Exámenes Mateco

Matemáticas para economistas 3
Examen 1
Duración: 2 horas
Modo: Sin apuntes, libros ni calculadoras
(Puntaje de cada problema a criterio del profesor)
1) Resolver ecuación x  ax  bx2 , donde a y b son números positivos. Mostrar
además diagrama de fases de esta ecuación.
2
2) Esboce el diagrama de fases de la ecuación x  xx  1x  1 .
3) Supongamos que una ecuación diferencial tenga tres equilibrios, digamos a  b  c ,
tales que a y c sean asintóticamente estables; ¿es forzoso que b sea inestable? Si a y c
son inestables; ¿es forzoso que b sea estable?
4) Analizar cualitativamente sistema no lineal
 x  x 2  y

 y  xy  y  1
5) Resolver cada una de linealizaciones de problema anterior.
Examen 2
Duración: 2 horas
Modo: Sin apuntes, libros ni calculadoras
(Puntaje de cada problema a criterio del profesor)
1) Supongamos que un equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales de orden
2x2 no sea (0,0). ¿Qué hay que hacer para poder aplicar criterio de Lyapunov?
2) Supongamos que linealización de un sistema de ecuaciones diferenciales de orden
2x2 alrededor de uno de sus equilibrios no dé nada conclusivo, pues equilibrio de
linealización es centro. Aplicamos entonces técnica de Lyapunov, que nos dice que este
equilibrio es asintóticamente estable. ¿Qué podemos decir de tipo de este equilibrio? ¿Si
hubiese dicho que es inestable? Si hubiese sido obtenido solamente, con técnica de
Lyapunov, que equilibrio es estable, ¿podríamos entonces concluir algo? Justifique sus
respuestas.
3) ¿Por qué teorema de Poincaré-Bendixson (en su presentación alternativa) exige
existencia de único equilibrio en región que alude? Puede dar un contraejemplo que
justifique esta hipótesis.
4) Dada una ecuación en diferencias de orden 1, autónoma, supongamos que una
solución sea convergente. Demuestre que converge hacia uno de equilibrios de la
ecuación. Si ninguna solución de esa ecuación es convergente, ¿entonces esa ecuación
no tiene equilibrios?
5) ¿Qué podemos decir de la estabilidad de los equilibrios de la ecuación xt 1  xt ?
6) Analizar cualitativamente sistema no lineal
 xt 1  xt  yt2  1

 y  xt  yt
¿Por qué es no lineal?
7) Resolver una cualquiera de linealizaciones de problema anterior.
Matemáticas para economistas 1
Examen 2
Duración: 2 horas
Modo: Sin apuntes, libros ni calculadoras
Responder a seis de las ocho primeras cuestiones y a seis de las ocho últimas.
1. ¿Es el sistema de los números racionales un campo arquimediano? ¿Y el de los
números enteros lo es?
2. ¿Es posible que una sucesión convergente de números reales posea alguna
subsucesión divergente?
3. ¿Es una relación de equivalencia la que en el sistema de los números enteros
establece que a R b si, y sólo si, a es un divisor de b ?
4. Si A es el conjunto de los números reales cuyo valor absoluto difiere de un entero en
más de 1/3, hallar sus puntos de acumulación y su clausura, y decir si es ó no compacto,
abierto ó cerrado.
5. Si f y g son funciones reales definidas en la recta real tales que ambas tienen límite en
el punto 3 de modo que el límite de f en 3 es infinito y el de g en 3 vale -1, ¿existen los
límites de las funciones f + g y f / g? Caso que sí, ¿Cuánto valen ellos?
6. ¿Puede haber una función continua definida en el intervalo [a, b] tal que, siendo f (a)
= 4 y f (b) = 1, no haya ningún punto del intervalo ]a, b[ en el que la función f tome el
valor ?
7. ¿Es verdad que si f es una función continua definida en el intervalo [a, b], entonces ha
de existir su función inversa?
8. ¿Puede haber una función continua en un punto a sin que ella sea diferenciable en
dicho punto?
9. Si f es una función diferenciable de dominio el intervalo [0, 1] que toma valores en
ese mismo intervalo y se sabe que existe su función inversa, ¿cuál será el valor de la
derivada de la inversa en el punto a sabiendo que f ´(a) = 5?
10. ¿Por qué puede afirmarse que si f es una función diferenciable en el intervalo [0, 2]
y ocurre que f (0) = 3 y f (2) = 1, entonces ha de haber algún punto de dicho intervalo
en el que la derivada de f valga -1?
11. Dar dos criterios que permitan reconocer cuándo una función continuamente
diferenciable hasta el orden 2 es estrictamente convexa.
12. Si la integral entre los 2 y 5 de cierta función real, f, vale 8, ¿cuánto valdrá la
integral de la función 2 f + 3 entre 2 y 5?
13. Por el método de sustitución de variables, integrar la función sen2(x) cos (x).
14. Hallar todos los vectores de 3 cuya norma valga 3. ¿Es dicho conjunto una recta ó
un hiperplano?
1  1
15. ¿Existe alguna matriz, B, tal que AB = 2ª, si es que A = 
 ? Caso que sí, hallar
0 1 
el conjunto de todas tales matrices.
16. Si en una matriz 2 por 2 la segunda columna es el triple de la primera, ¿qué puede
afirmarse de su matriz inversa?