Traducción de JJ García con propósitos

Traducción de JJ García con propósitos académicos del material:
“Appendix F – A displacement based beam element with shear deformations”
del libro:
“Three dimensional static and dynamic analysis of structures”
de Edward L. Wilson, Computers and Structures Inc, Berkeley, California, USA,
1995.
Un elemento viga con deformación por cortante con base en el método de los
desplazamientos
Nunca use una aproximación con una función cúbica para
una viga no prismática
F-1. INTRODUCCIÓN
En esta sección se presenta un desarrollo único de un elemento viga con deformación
transversal por cortante con base en el método de los desplazamientos. El propósito de
esta formulación es plantear ecuaciones restrictivas que puedan ser utilizadas para el
desarrollo de un elemento placa a flexión con deformaciones por cortante. La ecuación
desarrollada, que está basada en un desplazamiento cúbico, aplica a vigas con una
sección transversal constante sometida a cargas en los extremos solamente. Para este
problema los métodos de la fuerza y los desplazamientos arrojan el mismo resultado.
Para incluir las deformaciones por cortante en un elemento placa a flexión es necesario
restringir las deformaciones por cortante para que sean constantes en cada extremo del
elemento. Una forma simple de explicar esta suposición fundamental es considerar la
cara típica extrema de un elemento placa como una viga profunda, tal como se muestra
en la Figura F.1.
F2. SUPOSICIONES FUNDAMENTALES
En referencia a la Figura F.1, se hacen las siguientes suposiciones con respecto al
campo de desplazamientos:
Figura F.1. Elemento viga típico con deformaciones por cortante
Primero, el desplazamiento horizontal, debido a flexión, puede ser expresado en
términos de la rotación promedia total, θ , de la sección de la viga mediante la siguiente
ecuación:
u  -z θ
(F.1)
donde z es la distancia desde el eje neutro.
Segundo, para que la deflexión de la viga tenga una forma cúbica se debe suponer que
la rotación promedia de la sección está dada por
θ  N1θi  N 2 θ j  N3 Δθ .
(F.2)
La ecuación cúbica para la deflexión vertical w está dada por
w  N1 wi  N 2 w j  N 3 β1  N 4 β2
donde
N1 
1- s
1 s
, N2 
, N3  1 s2
2
2
(F.3a)
y
N 4  s(1  s 2 ) .
(F.3b)
Note que el término (1 - s 2 )ΔΔ es la rotación relativa con respecto a la función lineal;
por tanto, es la rotación jerárquica con respecto a el desplazamiento en el centro del
elemento. Uno nota esta forma simple de la ecuación cuando se utilizan coordenadas
naturales.
La variable global x se relaciona con la coordenada natural s por la ecuación x 
Por tanto,
L
s.
2
L
s .
(F.4)
2
Tercero; la definición de elasticidad de la deformación por cortante “efectiva” es
x 
w u
w

θ .
; por tanto, γ x z 
x z
x
 xz 
(F.5)
w 2 w

, la evaluación de la deformación por cortante con la ecuación (F.4) da
x L  s
como resultado una expresión en termino de constantes, una ecuación lineal en términos
de s y una ecuación cuadrática en términos de s2 . O,
Como
γx z 
1
4
2
1 s
1 s
( w j  wi )  s 1  (1  3s 2 )  2 
i 
 j  (1  s 2 ) .
L
L
L
2
2
(F.6)
Si se igualan a cero las componentes lineal y parabólica, quedan determinadas las
siguientes ecuaciones restrictivas:
β1 
L
(θi  θ j )
8
(F.7a)
L
θ .
(F.7b)
6
La deflexión vertical de acuerdo con la ecuación (F.2) puede ahora escribirse como
β2 
w  N 1 wi  N 2 w j  N 3
L
L
( i   j )  N 4 θ .
8
6
(F.8)
Además, la deformación cortante efectiva es constante a lo largo de la longitud de la
viga y está dada por
1
1
2
( w j  wi )  ( i   j )  θ .
(F.9)
L
2
3
Ahora, la deformación por flexión del elemento viga puede ser calculada directamente
de la ecuación (2.1) a partir de la siguiente ecuación:
γx z 
u
2 z
z

 [ i   j  4 sθ ] .
(F.10)
x
Ls
L
Adicionalmente, la deformación por flexión ε x puede ser escrita en términos de la
curvatura de la viga ψ que está asociada con el momento en la sección M. O,
(F.11)
ε x  zψ .
La relación deformación-desplazamiento para el elemento a flexión, incluyendo la
deformación por cortante, pueden ser escritas en la siguiente forma matricial:
εx 
 i 
 
 j 
  1 1
1
0 0
4 s  


(F.12)
  x z   L  L / 2  L / 2  1 1  2 L / 3 wi  o (d )  [ B ](u ) .




 wj 
  
 
La relación fuerza-deformación para un elemento a flexión está dada por
2
0   
 M   z EdA
 o ( f )  [C ](d )

   
 V   0
  GdA x z 
(F.13)
donde E es el módulo de Young del material, G es el módulo a cortante efectivo y V
es la fuerza cortante total que actúa en la sección.
La aplicación del teorema de la energía potencial mínima produce una matriz de rigidez
5 por 5 de la siguiente forma
L
[ B]T [C ][ B]ds .
(F.14)

2
Se puede realizar condensación estática para eliminar el grado de libertad   y así
obtener una matriz de rigidez 4 por 4.
[K ] 
F.3. ÁREA EFECTIVA A CORTANTE
Para una viga rectangular homogénea de ancho “b” y profundidad “d”, la distribución
de cortante en la sección transversal, tomada de la resistencia de materiales elemental,
está dada por
2z 2
) ]τ 0
(F.15)
d
donde τ 0 es el máximo esfuerzo cortante en el eje neutro de la viga. La integración de
el esfuerzo cortante sobre toda la sección transversal resulta en la siguiente ecuación de
equilibrio (Nota del traductor: En mi opinión no es una ecuación de equilibrio, es una
ecuación de equivalencia estática)
τ  [1  (
3
V.
(F.16)
bd
La deformación cortante está dada por
1
2z
γ  [1  ( ) 2 ]τ 0 .
(F.17)
G
d
La energía de deformación por unidad de longitud de la viga es
1
3
E   γτdA 
V2.
(F.18)
2
5bcG
El trabajo externo por unidad de longitud de la viga es
1
E E  V x z .
(F.19)
2
Igualando el trabajo externo con la energía de deformación se obtiene
τ0 
5
Gbdγ x z .
(F.20)
6
Por tanto, el factor de reducción para una viga rectangular es
5
α .
(F.21)
6
Para vigas no homogéneas y placas se puede aplicar el mismo método general para
calcular el factor para el área a cortante.
V 