que se
asignen a las cuatro variables tomadas inicialmente.
.
Dada una ecuación F(x,y)=0, si tiene al menos una solución, la ecuación dada
representa una relación “no explícita” de dependencia entre las variables
(incógnitas) de la misma, la cual puede ser o no una función. Al ser una sola
ecuación con dos incógnitas o variables, el grado de dependencia de ella es igual a
uno; e indica que el valor de una de las variables (variable dependiente) depende del
valor que tenga la variable restante (variable independiente). El tomar a “ x ” o a
“ y ” como variable dependiente es completamente arbitrario.
Si existe una función y = f(x) definida de  en  tal que para todo elemento de
su dominio se cumple que F(x,f(x))=0, entonces se afirma que f(x) es una función
que ésta definida implícitamente por la ecuación F(x,y)=0.
Por ejemplo,
y  f (x)  25  x 2
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Está definida implícitamente por la ecuación
x 2  y 2  25  0 ,
Ya que para todo x del dominio de f(x):

x 2  y 2  25  x 2  25  x 2
  25  0
2
Si en la ecuación F(x,y)=0, una de sus variables se puede despejar, dicho despeje
puede arrojar una o varias relaciones que satisfacen dicha ecuación.
Si alguna de esas relaciones representa una función, dicha función ésta definida
implícitamente por F(x,y)=0.
Por ejemplo, si en
x 2  y 2  25  0
se despeja la variable y, queda:
y  f (x)   25  x 2
Igualdad que no representa una función; pero a partir de dicha igualdad puede
obtenerse que:
f1 ( x)  25  x 2 ,
f 2 (x)   25  x 2
Las cuales si representan funciones definidas implícitamente por
x 2  y 2  25  0 .
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No obstante, existen casos donde el despeje de alguna de las variables de
F(x,y)=0
Puede ser complicado, como es el caso de:
x3 – 7xy2 + 6 = 0
Inclusive, hay casos donde ninguna de las variables se puede despejar, como:
x + y + sen(x+y) = 0
Aunque en los últimos dos casos de alguna forma pueden obtenerse algunos valores
de las variables x e y que satisfagan las ecuaciones dadas, determinar una igualdad
que represente una función definida implícitamente por la ecuación correspondiente
puede ser muy difícil o hasta imposible.
Condiciones para la existencia de una función implícita
F: Rn+m → Rm
f: Rn → Rm
Condiciones para la existencia de una función implícita definida por la
ecuación
F(X,Y) = Ø :
En principio, F(X,Y) puede considerarse como la curva de nivel Z = Ø de la función
Z = F(X,Y).
Si F(X,Y) es continuamente diferenciable en un abierto que contiene a (X0,Y0) para
el cual se cumple que F(X0,Y0)=0, y además Y = f(X) es una función diferenciable
que ésta definida implícitamente por F(X,Y)=0, entonces:
d f (x 0 ) 

Fx (x 0 , y 0 )
1
  Fy (x 0 , y 0 ) Fx (x 0 , y 0 )
Fy (x 0 , y 0 )
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Dada la ecuación F(x1, x2,…, xn,y)=Ø, al tener “n+m” variables, su grado de
dependencia es (n+m)-m = n, lo que indica que “m” variables de dicha ecuación
depende de las “n” restantes. En éste texto, a menos que se indique lo contrario, se
considera que la variable dependiente es la última que aparece en la ecuación
F(X,Y)=Ø.
Dada la ecuación F(x1, x2,…, xn, y1, y2…, ym)=Ø , si se cumple que:
i)
Existe

un
x
10
, x 20 ,...,x n0 , y10 , y20 ,...,ym0


tal
que:
F x10 , x 20 ,...,x n0 , y10 , y 20 ,...,y m0  0 ;


ii)
En un abierto que contiene a x10 , x 20 ,...,x n 0 , y10 , y 20 ,...,y m0 la función
iii)
Fy x10 , x 20 ,...,x n0 , y10 , y 20 ,...,y m0  0
Z  Fx1 , x 2 ,...,x n , y1 , y 2 ,...,y m  es continuamente diferenciable;


Entonces existe al menos una función Y  f x1 , x 2 ,...,x n  tal que
Fx1 , x 2 ,...,x n , f x1 , x 2 ,...,x n   0 que es continuamente diferenciable en
x
10
, x20 ,...,xn0

Condiciones para la existencia de una función implícita
Si
F(X0,Y0)= Ø
y Fy (X0 , Y0 )   ,
Entonces existe una función
Y = f(X) en el entorno de X0 definida implícitamente por la ecuación F(X,Y)= Ø
para la que se cumple que:
d f (x 0 ) 

Fx (x 0 , y 0 )
1
  Fy (x 0 , y 0 ) Fx (x 0 , y 0 )
Fy (x 0 , y 0 )
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F1(x1, x2,…, xn, y1, y2,…, ym) =0
F2(x1, x2,…, xn, y1, y2,…, ym) =0
.
.
.
Fm(x1, x2,…, xn, y1, y2,…, ym)=0
Al tener “n+m” variables y “m” ecuaciones, su grado de dependencia es (n+m)-m =
n, lo que indica que las variables (y1, y2,…, ym) de dicho sistema dependen de las
variables (x1, x2,…, xn).
Sean
X = (x1, x2,…, xn) ,
Y = (y1, y2,…, ym),
X0 = x10 , x20 ,...,xn0



Y0 = y10 , y20 ,...,ym0

Sea
 F1 (X, Y )   z1 

  
Z  F(X, Y )  

  
 F ( X, Y )   z 
 m
  m
Una función continuamente diferenciable en un abierto que contenga al elemento
(X0,Y0) para el cual se cumple que:
 F1 (X 0 , Y0 )   0 

  
F(X0 , Y0 )  

  .
 F (X , Y )   0 
 m 0 0   
Sea
 f1 (X ) 


Y  f(X)    
 f (X ) 
 n

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Tal que
 F1 (X, f (X))   0 

  
F(X, f (X))  

.
 F (X, f (X))   0 
 m
  
 F1 (X 0 , Y0 )   0 

  

Z = F(X 0 , Y0 )  
    ;
 F (X , Y )   0 
 m 0 0   
En el elemento (X0,Y0),
En definitiva, si F es continuamente diferenciable en (X0,Y0), y F(X0,Y) admite
inversa en un entorno de (X0,Y0), es decir, si
detFY ( X 0 ,Y0 )  0 ,
entonces existe una función Y = f(X) tal que F(X,f(X)) = Ø y que en un abierto de X0
que es continuamente diferenciable, siendo la matriz del diferencial de ésta función es
d f   F (X , Y ) F (X , Y )
1
X0
Y
0
0
X
0
0